高等數(shù)學(上冊) 第一章教案

1、第一章：函數(shù)、極限與連續(xù)62第一節(jié)：集合與函數(shù)一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。我們通常用大字拉丁字母 、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母 、b、表示集合中的元素。如果 a 是集合 A中的元素，就說 a 屬于 ，記作：，否則就說 a 不屬于 ，記作：a 。、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作 N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作 N 或 N 。+、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作 Z。、

2、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作 。、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作 R。集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關系、子集：一般地，對于兩個集合 、B，如果集合 A中的任意一個元素都是集合 B 的元素，我們就說 、B 有包含關B（或 B）。系，稱集合 A為集合 B 的子集，記作 A相等：如何集合 A是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A的子集，此時集合 A中的元素與集合 B 中的元素完全一樣，因此集合 A與集合 B 相等，記作 B。、真子集：如何集合 A是集合 B 的子集，但存在一個元素屬

3、于 B 但不屬于 ，我們稱集合 A是集合 B 的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個集合是它本身的子集。即 AA、對于集合 、B、C，如果 A是 B 的子集，B 是 C 的子集，則 A是 C 的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算 A或?qū)儆诩?B 的元素組成的集合稱為 A與 B B它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 Bx|x，或 B。、交集：一般地，由所有屬于集合 A且屬于集合 B 的元素組成的集合稱為 A與 B 的交集。

4、記作 B。即 Bx|x，且 B。、補集：全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作 。補集：對于一個集合 ，由全集 U 中不屬于集合 A的所有元素組成的集合稱為集合 A相對于全集 U 的補集。簡稱為集合 A的補集，記作 C 。U即 C ，且 x。U集合中元素的個數(shù)、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。、用 card 來表示有限集中元素的個數(shù)。例如 a,b,c，則 card(A)=3。、一般地，對任意兩個集合 、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)我的問題：1、學

5、校里開運動會，設 x|x是參加一百米跑的同學，Bx|x是參加二百米跑的同學，Cx|x是參加四百米跑的同學。學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。、B；、B。2、在平面直角坐標系中，集合C(x,y)|y=x表示直線 ，從這個角度看，集合 D=(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合 C、D 之間有什么關系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系。3、已知集合 3，Bx|(x-1)(x-a)=0。試判斷 B 是不是 A的子集？是否存在實數(shù) a 使 B 成立？4、對于有限集合 、B、C，能不能找出這三個集合中元素

6、個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關系呢？5、無限集合123nB24682n，你能設計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？2、區(qū)間、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名稱閉區(qū)間區(qū)間的滿足的不等式axb區(qū)間的記號a，b區(qū)間

7、在數(shù)軸上的表示開區(qū)間axb（a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a，+)：表示不小于a 的實數(shù)的全體，也可記為：ax+；(-，b)：表示小于b 的實數(shù)的全體，也可記為：-xb；(-，+)：表示全體實數(shù)，也可記為：-x+注：其中-和+，分別讀作負無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號。、鄰域：設 與 是兩個實數(shù)，且0.滿足不等式x- 的實數(shù)x 的全體稱為點 的 鄰域，點 稱為此鄰域的中心， 稱為此鄰域的半徑。3、復合函數(shù)復合函數(shù)的定義：若y是 u 的函數(shù)y=f(u)，而u 又是x u=(x)，且u=(x)的函數(shù)值的全部或部分在 f(u)的定義域 通過u 的聯(lián)系也是x 的

8、函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)及 復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作y)，其中 u 叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。2例題：函數(shù)y=arcsinx 與函數(shù)u=2+x 是不能復合成一個函數(shù)的。2因為對于 u=2+x 的定義域(-,+)中的任何x 值所對應的u值（都大于或等于 2），使 y=arcsinu 都沒有定義。4、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：a):其圖形總位于y b):當 時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(-,+)

9、的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.a):當 m 為偶數(shù)n 是偶函數(shù);b):當 m,n 都是奇數(shù)時,y c):當 m奇 n 在(-,0)無意義.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).5、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)（補充）、雙曲函數(shù)：在應用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)名稱a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增a)：其定義域為:(-,+)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(0,1)；a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數(shù)；y=1及y=-1之間；在定

10、域內(nèi)單調(diào)增；課后作業(yè)及小結(jié)：1、學習了集合概念與函數(shù)概念2、掌握復合函數(shù)與反函數(shù)計算方法。作業(yè)：P9.1,7,8第二節(jié)：數(shù)列的極限1、引入、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a，第二個數(shù)a，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應著一個確21定的數(shù)a，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a，a，a，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項a叫做數(shù)列的nn12n一般項或通項.注：我們也可以把數(shù)列a看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：a=n，它的定義域是全體正整數(shù)n、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記

11、為A；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A；再作圓的內(nèi)接正二21A62 邊形的面積記為A3n123An，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)列A，A，A，An， 當n(讀作n趨近于無窮大)的極限。312注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學家劉徽(公元三世紀)的割圓術。2、數(shù)列極限的概念（1）、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列x，來說，若存在任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整312n數(shù)N，使得對于時的一切x不等式n都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列x的極限，或者稱數(shù)x收斂于a .nn記作：或注：此

12、定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達出x與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與n任意給定的正數(shù)是有關的，它是隨著的給定而選定的。數(shù)列x極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列x在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點an123n的鄰域即開區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示：因不等式與不等式等價，故當nN時，所有的點x都落在開區(qū)間(a-，a+)內(nèi)，而只有有n限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，-1，1，-1，(-1) ， 是有界的，但它是發(fā)散的。3、數(shù)列極限的計算（課本例子）課后作業(yè)及小結(jié)：1、學習了數(shù)

13、列極限概念2、掌握數(shù)列極限運算方法。作業(yè)：P15.2第三節(jié)：函數(shù)極限的定義域計算前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學習函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一0常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學習一下函數(shù)極限的概念!1、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限所對應的函數(shù)值都滿足不等式的一切x，那末常數(shù)A就叫

14、做函數(shù)y=f(x)當x時的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：數(shù)列的極限的定義存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正數(shù)X，對于適合 的一切x，都滿足n整數(shù)N，對于的所有a 都滿足nn，函數(shù)當x時的極限為A，記：從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.例：函數(shù)，當x1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論xx的過程，與x=x出的情況無關。此定義

15、的核心問題00是：對給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？a):先任取0；b):寫出不等式；c):解不等式能否得出去心鄰域0，若能；d):則對于任給的0，總能找出，當02、函數(shù)極限的運算規(guī)則時，成立，因此前面已經(jīng)學習了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運算規(guī)則若已知xxx)時，0.則：推論：在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來

16、。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。3、左右極限定義定義：如果x僅從左側(cè)(xxx時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當時的左極限.記：00如果 x 僅從右側(cè)(xx)趨近x 與常量 A A 為函數(shù)當00注：只有當xx 時，函數(shù) 的左、右極限存在且相等，方稱 在 xx 時有極限00第四節(jié)：極限性質(zhì)1、數(shù)列極限的性質(zhì)nnnnbababa222babax x 22nnnn不等式 x 則稱數(shù)列x 是有界的 如果這樣的正數(shù) M不存在，就說數(shù)列x 是無界的nnn定理 收斂數(shù)列的有界性)

17、 x 收斂 那么數(shù)列x 一定有界nn證明 設數(shù)列x 收斂 且收斂于a 根據(jù)數(shù)列極限的定義 對于 存在正整數(shù) 使對于nN 時的一切 x 不等式nnx a1 都成立 于是當 nN 時nx x a)a|x aaannn12Nnnn這就證明了數(shù)列x 是有界的n定理 3（收斂數(shù)列的保號性) x 收斂于 a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù) N 當 nN 時 有 x 或 x 0)nnn, NN , 當 nN 時 有nnnnnn證明 就 x 0 情形證明 x 從 N 項起 即當nN 時有x 0 現(xiàn)在用反證法證明 或 a0 則由定理3 知 N N , 當nn11n2nN 時 有 x 0 取 NmaxN N

18、當 nN 時 按假定有x 0 按定理3 有 x 0 所以必有 a0. 2n12nn在數(shù)列x 中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列x 的子數(shù)列nn例如 數(shù)列x 111 (1) 的一子數(shù)列為x 1 1 (1)2n1 n1n關系) 如果數(shù)列x 收斂于a 那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是 a nnnkx因為數(shù)列x 收斂于 a 所以 0 NN 當 nN 時 有x a取 KN 則當 K 時 n KN 于是|+nnknk2、函數(shù)極限的性質(zhì)lim f()定理 函數(shù)極限的唯一性)如果極限定理 函數(shù)極限的局部有界性) 如果 f()A(x ) 那么存在常數(shù)0 和 使得

19、當0 x 時 有f()|00當 0 x 時 有f()A00于是 f()|f()AAf()AA1A| 這就證明了在 x 的去心鄰域x| x 內(nèi)f()是有界的00定理 函數(shù)極限的局部保號性) 如果 f()A(x ) 而且 A或 A0) 那么存在常數(shù)0 使當 0 x 時 有 f()0(或00f()0)0000證明 設f()0 假設上述論斷不成立 即設A0 那么由定理1就有x 的某一去心鄰域 在該鄰域內(nèi) f()0 這與f()0的假0如果當x 時f()的極限存在 x 為f()的定義域內(nèi)任一收斂于x 的數(shù)列 且滿足x x (nN ) 那么相應的函數(shù)值數(shù)列f(x )000nn則當0 x | 時 有f()A0

20、00Nx x (N )n0n0n0nnn第五節(jié)：兩個重要的極限1、準則 I如果數(shù)列x 、y 及z 滿足下列條件nnnn(2)nnnnnnnn11nny a 又 N 0 當 nN 時 有z a 現(xiàn)取 NN N 則當 nN 有n22n12y a z ann同時成立 即ay a az annnanxz annnn簡要證明 由條件(2) 0y a 及z aN0 當nN 有nnay a az annxnlimx ann要求函數(shù)在x 的某一去心鄰域內(nèi)有定義要求函數(shù)當xM0 xx2ABSSAOD1xOx1x2limcosx1 根據(jù)準則 I limxx0 x0sinx1(此不等式當0 時也成立)xlimcos

21、x1 根據(jù)準則 I limxx0 x0sin()()sin()()lim中 只要()是無窮小 就有sin()()lim這是因為 令 u() 則 uusin()()1 limxxlimlimxxx1cosxx22 xx022sin2 lim2x2 12x如果數(shù)列x 滿足條件xxxxx 就稱數(shù)列x 是單調(diào)增加的 如果數(shù)列x 滿足條件xn nn123nxxxx123n在第三節(jié)中曾證明 收斂的數(shù)列一定有界 但那時也曾指出 有界的數(shù)列不一定收斂 現(xiàn)在準則 II 表明 如果數(shù)列不僅有界 并且是單調(diào)的 那么這數(shù)列的極限必定存在 也就是這數(shù)列一定收斂準則 II的幾何解釋或者無限趨近于某一定點 Ann1 現(xiàn)證明

22、數(shù)列x 是單調(diào)有界的nnnn有1n 1 (n 1 (nn 1 n!nn112112)nn!nnn11112112)112n)x的展開式 可以看出除前兩項外并且x 還多了最后一項n因為 x 的展開式中各項括號內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1 代替nn11!11232122根據(jù)準則 II 數(shù)列x 這個極限我們用 e 來表示 即nlim ) ennx e 是個無理數(shù) 它的值是 2 x11( e(x) (x) 中 只要()是無窮小 就有u() lim ) e lim ) eu x u( e() 0)1lim )x1lim ) ) limx1xtttt)xxxx第六節(jié)：無窮小與無窮大1、無窮小如果函數(shù) f()當 x

23、(或 )時的極限為零 那么稱函數(shù) ()為當 x (或 )時的無窮小 特別地 以零為極限的00數(shù)列x 稱為 n時的無窮小n11 所以函數(shù) 為當 時的無窮小xxxx1為當 n時的無窮小很小很小的數(shù)只要它不是零 作為常數(shù)函0數(shù)在自變量的任何變化過程中定理 1 在自變量的同一變化過程x (或 )中 函數(shù) f()具有極限 A 的充分必要條件是f()A 其中是無窮0使當0 x 時 有f()A0令f()A 則是 x 時的無窮小 且 f()A 這就證明了 f()等于它的極限 A與一個無窮小之和0反之 設 f()A 其中 A 是常數(shù) 是 x 時的無窮小 于是f()A0因是 x 時的無窮小使當0 x 有 或f()

24、A這就證明了 A 是 f() 當 xx 時的極000令f()A 則f()A|使當 0 x 有 f()A 就有使當0 x 有就有 f()A則是x 時的無窮小類似地可證明時的情形1x 1111x 133023xx如果當 x (或 )時 對應的函數(shù)值的絕對值f()|無限增大 就稱函數(shù) f()為當 x (或 )時的無窮大00(或x應注意的問題 當x 或)時為無窮大的函數(shù)f() 按函數(shù)極限定義來說 極限是不存在的 但為了便于敘述函數(shù)0(或xlim f()x0 0 當0 x 時 有f(x)|0 f() f()(x)1limx1x11當 01| 時M1|x11limx1x1111M1x0是函數(shù)f()的圖形的

25、鉛直漸近線y 直線x1是函數(shù)為無窮小 反之 如果f()11lim f()0 xx0 x 0 當 0 時MM00f()01|Mf()11M x為x 時的無窮大 那么對于 0當0f()1|連續(xù)性1、連續(xù)的概念在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念增量設變量 x 從它的一個初值x 變到終值x ，終值與初值的差x -x 就叫做變量 x 的增量，記為：x 即：x=x-x 增量x122121 在點 x x 在領域內(nèi)從x 變到 x+x y 相應地從 f(x )000現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當x 趨向于零時，函數(shù)y 對應的增量y 也趨向于零，即：0000下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來

26、學習一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果= ，那末我們就稱函數(shù) 在點 b左連續(xù).設函數(shù) 在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，= f(a)，那末我們就稱函數(shù)在點 a 右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a 點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。通過上面的學習我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學習這個問題：函數(shù)的間斷點a)：在 x 無定義；0b)：在 xx 時無極限；0c)：在 xx 時有極限但不等于f(x0)；0下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型

27、：例 1： 正切函數(shù) y=tanx在 x=/2 是函數(shù) y=tanx為函數(shù) y=tanx 的無窮間斷點； x=/2例 2：函數(shù)y=sin(1/x)在點x=0 處沒有定義；故當 x0 時，函數(shù)值在-1 之間變動無限多次，我們就稱點x=0 叫做函數(shù) y=sin(1/x)的振蕩間斷點；例 當 x0 時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點 x=0 是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0 時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:3、間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x 是函數(shù) 的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x 稱為函數(shù) 的第一類間斷00點；