傳染病傳播模型醫(yī)學知識培訓課件

1、傳染病傳播模型醫(yī)學知識傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 1（SI 模型） 假設(shè)條件 (1) 人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時間以天為計量單位。 (3) 每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?2傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 1（SI 模型） 假設(shè)條件2傳染病傳播 根據(jù)假設(shè)，每個病人每天可使 s(t) 個健康者變?yōu)椴∪恕?/p>

2、因為病人數(shù)為Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 個健康者被感染，即病人數(shù)Ni(t) 的增加率為 Ns(t)i(t)。于是得到人員流程圖如下3傳染病傳播模型醫(yī)學知識 根據(jù)假設(shè)，每個病人每天可使 s(t) 個健進而有再設(shè)初始時刻（t = 0）病人的比例為i0，則由 s(t) + i(t) = 1，得到初值問題 Logistic 模型4傳染病傳播模型醫(yī)學知識進而有再設(shè)初始時刻（t = 0）病人的比例為i0，則由 s(初值問題的解為 5傳染病傳播模型醫(yī)學知識初值問題的解為 5傳染病傳播模型醫(yī)學知識可畫出 i(t) t 和 di/dt i 的圖形為 i(t) t 的圖形6傳染病傳播模型醫(yī)學知識

3、可畫出 i(t) t 和 di/dt i 的圖形為 di/dt i 的圖形7傳染病傳播模型醫(yī)學知識di/dt i 的圖形7傳染病傳播模型醫(yī)學知識于是可知： 當 t 時，i1，即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪?，這顯然不符合實際情況。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變成健康者。 8傳染病傳播模型醫(yī)學知識于是可知：8傳染病傳播模型醫(yī)學知識 然而，這個模型在傳染病流行的前期還是可用的，可用它來預報傳染病高潮的到來：當 i = 1/2時，di/dt 達到最大值 (di/dt)m，這個時刻為 這時病人增加得最快，可以認為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預示著傳染病高潮的

4、到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時刻。 9傳染病傳播模型醫(yī)學知識 然而，這個模型在傳染病流行的前期還是可用的，可用 還可以看出，tm 與 成反比。因為日接觸率 表示給定地區(qū)的衛(wèi)生水平， 越小衛(wèi)生水平越高，所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來。 10傳染病傳播模型醫(yī)學知識 還可以看出，tm 與 成反比。因為日接觸率 模型 2（不考慮出生和死亡的 SIS 模型） 有些傳染病如傷風、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以在 SI 模型的基礎(chǔ)上，增加一個假設(shè)條件就會得到 SIS 模型。 假設(shè)條件 (1) 人群分為易感染者（S

5、usceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為 s(t) 和 i(t)。 11傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 2（不考慮出生和死亡的 SIS 模型） (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時間以天為計量單位。 (3) 每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?(4) 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù) ，稱為日治愈率。病人被治愈后稱為仍可被感染的健康者，1/ 稱為這種傳染病的平均傳染期。 12傳染病傳播模型

6、醫(yī)學知識 (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N如果考慮到假設(shè)條件 (4)，則人員流程圖如下 于是有13傳染病傳播模型醫(yī)學知識如果考慮到假設(shè)條件 (4)，則人員流程圖如下 于是有13傳染記初始時刻的病人的比例 i0（i0 0），從而 SI模型可以修正為我們稱之為 Bernolli（貝努里）方程的初值問題，其解析解為14傳染病傳播模型醫(yī)學知識記初始時刻的病人的比例 i0（i0 0），從而 SI模型其中 = /。 由 和 1/ 的含義可知， 是整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。于是有15傳染病傳播模型醫(yī)學知識其中 = /。15傳染病傳播模型醫(yī)學知識我們畫出 di/dt i

7、和 i t 的圖形為 di/dt i 的圖形（ 1） 16傳染病傳播模型醫(yī)學知識我們畫出 di/dt i 和 i t 的圖形為 dii(t) t 的圖形（ 1） 17傳染病傳播模型醫(yī)學知識i(t) t 的圖形17傳染病傳播模型醫(yī)學知識di/dt i 的圖形（ 1） 18傳染病傳播模型醫(yī)學知識di/dt i 的圖形18傳染病傳播模型醫(yī)學知識i(t) t 的圖形（ 1） 19傳染病傳播模型醫(yī)學知識i(t) t 的圖形19傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 3（考慮出生和死亡的 SIS 模型） 當傳染病的傳播周期比較長時，若不考慮出生和死亡因素顯然不妥，接下來考慮帶有出生和死亡情況的 SIS 模型。 假設(shè)條

8、件 (1) 人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為 s(t) 和 i(t)。20傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 3（考慮出生和死亡的 SIS 模型） (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N，總認為人口的出生率與死亡率相同，并且新生嬰兒全為易感染者。記平均出生率為 ，則人口的平均壽命為 1/。 (3) 每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?(4) 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù) ，稱為日治愈率。病人被治愈后稱為

9、仍可被感染的健康者，1/ 稱為這種傳染病的平均傳染期。21傳染病傳播模型醫(yī)學知識 (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 22傳染病傳播模型醫(yī)學知識在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 22傳染病傳播模型醫(yī)學知傳染病傳播模型醫(yī)學知識培訓課件 記初始時刻的健康者和病人的比例分別是 s0（s0 0）和 i0（i0 0），從而考慮出生和死亡的 SIS 模型為24傳染病傳播模型醫(yī)學知識 記初始時刻的健康者和病人的比例分別是 s0（而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的第二個方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型簡化?如果令 = /(+)，則 仍

10、表示整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，即接觸數(shù)。于是，以下的求解與討論與不考慮出生和死亡的 SIS 模型相同。 25傳染病傳播模型醫(yī)學知識而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt模型 4（不考慮出生和死亡的 SIR 模型） 許多傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。26傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 4（不考慮出生和死亡的 SIR 模型） 許多傳染病 模型的假設(shè)條件為 (1) 人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，三類人在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別為 s(t)

11、，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接觸率為 ，日治愈率為 ，傳染期接觸數(shù)為 = /。 (3) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時間以天為計量單位。27傳染病傳播模型醫(yī)學知識 模型的假設(shè)條件為27傳染病傳播模型醫(yī)學知識在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 28傳染病傳播模型醫(yī)學知識在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 28傳染病傳播模型醫(yī)學知由假設(shè)條件顯然有s(t) + i(t) + r(t) = 1 29傳染病傳播模型醫(yī)學知識由假設(shè)條件顯然有29傳染病傳播模型醫(yī)學知識 記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨

12、設(shè)移出者的初始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型為如下的初值問題30傳染病傳播模型醫(yī)學知識 記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0（s而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是，上式的第三個方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型簡化?上述的初值問題無法求出解析解，只能通過數(shù)值解法求出數(shù)值解。31傳染病傳播模型醫(yī)學知識而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = d 例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，則求得數(shù)值解如下表，相應的 i(t)、s(t) 曲線和 i s 曲線如下圖。 t012345678i(t

13、)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.039832傳染病傳播模型醫(yī)學知識 例如，取 = 1， = 0.3，i(0SIR 模型的i(t)、s(t) 曲線 33傳染病

14、傳播模型醫(yī)學知識SIR 模型的33傳染病傳播模型醫(yī)學知識SIR 模型的 i s 曲線34傳染病傳播模型醫(yī)學知識SIR 模型的34傳染病傳播模型醫(yī)學知識 在實際應用 SIR 模型時，模型中的參數(shù)經(jīng)常通過一些統(tǒng)計資料來估計。 事實上，能夠求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人們經(jīng)常利用定性理論從方程本身推出解的相關(guān)性質(zhì)。 對于上述的 SIR 模型，就可以采用相軌線分析的方法，來獲得i(t)、s(t) 的一般變化規(guī)律。（參教案，略）35傳染病傳播模型醫(yī)學知識 在實際應用 SIR 模型時，模型中的參數(shù)經(jīng)常模型 5（考慮出生和死亡的 SIR 模型） 模型的假設(shè) (1) 人群分為健康者、病人和病愈免

15、疫的移出者（Removed）三類，三類人在總?cè)藬?shù) N 中占的比例分別為 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接觸率為 ，日治愈率為 ，傳染期接觸數(shù)為 = /。 (3) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N，總認為人口的出生率與死亡率相同，并且新生嬰兒全為易感染者。記平均出生率為 ，則人口的平均壽命為 1/。 36傳染病傳播模型醫(yī)學知識模型 5（考慮出生和死亡的 SIR 模型） 在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 37傳染病傳播模型醫(yī)學知識在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 37傳染病傳播模型醫(yī)學知此時由假設(shè)條件有s(t) + i(t) + r(t) = 1 38傳染病傳播模型醫(yī)學知識此時由假設(shè)條件有38傳染病傳播模型醫(yī)學知識 記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨設(shè)移出者的初始值 r0 = 0），于是得到考慮出生和死亡的 SIR模型如下 39傳染病傳播模