矩陣的LU分解(自編MATLAB)實驗報告

1、1矩陣的LU分解1.1L嶼解原理定理：設(shè)ACnn,如果A的順序主子式a11a2112a定理：設(shè)ACnn,如果A的順序主子式a11a2112a22W0,a11a21a12a22a12a22W0an11an121n1則存在唯一的主對角線上元素全為1的下三角矩陣L與唯一的上三角矩陣U，使得A=LU.證明：對矩陣A的階數(shù)使用數(shù)學歸納法.顯然，當n=1時，4廣1sli就是唯一的分解式?，F(xiàn)假定對n-1階矩陣，定理的結(jié)論成立。對A進行分塊A=(AnJ%)TanJAn1的k階順序主子式就故它們都不為零.從而由歸其中仇/仇？1.由于n-1階矩陣是A的k階主子式(k=1,2，An1的k階順序主子式就故它們都不為零

2、.從而由歸An1=Ln1Un1的主對角線上的元素都1.由于An1a11a21An1a11a21a12a22a12a22-Ln1Un1W0an11aan11an12an1n所以Ln所以LnRUn促n-1階可逆矩陣先假設(shè)已有A-LU，其中L-(Ln10)，U=(nyT1)yr丁)nn6,yeCn1是待定向量。作乘積LU=(LnLU=(Lnn1YTU1n1416)-(An1%+丫應丁見1)=AannJ則6,y必須滿足nF=ai，rTEJnl=a2r，/戶邙二境皿注意到L兀四川i都是n-1階可逆矩陣，則由上式可惟一確定B=Lla/yT=aTUb=a丫邙nnll2nlnnnn1這就證明了A的LU分解的存

3、在性和唯一性.L分解算法當兒階矩陣滿足定理的條件時，可以用初等變換的方法求出L和U.因為當A=LU時，由于L可逆，故必存在可逆矩陣P使得PL=I即PA=PLU=U.也就是說，可以先對A施行行的初等變換得出上三角矩陣U，而矩陣P可以通過對單位矩陣I進行相同的行初等變換得出，即P(A,I)(PA,PI)=J,P)于是4=PlU,為保持尸為下三角矩陣(從而Pl也是下三角矩陣)，在進行行初等變換時，不能進行行的對換，上行的倍數(shù)應加到下行的對應元.L分解用于解方程組矩陣的三角分解在求解線性方程組時十分方便如對線性方程組Ax=b,設(shè)4=LU.我們先求解方程組L=b.由于L是下三角矩陣，則解向量丫可以通過依

4、次求出其分量1yy2，%而求出，在求解方程組Ux=y.解向量x可以通過該方程組依次求出分量/，4，%而快速得出.于是由兩個方程組Ux=y，Ly=b的求解而給出LUx=Ly=b=AXX解.程序流程圖輸入矩陣A判斷A是否為否nXn矩陣？是是return;計算A的計算A的n-1階順序衛(wèi)主子式是否為0?輸出：“無法進行LU分解”1.5乂八1.5乂八11八程序functionf=LU_decom(A)m,n=size(A)ifm=nfprintf(Error:mandnmustbeequal!m=%d,n=%dn,m,n)endfori=1:n-1if(det(A(1:i,1:i)=0)fprintf(

5、Error:detA(%d,%d)=0!n,i,i)flag=failureelseflag=ok;endendL=eye(n);U=zeros(n);fori=1:nU(1,i)=A(1,i);endforr=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfori=2:nforj=i:nz=0;forr=1:i-1z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endifabs(U(i,i)A=211;410;-221;LU_decom(A)m=3n=3L=TOC o 1-5 h z0010-1-31U=2110-1-200-4(2)解方程組，程序及結(jié)果如下

6、%-用LU分解解線性方程組-y=zeros(n,1);y(1)=b(1);fori=2:ny(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1);endyx(n)=y(n)/U(n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n).*x(i+1)/U(i,i);endx=x運行結(jié)果如下：y=102x=-0.50001.0000-0.50001.7數(shù)據(jù)分析調(diào)用MATLAB固有的LU分解函數(shù)，以及解方程組相關(guān)函數(shù)對以上數(shù)據(jù)進行計算，運行結(jié)果如下：A=211;410;-221;b=121;L,U=lu(A)L=0.50000.20001.0000TOC o 1-