向量的數(shù)量積 教案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

1、 6/6向量的數(shù)量積【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（難點）2體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（重點）3掌握數(shù)量積的運算性質(zhì)，并會利用其性質(zhì)解決有關(guān)長度、夾角、垂直等問題。（重點）1通過向量的夾角、向量數(shù)量積概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。2通過向量數(shù)量積的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)過程】一、問題導(dǎo)入我們在物理課中學(xué)過，力與在力的方向上移動的距離的乘積稱為力對物體所做的功。如圖所示，如果作用在小車上的力F的大小為|F| N，小車在水平面上位移s的大小為|s|m，力的方向與小車位移的方向所成夾角為，那么這個力所做的功為W=|F|s|co

2、s 。（1）顯然，功W與力向量F及位移向量s有關(guān)，這三者之間有什么關(guān)系？（2）給定任意兩個向量a，b，能確定出一個類似的標(biāo)量嗎？如果能，請指出確定的方法；如果不能，說明理由。二、新知探究1與向量數(shù)量積有關(guān)的概念【例1】（1）以下四種說法中正確的是_。（填序號）如果ab0，則a0或b0；如果向量a與b滿足ab0，則a與b所成的角為鈍角；ABC中，如果eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()0，那么ABC為直角三角形；如果向量a與b是兩個單位向量，則a2b2（2）已知|a|3，|b|5，且ab12，則a在b方向上的投影的數(shù)量為_，b在a方向上的投影的數(shù)量為_。（3）已知等腰ABC的

3、底邊BC長為4，則eq o(BA,sup8()eq o(BC,sup8()_。思路探究：根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及投影的定義解答。（1）；（2）eq f(12,5)；4；（3）8；（1）由數(shù)量積的定義知ab|a|b|cos （為向量a，b的夾角）。若ab0，則90或a0或b0，故錯；若ab0，則為鈍角或180，故錯；由eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()0知B90，故ABC為直角三角形，故正確；由a2|a|21，b2|b|21，故正確。（2）設(shè)a與b的夾角為，則有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b方向上的投影的數(shù)量為|a|cos eq f(ab,|b|)e

4、q f(12,5)eq f(12,5)；向量b在向量a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos eq f(ab,|a|)eq f(12,3)4（3）如圖，過點A作ADBC，垂足為D因為ABAC，所以BDeq f(1,2)BC2，于是|eq o(BA,sup8()|cos ABC|eq o(BD,sup8()|eq f(1,2)|eq o(BC,sup8()|eq f(1,2)42，所以eq o(BA,sup8()eq o(BC,sup8()|eq o(BA,sup8()|eq o(BC,sup8()|cos ABC428教師小結(jié)（一）在書寫數(shù)量積時，a與b之間用實心圓點“”連接，而不能用“”連接，更不

5、能省略不寫。（二）求平面向量數(shù)量積的方法：（1）若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式ab|a|b|cos 。（2）若已知一向量的模及另一向量在該向量上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求ab。2數(shù)量積的基本運算【例2】已知|a|4，|b|5，當(dāng)（1）a b；（2）a b；（3）a與b的夾角為135時，分別求a與b的數(shù)量積。思路探究：（1）當(dāng)a b時，a與b夾角可能為0或180。（2）當(dāng)a b時，a與b夾角為90。（3）若a與b夾角及模已知時可利用ab|a|b|cos （為a，b夾角）求值。解：設(shè)向量a與b的夾角為，（1）a b時，有兩種情況：若a和b同向，則0，ab|a|b|，cos 020；若

6、a與b反向，則180，ab|a|b|cos 18020.（2）當(dāng)a b時，90，ab0。（3）當(dāng)a與b夾角為135時，ab|a|b|cos 13510eq r(2)。教師小結(jié)（1）求平面向量數(shù)量積的步驟是：求a與b的夾角，0，；分別求|a|和|b|；求數(shù)量積，即ab|a|b|cos 。（2）非零向量a與b共線的條件是ab|a|b|。3與向量模有關(guān)的問題【例3】已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a與b的夾角為120。求向量b的模。解：因為a24，所以|a|24，即|a|2，將x1代入原方程可得121ab0，所以ab3，所以ab|a|b|cosa，b2|b|cos 1203，所以|b

7、|3。1（變結(jié)論）本例題設(shè)條件不變，求b在a方向上的投影的數(shù)量。解：由例題解析可知|b|3因為|b|cosa，b3cos120eq f(3,2)。所以b在a方向上的投影的數(shù)量為eq f(3,2)。2（變條件）將本例中“a與b的夾角為120”改為“|ab|3”。如何求a與b的夾角？解：易求|a|2，|b|3。因為ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |3，所以|cos |eq f(1,2)，故cos eq f(1,2)。又因為0，所以eq f(,3)或eq f(2,3)。教師小結(jié)（1）此類求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與數(shù)量積聯(lián)系。（2）利用aaa2|a|2或|a|eq r(a2)，

8、可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化。4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)探究問題（1）設(shè)a與b都是非零向量，若a b，則ab等于多少？反之成立嗎？提示：a bab0.（2）當(dāng)a與b同向時，ab等于什么？當(dāng)a與b反向時，ab等于什么？特別地，aa等于什么？提示：當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a|eq r(aa)。（3）|ab|與|a|b|的大小關(guān)系如何？為什么？對于向量a，b，如何求它們的夾角？提示：|ab|a|b|，設(shè)a與b的夾角為，則ab|a|b|cos 。兩邊取絕對值得：|ab|a|b|cos |a|b|。當(dāng)且僅當(dāng)|cos |1，即cos 1，0或

9、時，取“”，所以|ab|a|b|，cos eq f(ab,|a|b|)?！纠?】 已知|a|3，|b|2，向量a，b的夾角為60，c3a5b，dma3b，求當(dāng)m為何值時，c與d垂直？思路探究：由條件計算ab，當(dāng)c d時，cd0列方程求解m。解：由已知得ab32cos 603由c d，知cd0，即cd（3a5b）（ma3b）3ma2（5m9）ab15b227m3（5m9）6042m870，meq f(29,14)，即meq f(29,14)時，c與d垂直。教師小結(jié)（1）已知非零向量a，b，若a b，則ab0，反之也成立。（2）設(shè)a與b夾角為，利用公式cos eq f(ab,|a|b|)可求夾角，

10、求解時注意向量夾角的取值范圍0，。三、課堂總結(jié)1對投影的三點詮釋（1）ab等于|a|與b在a方向上的投影的乘積，也等于|b|與a在b方向上的投影的乘積。其中a在b方向上的投影與b在a方向上的投影是不同的。（2）b在a方向上的投影為|b|cos （是a與b的夾角），也可以寫成eq f(ab,|a|)。（3）投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零。2向量的數(shù)量積與實數(shù)乘積運算性質(zhì)的比較實數(shù)a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0/ b0abbc（b0）acabbc（b0）/ ac|ab|a|b|ab|a|b|滿足乘法結(jié)合律不滿足乘法結(jié)合律四、課堂檢測1已知點A，B，C滿

11、足|eq o(AB,sup8()|3，|eq o(BC,sup8()|4，|eq o(CA,sup8()|5，則eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(CA,sup8()eq o(CA,sup8()eq o(AB,sup8()的值是（ ）。A25B25C24D24【答案】A【解析】因為|eq o(AB,sup8()|2|eq o(BC,sup8()|291625|eq o(CA,sup8()|2，所以ABC90，所以原式eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(CA,sup8()（eq o(BC,sup8()eq o(AB,sup8()）0eq o(CA,sup8()eq o(AC,sup8()eq o(AC,sup8()2252（2019全國卷）已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且（ab）b，則a與b的夾角為（ ）Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)【答案】B【解析】設(shè)a與b的夾角為，（ab）b，（ab）b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos eq f(1,2)，0，eq f(,3)，故選B。3已知|a|4，e為單位向量，a在e方向上的投影的數(shù)量為2，則a與e的夾角為_。【答案】120【解析】因為a在e方向上的投