高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案5．3《平面向量的數(shù)量積》(含詳解)

1、PAGE PAGE 853平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_，即ab_，其中是a與b的夾角，|a|cos(|b|cos)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的_ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于_2數(shù)量積的運(yùn)算律及常用結(jié)論(1)數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：_；數(shù)乘結(jié)合律：_；分配律：_(2)常用結(jié)論(ab)2_；(ab)(ab)_； a2b20_；|eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq blc|rc|(avs4alco1(b)|_eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq blc|rc|(avs4alco1(b)3數(shù)

2、量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則 ea_ ab_當(dāng)a與b同向時(shí)，ab_；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab_特別地，aa_或eq blc|rc|(avs4alco1(a)_ cos_eq blc|rc|(avs4alco1(ab)_4數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_；a2_；eq blc|rc|(avs4alco1(a)_ ab_eq blc|rc|(avs4alco1(x1x2y1y2)_自查自糾：1eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq blc|rc|(avs4alco1(b)cosab|a|b|cos投影a的長(zhǎng)度e

3、q blc|rc|(avs4alco1(a)與b在a的方向上的投影eq blc|rc|(avs4alco1(b)cos的乘積2(1)abba(a)b(ab)a(b)(ab)cacbc(2)a22abb2a2b2a0且b0 3|a|cosab0|a|b|a|b|a|2eq r(aa)eq f(ab,|a|b|)|a|b|4x1x2y1y2xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)x1x2y1y20eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)eq r(xeq oal(2,2)yeq oal(2,2) 已知a，b是兩個(gè)單位

4、向量，下列命題中錯(cuò)誤的是 ()A|a|b|1Bab1C當(dāng)a，b反向時(shí)，ab0D當(dāng)a，b同向時(shí)，ab解：因?yàn)閍，b是兩個(gè)單位向量，即模為1的向量，對(duì)于A，有|a|b|1，則A正確；對(duì)于B，ab|a|b|cosa，bcosa，b，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)a，b反向時(shí)，有ab0，則C正確；對(duì)于D，當(dāng)a，b同向時(shí)，有ab，則D正確故選B (eq avs4al(2018全國(guó)卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab) ()A4 B3 C2 D0解：因?yàn)閍(2ab)2a2ab2|a|2(1) 213故選B (eq avs4al(長(zhǎng)沙周南中學(xué)2018屆高三三模)已知非零向量a，b，滿足|a|eq f(

5、r(2),2)|b|，且(ab)(3a2b)0，則a與b的夾角為 ()Aeq f(,4) Beq f(,2) Ceq f(3,4) D解：非零向量a，b，滿足|a|eq f(r(2),2)|b|，且(ab) (3a2b)0，所以3a2ab2b20，設(shè)a，b的夾角為，所以3|a|2|a|b|cos2|b|20，所以3 eq f(1,2)|b|2eq f(r(2),2)|b|b|cos2|b|20，所以coseq f(r(2),2)，eq f(,4)，所以a與b的夾角為eq f(,4)故選A (eq avs4al(2017全國(guó)卷)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_解：|

6、a2b|eq r(|a|24ab4|b|2)2eq r(3)故填2eq r(3) 已知eq o(AB,sup6()(2，1)，點(diǎn)C(1，0)，D(4，5)，則向量eq o(AB,sup6()在eq o(CD,sup6()方向上的投影為_解：因?yàn)辄c(diǎn)C(1，0)，D(4，5)，所以eq o(CD,sup6()(5，5)，又eq o(AB,sup6()(2，1)，所以向量eq o(AB,sup6()在eq o(CD,sup6()方向上的投影為|eq o(AB,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(CD,sup6(),|o(C

7、D,sup6()|)eq f(15,5r(2)eq f(3r(2),2)故填eq f(3r(2),2)類型一數(shù)量積的定義及幾何意義(1)若a，b，c均為非零向量，則下列說(shuō)法正確的是_(填寫序號(hào)即可)abeq blc|rc|(avs4alco1(a)eq blc|rc|(avs4alco1(b)ab；abab0；acbcab；(ab)ca(bc)解：abeq blc|rc|(avs4alco1(a)eq blc|rc|(avs4alco1(b)cos，為a，b的夾角，則 cos1，正確；顯然正確；錯(cuò)誤，如ab，ac，則acbc0，但ab；錯(cuò)誤，因?yàn)閿?shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，即等式左邊為c的倍數(shù)，

8、等式右邊為a的倍數(shù)故填(2)ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AO,sup6()，且|eq o(OA,sup6()|eq o(AC,sup6()|，則向量eq o(BA,sup6()在向量eq o(BC,sup6()方向上的投影為 ()Aeq f(3,2) Beq f(r(3),2) C3 Deq f(r(3),2)解：由已知可以知道，ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點(diǎn)O處，因此ABC是直角三角形且Aeq f(,2)，又因?yàn)閨eq o(OA,sup6()|eq o(CA,sup6()|eq o(OC,sup6()|，所以

9、Ceq f(,3)，Beq f(,6)，所以ABeq r(3)，AC1，故eq o(BA,sup6()在eq o(BC,sup6()方向上的投影為|eq o(BA,sup6()|coseq f(,6)eq f(3,2)故選A 點(diǎn)撥：數(shù)量積ab|a|b|cosx1x2y1y2(其中兩向量夾角為，a(x1，y1)，b(x2，y2)其幾何意義是：ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積在理解數(shù)量積與投影概念的基礎(chǔ)上，利用二者的關(guān)系解題(1) (eq avs4al(2017北京)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充

10、分必要條件D既不充分也不必要條件解：因?yàn)閙，n是非零向量，所以mn |m|n|cosm，n0的充要條件是cosm，n0因?yàn)?，則由mn可知m，n的方向相反，m，n180，所以cosm，n 0，所以“存在負(fù)數(shù)，使得mn”可推得“mn0”；而由“mn0”，可推得“cosm，n0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，故不能推得“存在負(fù)數(shù)，使得mn”綜上，“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“mn0”的充分而不必要條件故選A(2)(eq avs4al(廣東汕頭潮南2018屆高考沖刺改編)已知向量a，b滿足|b|5，|ab|4，|ab|6，則向量a在向量b方向上的投影為 ()A1 B1 C5 D5解：由題意可得(a

11、b)216，(ab)236，即a2b22ab16，a2b22ab36，兩式相減可得ab5，則向量a在向量b方向上的投影為 eq f(ab,|b|)eq f(5,5)1故選B類型二數(shù)量積的基本運(yùn)算(1)設(shè)向量a，b滿足|ab|eq r(10)，|ab|eq r(6)，則ab ()A1 B2 C3 D5解：由|ab|eq r(10)得a2b22ab10，由|ab|eq r(6)得a2b22ab6，得4ab4，所以ab1故選A(2)已知e1，e2是夾角為eq f(2,3)的兩個(gè)單位向量， ae12e2，bke1e2，若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_解：因?yàn)閍b(e12e2)(ke1e2)keeq oal(

12、2,1)(12k)(e1e2)2eeq oal(2,2)，且|e1|e2|1，e1e2eq f(1,2)，所以k(12k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)20，解得keq f(5,4)故填eq f(5,4)(3)(eq avs4al(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D若eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_解：設(shè)A(a，2a)(a0)，則由圓心C為AB中點(diǎn)得Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a5,2)，a)，易得C：(x5)

13、(xa)y(y2a)0，與y2x聯(lián)立解得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD1，所以D(1，2)(或由eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()0及圓的幾何性質(zhì)知BDAD，則lBD：yeq f(1,2)(x5)，與y2x聯(lián)立即可求得D(1，2)所以eq o(AB,sup6()(5a，2a)，eq o(CD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1f(a5,2)，2a)，由eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()0得(5a)(1eq f(a5,2)(2a)(2a)0，a22a30，a3或a1，因?yàn)閍0，所以a3故填3點(diǎn) 撥：平面向量數(shù)量積的四種運(yùn)算方法：定義法，要注意兩

14、個(gè)向量的夾角；坐標(biāo)法，引入直角坐標(biāo)系，明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算；利用向量數(shù)量積的幾何意義，注意一個(gè)向量在另一向量上的投影是數(shù)量；運(yùn)用平方的技巧(1)已知向量a與b的夾角為120，|a|3，|ab|eq r(13)，則|b| 等于 ()A5 B4 C3 D1解：向量a與b的夾角為120，|a|3，|ab|eq r(13)，則ab|a|b|cos120eq f(3,2)|b|，|ab|2 |a|22ab|b|2所以1393|b|b|2，則|b| 1(舍去)或|b|4故選B(2)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為eq f(,3)，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_解：b1b2(e12

15、e2)(3e14e2)3eeq oal(2,1)2e1e28eeq oal(2,2)3211coseq f(,3)86故填6(3)(eq avs4al(2017浙江)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點(diǎn)O，記I1eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，I2eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，I3eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()，則 ()AI1I2I3 BI1I3I2CI3I1I2 DI2I1I3解：因?yàn)镮1I2eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OB,sup

16、6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(CA,sup6()，因?yàn)锳BBC，ABBCAD2，CD3，所以eq o(OB,sup6()與eq o(CA,sup6()所成角為鈍角，所以I1I20，即I1I2因?yàn)镮1I3eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|cosAOB|eq o(OC,sup6()|eq o(OD,sup6()|cosCODcosAO

17、B(|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|eq o(OD,sup6()|)，又AOB為鈍角，OAOC，OB0，即I1I3所以I3I10)，且eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，則ABC是等邊三角形D在平面上的所有向量中，不存在這樣的四個(gè)互不相等的非零向量a，b，c，d，使得其中任意兩個(gè)向量的和向量與余下兩個(gè)向量的和向量相互垂直解：由eq o(OA,sup6()meq o(OB,sup6()(1m)eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()m(eq

18、o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(CA,sup6()meq o(CB,sup6()，則A、B、C必共線，故A正確；由平面向量基本定理可知B正確；對(duì)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()兩邊平方得cosBOCeq f(1,2)，同理，所以AOCBOCAOB120，即ABC是等邊三角形，故C正確；令a(0，1)，b(0，2)，c(1，0)，d(2，0)，則(ab)(cd)0，故D錯(cuò)誤故選D6(eq avs4al(湖北黃岡2019屆模擬)在ABC中，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0，|eq o(AB,s

19、up6()|2，|eq o(BC,sup6()|2eq r(3)，D為AC的中點(diǎn)，則eq o(BD,sup6()eq o(DA,sup6() ()A2 B2 C2eq r(3) D2eq r(3)解法一：由題意可得|eq o(BD,sup6()|eq o(AD,sup6()|eq o(AB,sup6()|2，所以ABD為等邊三角形，所以ADB60，所以eq o(BD,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(BD,sup6()|eq o(DA,sup6()|cos1202解法二：依題意知ABBC，則以B為原點(diǎn)，eq o(BC,sup6()為x軸正方向，eq o(BA,sup6()為y

20、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，A(0，2)，C(2eq r(3)，0)，由D為AC的中點(diǎn)知D(eq r(3)，1)，則eq o(BD,sup6()(eq r(3)，1)，eq o(DA,sup6()(eq r(3)，1)故eq o(BD,sup6()eq o(DA,sup6()eq r(3)(eq r(3)12故選B7(eq avs4al(2018湖南衡陽(yáng)高三二模)如圖，在正方形ABCD中，AB2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則eq o(AE,sup6()eq o(BF,sup6()的值是_解：由題得eq o(AE,sup6()eq o(BF,sup6()eq blc(r

21、c)(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,2)o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(BC,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()2eq f(1,2)eq o(AB,sup6()2eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()02200所以eq o(AE,sup6()eq o(BF,sup6()0另解：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而用向量的坐標(biāo)求解故填08(eq avs4al(2018吉林長(zhǎng)春高三質(zhì)監(jiān)

22、三)已知菱形ABCD的一條對(duì)角線BD長(zhǎng)為2，點(diǎn)E滿足eq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(ED,sup6()，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，若eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()2，則eq o(CD,sup6()eq o(AF,sup6()_解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C(t，0)，則A(t，0)，B(0，1)，D(0，1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)t，f(1,3)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(t,2)，f(1,2)，故eq o(AD,sup6()(t，1)，eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs

23、4alco1(f(2,3)t，f(4,3)，eq o(CD,sup6()(t，1)， eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3t,2)，f(1,2)因?yàn)閑q o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()2，所以eq f(2,3)t2eq f(4,3)2，解得t25，eq o(CD,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(3,2)t2eq f(1,2)7故填79已知向量a(1，2)，b(2，2)(1)設(shè)c4ab，求(bc)a；(2)若ab與a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影解：(1)因?yàn)閍(1，2)，b(2，2)，所以c4ab(4，

24、8)(2，2)(6，6)所以bc26260，所以(bc)a0a0(2)ab(1，2)(2，2)(21，22)，由于ab與a垂直，所以212(22)0，所以eq f(5,2)(3)設(shè)向量a與b的夾角為，向量a在b方向上的投影為|a|cos所以|a|coseq f(ab,|b|)eq f(122（2）,r(22（2）2)eq f(2,2r(2)eq f(r(2),2)10已知平面向量a，b滿足|a|4，|b|8，a與b的夾角是120(1)計(jì)算：|ab|，|4a2b|；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a2b)(kab)解：由已知得，ab48eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)16(1)因?yàn)閨

25、ab|2a22abb2162(16)6448，所以|ab|4eq r(3)因?yàn)閨4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，所以|4a2b|16eq r(3)(2)因?yàn)?a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，所以ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，解得k7即k7時(shí)，a2b與kab垂直11(eq avs4al(湖北宜昌2018屆高三適應(yīng)性訓(xùn)練)在ABC中，AB3AC9，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2，點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)eq o(PA,sup6()2eq o(PB,sup6()2eq o(PC,sup6()2取得最小值時(shí)，求eq o(PA,sup6()eq o(BC,sup6()的值解：由eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(