概率論第3章課件

1、課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計課程組概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念在終極的分析中,一切知識都是歷史.在抽象的意義下,一切科學(xué)都是數(shù)學(xué).在理性的世界里,所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué).-C.R.勞6.1 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本概念6.1.1 引例6.1.2 統(tǒng)計與數(shù)理統(tǒng)計概述6.1.3 總體與樣本6.1.4 統(tǒng)計量引例 ：某工廠生產(chǎn)大批電子元件.在實際應(yīng)用中,我們可以提出許多感興趣的問題1.這批元件的平均壽命如何?2.這批元件的壽命服從什么分布?3.如果你是使用單位.要求平均壽命能達(dá)到某個指定的數(shù)l，例如小時問這批元件可否被接受？4.如何獲得所需要的數(shù)據(jù)？6.1.1 引例6.1.2 統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)概

2、述統(tǒng)計學(xué)：在日常生活中.”統(tǒng)計”相當(dāng)于”計數(shù)”.小至一個家庭,單位,大至國家,都有許多計數(shù)即統(tǒng)計的工作. 丹麥統(tǒng)計史學(xué)家哈爾德認(rèn)為,”統(tǒng)計學(xué)”和”統(tǒng)計學(xué)家”詞出于意大利語:統(tǒng)計學(xué)即國情學(xué),對象是國務(wù)活動家感興趣的事實,而統(tǒng)計學(xué)家則是”處理國務(wù)的人”一、統(tǒng)計淺談Example 1.全國人口抽樣調(diào)查Example .比較兩種小麥品種的優(yōu)良（）是問題中所涉及的研究對象為數(shù)很大，我們不可能全部加以研究，而只能用“一定的方式”挑選其中一部分去考察。（）數(shù)據(jù)隨機(jī)性的另一種來源是試驗的隨機(jī)誤差，這是指那種在試驗過程中未加控制，無法控制，甚至不了解的因素所引起的誤差。所謂有效的方法（）是可以建立一個在數(shù)學(xué)上可

3、以處理并盡可能簡單方便的模型來描述所得的數(shù)據(jù)；（）數(shù)據(jù)中要包含盡可能多的，與研究的問題有關(guān)的信息有效收集數(shù)據(jù)的問題構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的兩個分支：抽樣理論；，試驗設(shè)計Example 1.考察馬鞍山市人均消費(fèi)水平Example 2:吸煙與肺癌的關(guān)系吸煙增加患肺癌，其他癌癥以及諸如心臟病等嚴(yán)重疾病的危險，英國學(xué)者多爾與希爾從倫敦家醫(yī)院中收集了名肺癌病人以及對照組另名患肺癌者的吸煙情況的資料，按吸煙斗還是紙煙，男或女，將煙吞進(jìn)肺里與否等指標(biāo)分類Example 1.設(shè)想有一枚價值高的鉆石，想用一架天平盡可能準(zhǔn)確地稱出它的重量有多少？統(tǒng)計結(jié)論:吸煙與患肺癌呈明顯的正相關(guān).如何理解這個統(tǒng)計規(guī)律的意義?首先,統(tǒng)計規(guī)

4、律是關(guān)于群體的規(guī)律。 對于群體中的個體情況復(fù)雜多樣,沒有一定.拿本例來說:有吸煙很多而終生保持健康者,也有不吸煙而很早罹患肺癌者,不能用這類個別例子來否定二和者有正相關(guān)性的結(jié)論,因為它講的是群體中一種趨勢。 可能會有疑問：群體是抽象的，每件事都必須落實到具體的個體，患不患肺癌是每個人的事，這樣關(guān)于群體中的趨勢的規(guī)律有何意義？統(tǒng)計應(yīng)用實例：1 孟德爾遺傳定律的發(fā)現(xiàn)；中國患SARS的病人的死亡率是多少；太陽黑子的活動有周期性的規(guī)律嗎？這種規(guī)律反映了某種客觀存在的現(xiàn)實有科學(xué)和認(rèn)識意義。對個體有警戒作用。5.經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計分析 6.科學(xué)研究統(tǒng)計分析 問題1實質(zhì)：從10000人的收入出發(fā)，估計全體馬鞍山市民收

5、入分布的某些數(shù)字特征(此處是期望和方差)。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為參數(shù)估計。問題2實質(zhì)：根據(jù)抽查得到的數(shù)據(jù)，去檢驗總體收入的某個數(shù)字特征(此處是期望)與給定值的差異。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為假設(shè)檢驗。問題3實質(zhì)：分析數(shù)據(jù)誤差的原因(此處是行業(yè))。當(dāng)有多個因素起作用時，還要分析哪些因素起主要作用。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為方差分析。問題4實質(zhì)：根據(jù)觀察數(shù)據(jù)研究變量間(此處是收入與年齡間)的關(guān)系。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為回歸分析。參數(shù)估計(Parametric Estimation) 假設(shè)檢驗(Hypothesis Testing) 回歸分析(

6、Regression) 方差分析(Analysis of variance) 推斷 統(tǒng)計學(xué)三、數(shù)理統(tǒng)計包含的內(nèi)容總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論推斷總體性質(zhì) 統(tǒng)計量 為了集中簡單隨機(jī)樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數(shù),且不含任何未知參數(shù),這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.四、統(tǒng)計的一般步驟總體 研究對象全體元素組成的集合 所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量)，記為X . X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.6.1.3 總體(population)和樣本(Sample

7、)樣本 從總體中抽取的部分個體.稱 為總體 X 的一個容量為n 的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).用 表示樣本， n 為樣本容量.樣本空間 樣本所有可能取值的集合. 個體 組成總體的每一個元素 即總體的每個數(shù)量指標(biāo),可以看作隨機(jī)變量 X 的某個取值.用 表示.若總體 X 的樣本 滿足:一般,對有限總體,采用放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是(1)要有代表性 與X 有相同的分布(2) 相互獨(dú)立則稱 為簡單隨機(jī)樣本.簡單隨機(jī)樣本(i.i.d)其中N為總體中個體的數(shù)目，n 為樣本容量.N / n 10.設(shè) 為總體X 的簡單隨機(jī)樣本, X 的分布函數(shù)為

8、F (x), 若總體X 的概率密度函數(shù)為f( x), 則 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為則 的聯(lián)合分布函數(shù)為設(shè)有放回地抽取了一個容量為n 的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣本空間為若抽樣是無放回地,則前次抽取的結(jié)果會影響后面抽取的結(jié)果.例如所以, 當(dāng)樣本容量n 與總體中個體數(shù)目N 相比很小時, 可將無放回抽樣近似地看作放回抽樣.在實際如何獲得簡單隨機(jī)樣本?Example:一批燈泡有個，要從中抽個作壽命試驗，如何選這個燈泡？方案準(zhǔn)備個完全相同的球，球上依次寫上，放在盒中，并徹底攪亂，然后取個球方案利用“隨機(jī)數(shù)表，可以從表中任意位置開始讀數(shù)（每三個數(shù)為一組）如：，方案可利用計算機(jī)產(chǎn)生個間的不同的隨機(jī)整數(shù)樣本來自

9、總體，樣本的觀察值就含有總體各個方面的信息，但這些信息較為分散，為使這些分散在樣本中有關(guān)的信息集中起來反映總體的各種特征，需對樣本進(jìn)行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的樣本函數(shù)反映總體的不同特征，這種函數(shù)便是統(tǒng)計量。6.1.4 統(tǒng)計量(Statistic)若是一個樣本值,稱的一個樣本值.為統(tǒng)計量設(shè) 是總體X 的一個樣本, 參數(shù),則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計量.定義為一實值連續(xù)函數(shù),且不含有未知Problem:用什么統(tǒng)計量來刻畫所考察的對象?Example:某大學(xué)新聘一位教授，給位研究生上課，期末考試成績?nèi)缦拢?，成績上報后教學(xué)院長認(rèn)為：試題太易，因為的的就有人系主任認(rèn)為：考題偏難，因為平均成績

10、才.分教授認(rèn)為：考題適宜，因為從總體看分是有代表性的，多于分和少于分的人數(shù)相等誰的話有道理？常用的統(tǒng)計量： 為樣本均值 為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體 X 的容量為 n 的樣本,稱統(tǒng)計量為樣本的k 階原點矩為樣本的k 階中心矩例如例1 是未知參數(shù), 但不是統(tǒng)計量.若 , 已知,則為統(tǒng)計量.是一樣本,是統(tǒng)計量, 其中則(5) 順序統(tǒng)計量(Order Statistic)與極差設(shè)為樣本的一個實現(xiàn),且當(dāng)取值為時,定義隨機(jī)變量則稱統(tǒng)計量為順序統(tǒng)計量.其中稱為極差(sample rang)注：樣本方差 與樣本二階中心矩 的不同故推導(dǎo)關(guān)系式1）推導(dǎo) 設(shè)則2）例2 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件,

11、測得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩.解令則例 設(shè)總體X 的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)學(xué)期望與方差(2) (3) 解 (1)(近似),(3)由中心極限定理(2)內(nèi)容小結(jié)：1.統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計基本概述2.總體和樣本3.常用統(tǒng)計量:樣本均值；樣本方差； 樣本的k 階中心矩。6.2 正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布6.2.1 正態(tài)分布6.2.3 t分布(學(xué)生分布)6.2.4 F分布6.2.2 (卡方)分布6.2.5 正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論6.2.6 Ex

12、cel實現(xiàn) 確定統(tǒng)計量的分布 抽樣分布, 是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一. 采用求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布.由于樣本容量一般不止 2 或 3 (甚至還可能是隨機(jī)的), 故計算往往很復(fù)雜, 有時還需要特殊技巧或特殊工具. 由于正態(tài)總體是最常見的總體, 故本節(jié)介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言.6.2.1 正態(tài)分布(Normal distribution)則特別地,則若i.i.d.若i.i.d.上(雙)側(cè) 分位數(shù)的概念 設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為f ( x ) , 為給定常數(shù), 0 1 若則稱 x 為X 所服從的分布的上 分位數(shù).如果 X 的概率密度函數(shù)為偶函數(shù),則對于滿足

13、 0 0 時收斂，稱為 函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為 n 的n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 分布密度函數(shù)圖例如分布的性質(zhì)20.05(10)n = 10()05.0307.18)10(307.18)10(2205.0=ccP相互獨(dú)立,證 1設(shè)則6.2.3 t 分布 (Student 分布)定義則T 所服從的分布稱為自由度為 n 的t 分布其密度函數(shù)為X , Y 相互獨(dú)立,設(shè)t 分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n = 1n=20t 分布的性質(zhì)1f n(t)是偶函數(shù),2t分布的上 分位數(shù) t 與雙測 分位數(shù) t/2 有表可查n = 10t-tt/2-t/2/2/2 6.2

14、.4 F 分布(F distribution with n and m degrees)則F 所服從的分布稱為第一自由度為n ,第二自由度為m 的F 分布,其密度函數(shù)為定義X , Y 相互獨(dú)立，設(shè)令m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15m = 4, n =10m = 10, n =10m = 15, n =10F 分布的性質(zhì)例如事實上,故但F(n,m)19.5)5,4(05.0=F?)4,5(95.0=F例1 證明證證例2 證明：設(shè)令6.2.5 正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論() 一個正態(tài)總體與相互獨(dú)立設(shè)總體的樣本為( )，則(1)(2)( II ) 兩

15、個正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本它們相互獨(dú)立. 令則若則(3)設(shè)是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本 ,它們相互獨(dú)立. 則與相互獨(dú)立(4)例3 設(shè)總體大于70 的概率不小于 90% ,則樣本容量 ,為使樣本均值解 設(shè)樣本容量為 n , 則故令查表得即所以取 .42例4 從正態(tài)總體中，抽取了 n = 20 的樣本(1) 求(2) 求解 (1)即故(P.386)(2) 故例5 設(shè)X 與Y 相互獨(dú)立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與 Y1, Y2 , Y16 分別是取自 X 與 Y 的簡單

16、隨機(jī)樣本, 求統(tǒng) 計量所服從的分布.解從而例6 設(shè)總體的樣本,為總體 X試確定常數(shù)c 使cY 服從分布.解故因此例7 設(shè)是來自正態(tài)總體N ( , 2 )的簡單隨機(jī)樣本, 是樣本均值,則服從自由度為n - 1的t 分布的隨機(jī)變量為:故應(yīng)選(B)解例8 在總體XN(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,X5,求下列概率: (1)因為=2(1.118)-1=0.7364解解=0.2923例8 在總體XN(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,X5,求下列概率:解=0.4215例8 在總體XN(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,X5,求下列概率:Step1 在數(shù)據(jù)編輯窗口中，建立數(shù)據(jù)文件; Step2 計算樣本均值調(diào)用Average 函數(shù)：Step3 計算樣本方差調(diào)用Var 函數(shù) ;Step4 計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差調(diào)用Stdev 函數(shù). (1) 利用Excel計算樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差 6.2.6 Excel實現(xiàn)Step1 計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù) Step2 計算 的上側(cè)分位數(shù) Step3 計算 的上側(cè)分位數(shù) Step4 計算 的上側(cè)分位數(shù) (2) 利用Excel計算四大分布的分位數(shù)內(nèi)容小結(jié)：1. 正態(tài)分布3. t分布(學(xué)生分布)4. F