動(dòng)力學(xué)在同一鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)兩個(gè)相同均質(zhì)桿

1、1動(dòng)力學(xué)習(xí)題例：在同一鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)相同的均質(zhì)桿OA和AB用鉸鏈O和A連接，如圖所示。各桿長(zhǎng)為l，由水平位置無(wú)初速釋放，求釋放的初瞬時(shí)兩桿的角加速度。 解：(1) 對(duì)初始位置時(shí)的系統(tǒng)做受力分析，并加上慣性力，設(shè)初始瞬時(shí)兩桿的角加速度均為順鐘向?？梢杂脛?dòng)靜法：整體對(duì)O點(diǎn)取矩平衡 + AB桿對(duì)A點(diǎn)取矩平衡(2) 取兩桿的轉(zhuǎn)角 和 為廣義坐標(biāo)。 (3) 取虛位移(3) 取虛位移例：在同一鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)相同的均質(zhì)桿OA和AB用鉸鏈O和A連接，如圖所示。各桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，試建立兩桿的運(yùn)動(dòng)方程。 例：初始靜止, 求兩桿的角加速度。 A題7-24：已知：曲柄OA勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求受迫振動(dòng)方程。解：(1

2、) 取位置坐標(biāo)。A阻尼力:例：已知 , 求相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程題7-27: 已知 , 求B的振動(dòng)方程.解: 取相對(duì)位移 y 為坐標(biāo), 靜平衡位置o為原點(diǎn).題7-27: 已知 , 求B的振動(dòng)方程.解: 取絕對(duì)位移 y 為坐標(biāo), 靜平衡位置o為原點(diǎn).習(xí)題2-2：圖示滑塊A (質(zhì)量為m)在光滑的水平槽中運(yùn)動(dòng)，彈簧剛度系數(shù)為k，桿AB長(zhǎng)為l，小球大小不計(jì)。設(shè)在力偶M作用下桿AB的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 =t，試求滑塊A的運(yùn)動(dòng)微分方程。解法一: 在水平方向應(yīng)用動(dòng)量定理：解法二: 應(yīng)用拉格朗日方程：動(dòng)能：勢(shì)能：習(xí)題5-13：建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程, 并求維持圓環(huán)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)所需的轉(zhuǎn)矩 M。例：對(duì)于具有定常約束的質(zhì)點(diǎn)系，其

3、動(dòng)能可以表示成_。 其中： 為廣義速度的 i 次齊函數(shù)( i =0,1,2)。例：對(duì)于具有定常約束的質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)能可以表示成_的函數(shù)。 A：廣義速度；B：廣義坐標(biāo)；C：時(shí)間 t 。例：第二類拉格朗日方程用于研究具有_ 質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)問題。A：完整約束；B：定常約束；C：非完整約束；D：非定常約束。例：質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)可在半徑為R 的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)以角速度 (常矢量)繞AB軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。為質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可以表示成 ，其中 (i=0,1,2)為廣義速度的i 次齊函數(shù)。求：例：質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤在水平地面上純滾動(dòng)，長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤連接，系

4、統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如圖所示。不計(jì)空氣阻力和摩擦。求：AB用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度給出系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V(桿在鉛垂位置時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn))；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置。=0，圓盤中心A點(diǎn)的速度為u，桿的角速度為零。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。要求：給出解題的基本理論和基本步驟。例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤在地面上純滾動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤連接。求系統(tǒng)的首次積分。AB=2LAB解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力拉格朗日函數(shù) 中不顯含廣義坐標(biāo) x 和時(shí)間 t 例：給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分。解：系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為拉格朗日函數(shù) 中不顯

5、含廣義坐標(biāo)x和時(shí)間t系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒例：滑塊與均質(zhì)圓盤用不計(jì)質(zhì)量的桿AB鉸接在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如圖所示，其中AB桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓盤半徑為R，滑塊與均質(zhì)圓盤的質(zhì)量均為m。不計(jì)所有摩擦。求：用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度給出系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V(桿在鉛垂位置時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn))；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置。=0，滑塊的速度為u，方向水平向右；圓盤的角速度為。，轉(zhuǎn)向逆時(shí)針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。例：AB桿長(zhǎng)為l，圓盤半徑為R，各物件質(zhì)量均為m。不計(jì)所有摩擦。求：給出系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V (桿鉛垂時(shí)勢(shì)能取零)；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置。=0，滑塊的速度為u，方

6、向水平向右；圓盤的角速度為。，轉(zhuǎn)向逆時(shí)針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。有首次積分:確定積分常數(shù):初始 , 滑塊速度u向右；圓盤角速度 逆時(shí)針。例：系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，水平面光滑。系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如圖所示，其中AB桿長(zhǎng)為l，圓盤半徑為R，各物件質(zhì)量均為m。不計(jì)所有摩擦。求：用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度給出系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V(桿在鉛垂位置時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn))；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置 ，滑塊的速度為u，方向水平向右；兩圓盤的角速度均為 ，轉(zhuǎn)向逆時(shí)針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。例：拉格朗日方程的循環(huán)積分反映的是質(zhì)點(diǎn)系的_。 A：某個(gè)廣義動(dòng)量守恒；B：廣義能量守恒。

7、例：?jiǎn)巫杂啥染€性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期與_ 有關(guān)。 A：廣義質(zhì)量；B：廣義剛度；C：初始位置；D：初始速度。例：二自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)的_ 有關(guān)。 例：圖示系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)k*=_。 例：圖示系統(tǒng)的固有頻率 =_。 例：長(zhǎng)為l質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA用光滑柱鉸鏈懸掛在o點(diǎn)，下端與剛度系數(shù)為k的水平彈簧連接，桿鉛垂時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程_。 例：長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA用光滑柱鉸鏈懸掛在o點(diǎn)，下端與剛度系數(shù)為k的水平彈簧連接，桿鉛垂時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅擺動(dòng)的固有頻率 =_。 例：質(zhì)量為 m半徑為R的均質(zhì)圓盤可繞其中心水平軸O作定

8、軸轉(zhuǎn)動(dòng), 質(zhì)量為m的滑塊A與圓盤通過鉸鏈用長(zhǎng)為R的無(wú)質(zhì)量桿AB連接，不計(jì)所有摩擦，系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 求系統(tǒng)在靜平衡位置附近作微幅振動(dòng)的固有頻率 =_。例：已知 m, OA=AB=L, 求系統(tǒng)微振動(dòng)固有頻率35例：中心為O，質(zhì)量為2m，半徑為R的均質(zhì)圓盤在粗糙水平面上沿直線純滾動(dòng)，在其邊緣上固接一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)A，OA連線與鉛垂線的夾角為，如圖所示。求該系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近作微幅振動(dòng)的固有頻率。36例：半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤在粗糙水平面上沿直線(x軸)純滾動(dòng)，不計(jì)滾動(dòng)阻力，除重力外無(wú)其他主動(dòng)力。運(yùn)動(dòng)分析:(1) 純滾動(dòng)時(shí)摩擦力不做功，機(jī)械能守恒 圓盤勻速滾動(dòng)；(2) 盤心速度不變 滑

9、動(dòng)摩擦力為零，法向約束力等于盤重。 37例：僅受重力作用的薄圓盤在粗糙水平面上的純滾動(dòng) .問題: 圓盤能否傾斜著(章動(dòng)角 =常數(shù))沿直線純滾動(dòng)？ 38問題: 圓盤能否傾斜著(章動(dòng)角 =常數(shù))沿直線純滾動(dòng)？ 設(shè)圓盤可以沿直線作純滾動(dòng)，則:(1) 純滾動(dòng)時(shí)摩擦力不做功，機(jī)械能守恒 圓盤勻速滾動(dòng)；(2) 盤心速度不變 滑動(dòng)摩擦力為零： 受力分析:互相垂直(3) 法向約束力:(4) 對(duì)質(zhì)心有矩；將運(yùn)動(dòng)分解成隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。39陀螺的特性：1. 定向性：對(duì)于動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的歐拉情況(稱為平衡陀螺):常矢 如果初始時(shí)僅讓陀螺繞對(duì)稱軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則陀螺將一直繞對(duì)稱軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。2. 進(jìn)動(dòng)性： 如果有

10、外力對(duì)o點(diǎn)有矩，則 和對(duì)稱軸將向力矩(而不是力)的方向偏轉(zhuǎn)。 只要高速旋轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸被迫在空間改變方向(即發(fā)生強(qiáng)迫進(jìn)動(dòng))，就會(huì)產(chǎn)生陀螺力矩，出現(xiàn)陀螺效應(yīng)。3. 陀螺效應(yīng)：40問題: 圓盤能否傾斜著(章動(dòng)角 =常數(shù))沿直線純滾動(dòng)？ (4) 對(duì)質(zhì)心有矩； 如果有外力對(duì)質(zhì)心有矩，則 和對(duì)稱軸將向力矩(而不是力)的方向偏轉(zhuǎn)。結(jié)論: 圓盤不能維持傾斜著(章動(dòng)角 =常數(shù))沿直線純滾動(dòng)？ 題6-18：求維持圖示運(yùn)動(dòng)所需的 x =?動(dòng)量矩：由動(dòng)量矩定理：例：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的陀螺做規(guī)則進(jìn)動(dòng)(即該陀螺的自轉(zhuǎn)角速度 和進(jìn)動(dòng)角速度 的大小為常量且 z 軸與 軸的夾角 為常量)，如圖所示。則該陀螺在運(yùn)動(dòng)過程中，其_ 保持不變。A：動(dòng)量；B：對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩；C：對(duì) 軸的動(dòng)量矩；D：動(dòng)能.E：對(duì) z 軸的動(dòng)量矩；例：圖示薄圓盤半徑為R，求M點(diǎn)的速度 、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度和向軸加速度 的大小。44例：如圖所示，定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓錐在水平固定圓盤上純滾動(dòng)。若圓錐底面中心點(diǎn)D作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則該圓錐的角速度矢量與角加速度矢量 的關(guān)系是_ 。A：平行于；B： 垂直于； C：為零矢量；D：為非零矢量。45