模具CAD與CAM第四章 圖形變換2課件

1、 4.3.3 二維圖形的幾何變換 二維圖形的基本幾何變換主要包括： 平移變換 比例變換 對稱變換 旋轉(zhuǎn)變換 參考書： 計算機輔助設(shè)計基礎(chǔ)及應(yīng)用清華大學(xué)出版社 崔洪斌 CAD/CAM原理與應(yīng)用 機械工業(yè)出版社 蔡穎 4.3.3 二維圖形的幾何變換 圖形由圖形的頂點坐標、頂點之間的拓撲關(guān)系以及組成圖形的面和線的表達模型所決定的，圖形的幾何變換是點的幾何變換。 圖形幾何變換的基本原理是用矩陣描述一個圖形，用變換矩陣表示平移、旋轉(zhuǎn)、縮小和放大等功能，而通過這兩種矩陣的運算，即可改變圖形的位置、方向或大小。因此圖形變換的主要工作就是求解變換矩陣T。圖形變換的基本原理 4.3.3 二維圖形的幾何變換圖形是

2、點的集合在二維平面中，任何一個圖形都可以認為是點之間的連線構(gòu)成的。對于一個圖形作幾何變換，實際上就是對一系列點進行變換。點的表示 在二維平面內(nèi)，一個點通常用它的兩個坐標（x,y）來表示，寫成矩陣形式則為： x y (行向量) 或 ( 列向量) 4.3.3 二維圖形的幾何變換變換矩陣若A、B、T都是矩陣，且AT=B，則T被稱為變換矩陣。變換矩陣為點的變換提供了工具。 設(shè)變換矩陣： 4.3.3 二維圖形的幾何變換點的變換 將兩維空間中任意點的坐標x y與變換矩陣T相乘，變換后點的坐標記作x y。則： 即： 新點的位置取決于變量a、b、c、d的值。 4.3.3 二維圖形的幾何變換 其中，a、d分別為

3、沿x、y方向上的比例因子，且a、d 0。 如果 a = d = 1，變換為恒等變換，即變換后點的坐標不變。 如果 a = d 1，變換為等比例變換，其中： 若 a = d 1，變換為等比例放大； 若 a = d 1，變換為等比例縮小。 如果 a d，變換后的圖形會產(chǎn)生 畸變。 圖4-4 圖形的比例變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換 對稱變換 對稱變換又稱為鏡像變換。基本對稱變換主要包括對x軸、對y軸、對坐標原點的對稱變換等。 圖4-5 圖形的對稱變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換關(guān)于y軸的對稱變換 當(dāng)相對于y軸的對稱變換時，因為有： x = -x，y = y，所以，變換矩陣為： 點關(guān)于y軸

4、的對稱變換為：（4-5）（4-6） 4.3.3 二維圖形的幾何變換關(guān)于坐標原點的對稱變換 當(dāng)相對于坐標原點的對稱變換時，因為有： x = -x，y = -y，所以，變換矩陣為： 點關(guān)于坐標原點的對稱變換為：（4-8）（4-7） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 旋轉(zhuǎn)變換（繞坐標原點） 如圖4-6所示，點P(x, y)繞坐標原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)角到新位置P(x, y)，旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)學(xué)表達式為： 因此，二維圖形繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為: （4-9） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 平移變換 平移變換是將圖形中的每一個點進行移動。如圖4-7所示，點P(x, y)沿x和y坐標方向增加平移量m和n，

5、平移到一個新位置P(x, y)，平移變換的數(shù)學(xué)表達式為: （4-11） 其變換矩陣為: （4-12） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 平移變換 圖4-7 圖形的平移變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換 其中，平移變換矩陣為： 這樣，可用一個統(tǒng)一的33階齊次矩陣來表示上述的各種二維圖形變換，即： 比例、對稱、旋轉(zhuǎn)平移全比例因子，s=1投影，一般 p=0 q=0（4-14） 4.3.3 二維圖形的幾何變換 用齊次坐標表示的二維圖形幾何變換的變換矩陣為： 比例變換的齊次變換矩陣為： 對稱變換的齊次變換矩陣為： 4.3.3 二維圖形的幾何變換 平移變換的齊次變換矩陣為： 旋轉(zhuǎn)變換的齊次變換矩陣為： 4

6、.3.3 二維圖形的幾何變換 二維圖形的組合變換 組合變換通常一個實際的圖形變換可能要分解為上述幾個基本變換的乘積，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。 如圖4-8所示，圖形繞任意點C（Xc,Yc）逆時針旋轉(zhuǎn)角，可以通過三個簡單變換來實現(xiàn)，即平移旋轉(zhuǎn)平移。 4.3.3 二維圖形的幾何變換 1) 將旋轉(zhuǎn)中心平移到坐標原點； 2) 繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角； 3) 將旋轉(zhuǎn)中心平移回原位置。 圖4-8 圖形的組合變換 4.3.3 二維圖形的幾何變換 其變換矩陣為： T = T1T2T3 = = 注意：由于矩陣乘法不存在交換率，故矩陣相乘時的順序不能顛倒。 （4-15） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維平移變

7、換 空間物體產(chǎn)生平移變換時，其位置發(fā)生變化，但形狀、大小均不改變。三維平移變換的變換矩陣為： 其中l(wèi)、m、n分別為X、Y、Z軸上的平移量。點的變換為： （4-17）（4-18） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維比例變換 變換矩陣中的元素a、e、j為沿x、y、z三軸方向上的比例因子。 變換矩陣為： 點的變換為： （4-19）（4-20） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維對稱變換 關(guān)于xoz平面的對稱變換 當(dāng)相對于xoz平面進行對稱變換時，其變換矩陣為： 點的變換為： （4-23）（4-24） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維對稱變換 關(guān)于yoz平面的對稱變換 當(dāng)相對于yoz平面進行對稱變換時，其變換矩陣為： 點的變換為： （4-25）（4-26） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 三維旋轉(zhuǎn)變換 三維旋轉(zhuǎn)變換是指平面圖形分別繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的變換，按繞不同軸線旋轉(zhuǎn)分別處理。通常規(guī)定，旋轉(zhuǎn)角逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)動為負。 繞X軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為： （4-27） 4.3.4 三維圖形的幾何變換 繞Y軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為： 繞Z軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為：（4-28）（4-29） 4.計算機繪圖技術(shù) 思考題： 1.