虛弱的天才黎曼

1、虛弱的天才一黎曼仿佛天妒英才，上帝好像不想讓人類過早地就拆穿了它所有的秘 密。所以，人類中的天才們的生命都很短暫，而且命運崎嶇。黎曼就 是這樣一位天才。1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村， 父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師，母親是法庭顧問的女兒。黎曼有6個兄 妹，他排行第二。漢諾威當(dāng)時相當(dāng)落后，農(nóng)村里因為缺少牲口，還普 遍在用人力拉犁。偏僻鄉(xiāng)村小牧師的薪金少得可憐，要維持諾大的八 口之家，不得不顯得捉襟見肘，力不從心。黎曼從小生性膽小、羞怯。他不敢在公眾場合露面，更害怕在大 庭廣眾中講話?？墒牵跀?shù)學(xué)研究上，他卻是出奇地大膽。他是個天 才，他在科學(xué)研究中所表現(xiàn)出來的驚人智慧，他

2、對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻之 大、影響之深，難以用語言描述，以至于后人在介紹他時只能采用“對 現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響最大的數(shù)學(xué)家之一”、“19世紀最富有創(chuàng)造性的德國數(shù) 學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家”等諸如此類的言辭辛含糊表述。除此之外，我們 確實毫無辦法。來看看這個天才的家伙在短短40年的一生中所取得 的不可思議的輝煌成就吧！他是黎曼幾何的創(chuàng)始人。黎曼對數(shù)學(xué)最重要的貢獻在于幾何方 面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾 何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾 何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學(xué)和科學(xué)各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影 響。1854年，黎曼在哥廷根大學(xué)作了一次歷史性演講，該演講內(nèi)

3、容 在其逝世后的兩年（1868年）以關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)為題 出版。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一 的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱 為黎曼幾何。后來，黎曼在1861年寫了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的文章，這 篇文章后來被稱為他的“巴黎之作”，文中對他1854年的文章作了技 術(shù)性的加工，進一步闡明其幾何思想。黎曼主要研究幾何空間的局部 性質(zhì)，他采用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高 斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考 慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空 間的曲線和曲面的束縛，從維度出發(fā)

4、，建立了更一般的抽象幾何空間。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中 的一個點可以用一個可變參數(shù)的一組特定值來表示，而所有這些點的 全體構(gòu)成流形本身，這個可變參數(shù)稱為流形的坐標，而且是可微分的， 當(dāng)坐標連續(xù)變化時，對應(yīng)的點就遍歷這個流形。黎曼仿照傳統(tǒng)的微分 幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。 并以這些概念為基礎(chǔ)，展開對維流形幾何性質(zhì)的研究。在維流形上他 也定義類似于高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證 明他在維流形上維數(shù)等于三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到 的結(jié)果是一致的，因而黎曼幾何是傳統(tǒng)微分幾何的推廣。黎曼發(fā)展了 高斯關(guān)于

5、一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內(nèi)蘊 性質(zhì)的研究。黎曼的研究導(dǎo)致另一種非歐幾何橢圓幾何學(xué)的誕 生。在黎曼看來，有三種不同的幾何學(xué)。它們的差別在于通過給定一 點做關(guān)于定直線所作平行線的條數(shù)。如果只能作一條平行線，即為歐 幾里得幾何學(xué)；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學(xué)；如果存在一組 平行線，就得到第三種幾何學(xué)，即羅巴切夫斯基幾何學(xué)。黎曼因此繼 羅巴切夫斯基以后發(fā)展了空間的理論，使得一千多年來關(guān)于歐幾里得 平行公理的討論宣告結(jié)束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預(yù) 見具有某種特定性質(zhì)的流形的存在性。這些逐漸被后人一一予以證 實。由于黎曼考慮的對象是任意維數(shù)的幾何空間，對復(fù)雜的客觀空

6、間 有更深層的實用價值。所以在高維幾何中，由于多變量微分的復(fù)雜性， 黎曼采取了一些異于前人的手段使表述更簡潔，并最終導(dǎo)致張量、外 微分及聯(lián)絡(luò)等現(xiàn)代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何 為工具，才將廣義相對論幾何化?，F(xiàn)在，黎曼幾何已成為現(xiàn)代理論物 理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他是復(fù)變函數(shù)論的奠基人。19世紀數(shù)學(xué)最獨特的創(chuàng)造是復(fù)變函 數(shù)理論的創(chuàng)立，它是18世紀人們對復(fù)數(shù)及復(fù)函數(shù)理論研究的延續(xù)。 1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對單 值解析函數(shù)的理論進行了系統(tǒng)的研究，而對于多值函數(shù)僅有柯西和皮 瑟有些孤立的結(jié)論。1851年，25歲的黎曼完成題為單復(fù)變函數(shù)的 一般理論的基礎(chǔ)的博

7、士論文，后來又在數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了四篇 重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結(jié)前 人關(guān)于單值解析函數(shù)的成果，并用新的工具予以處理，同時創(chuàng)立多值 解析函數(shù)的理論基礎(chǔ)，并由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路?？?西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復(fù)變函數(shù)論的主要奠基人，而且后 來證明在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼 的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西一黎曼的觀點推 導(dǎo)出來。在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關(guān)鍵的是他引入了被后人稱“黎曼面”的概念。通過黎曼面給多值函數(shù)以幾何直觀，且在黎曼面 上表示的多值函數(shù)是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義 連通性

8、，開展對函數(shù)性質(zhì)的研究獲得一系列成果。經(jīng)黎曼處理的單值 函數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到多值函 數(shù)中，尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極大地推動了拓撲學(xué)的初 期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得 到著名的黎曼一羅赫定理，首創(chuàng)的雙有理變換構(gòu)成19世紀后期發(fā)展 起來的代數(shù)幾何的主要內(nèi)容。黎曼為完善其博士論文，在結(jié)束時給出 其函數(shù)論在保形映射的幾個應(yīng)用，將高斯在1825年關(guān)于平面到平面 的保形映射的結(jié)論推廣到任意黎曼面上，并在文字的結(jié)尾給出著名的 黎曼映射定理。他是解析數(shù)論的先驅(qū)。19世紀數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利 克萊開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導(dǎo)入，

9、而黎曼開創(chuàng)了用復(fù)數(shù)解析函 數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀的成果。1859年，黎曼發(fā)表了 在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)的論文。這是一篇不到十頁的內(nèi)容極 其深到的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結(jié)為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為 黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的 性質(zhì)而未予證明。在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù) 學(xué)家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程 中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外， 其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。那個未解決的問題現(xiàn)稱為 “黎曼猜想”，即：在帶形區(qū)域中的一切零點都位于去這條線上（希爾 伯特23個問題中

10、的第8個問題），這個問題迄今沒有人證明。對于某 些其它的域，布爾巴基學(xué)派的成員已證明相應(yīng)的黎曼猜想。數(shù)論中很 多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數(shù) 論理論的貢獻，也極大地豐富了復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容。他是組合拓撲的開拓者。在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組 合拓撲的零散結(jié)果，其中著名的如歐拉關(guān)于閉凸多面體的頂點、棱、 面數(shù)關(guān)系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問 題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學(xué) （當(dāng)時被人們稱為位置幾何學(xué)或位置分析學(xué)）的研究。但拓撲研究的最 大推動力來自黎曼的復(fù)變函數(shù)論的工作。黎曼在1851年他的博士論 文中，以及在

11、他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強調(diào)說，要研究函數(shù)，就不 可避免地需要位置分析學(xué)的一些定理。按現(xiàn)代拓撲學(xué)術(shù)語來說，黎曼 事實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學(xué)位論文中， 他說到某些函數(shù)的全體組成（空間點的）連通閉區(qū)域的思想是最早的 泛函思想。比薩大學(xué)的數(shù)學(xué)教授貝蒂曾在意大利與黎曼相會，黎曼由 于當(dāng)時病魔纏身，自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝 蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，并在拓撲學(xué) 的其他領(lǐng)域作出杰出的貢獻。黎曼是當(dāng)之無愧的組合拓撲的先期開拓 者。以上任何一項成就加在任何一個人身上都足以令其名垂青史，而 黎曼卻集諸般大成如一身。不僅僅如此，黎曼不但對純數(shù)學(xué)做出了劃 時代的貢獻，他也十分關(guān)心物理及數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系，他寫了一 些關(guān)于熱、光、磁、氣體理論、流體力學(xué)及聲學(xué)方面的有關(guān)論文。他 是對沖擊波作數(shù)學(xué)處理的第一個人，他試圖將引力與光統(tǒng)一起來，并 研究人耳的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方 程進行定論研究得到一系列豐碩成果黎曼的工作影響了整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，許多杰出的數(shù)學(xué)家通過 重新論證黎曼斷言過的定理而取得了巨大成就，在黎曼思想的影響下 數(shù)學(xué)、物理學(xué)的許多分支均獲得了長足發(fā)展。但是這位天才的身體卻 是如此的脆弱，以至于他那短短的一生中大部分時間都被病魔纏身。 186