一元一次方程及其解法

1、(完整 word 版一一次方程及解法 一一方及解1元一次方程(1）元一次方程的概念只含有一個(gè)未數(shù)元)，未數(shù)的次數(shù)都是 1,且等式兩都是整式的方程叫做一一次方程如：7 53，3（2）x 等是一元次方程解巧 正判斷一元一次方程判斷一元一次程的四個(gè)條件是：含有一個(gè)未知數(shù)（元 )；未知數(shù)的次數(shù)都一次；未知數(shù)的 系數(shù)不能為 分母中不含未知數(shù),這個(gè)條件缺一不可（2）程的解概念：使方兩邊相等的未知數(shù)的叫做方程的解一元方的解，也叫做程的根方法:要驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)值不是方程的解，只需看點(diǎn)：一看，它不是方程中未知數(shù)值 二看將它 分別代入方程左邊和右邊，若方程、右兩邊的值相等，則是方程的解如 x3 是程 2x42 的解，而

2、 3 就不是程 2 的解（3)解方求方程的解的程叫做解方程方程的解和解程是不同的概念，方的解是求得的結(jié),它一個(gè)數(shù)值（或幾個(gè)數(shù)值,而解方程是指 求出方程的解過程【例 11】 下各式哪些是一元一次方程( A錯(cuò) !；B.x0；C.0錯(cuò)誤112；Fy51 xx10；H.x 2.解:E 中不含知數(shù)，所以不是一元次方程G 中未知數(shù)的次數(shù)是 2，所不是一元一次方;A 與 中含有的未知不是一個(gè)，也不是一一次方; 雖形式上字母的個(gè)數(shù)是一個(gè)，但它不是等,所以也不 是一元一次方；D 中分母中含有知數(shù)，不是一一次方程；只有C 符合一元次方程的概念，所以它 們是一元一次程答:CF【例 12】 x 是下列程（ )的解A5

3、（1）4(2) 421C誤x Dx10解：對于項(xiàng) A, x 代入所給方程左右兩邊，左邊5(），右邊4（ 3）20，為左邊右邊，所以 x3 是程5（1)（2)的解；于選項(xiàng) B，把 x3 代入所給方程左右兩邊，左邊4(3）210,右邊1，為左邊右邊，所以 x 不是程 421 的解選項(xiàng) 按以上方法加以判斷，都不能使方程左右兩相，只有A 的左右邊相等故應(yīng) 選 A.答：2式的基本性質(zhì)（1）式的基本性質(zhì)性質(zhì) 1：式的兩邊都加上（或減去同一個(gè)數(shù)或一個(gè)整式，所得結(jié)果仍等式用式子形式表為:如果 a，么 ，。性質(zhì) 2：式的兩邊都乘以或除以）一個(gè)數(shù)(除數(shù)不是零)，所得結(jié)仍是等式用式子形式表為：如果 a，么 acbc

4、錯(cuò)誤!錯(cuò) !（0)性質(zhì) 3：果 a,那么 b。(對性）如由， y。性質(zhì) 4：果 a,c，那么 a.(遞性）(完整 word 版一一次方程及解法如：若60，60.(2）量代換在解題過程中根據(jù)等式的傳遞性，個(gè)量用與它相等的量代，簡稱等量代談點(diǎn) 應(yīng)不等式的性質(zhì)的注意項(xiàng)（1）用等式的基本性質(zhì) 1 時(shí)一定要意等式兩邊同時(shí)加上(或去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式，才能 保證所得結(jié)果是等式這里特別要意：“同時(shí)”和“同一”，否則就會壞相等關(guān)系（2)等式基本性質(zhì) 2 中乘(或除以）的僅僅是同一個(gè)數(shù)不包括整式，要注意與性 的區(qū)別 （3)等式邊不能都除以 0,因?yàn)?0 不作除數(shù)或分【例 21】 下運(yùn)用等式的性質(zhì)對等式進(jìn)的形中

5、，正確的是（ A 4231,則 y1 B若 7a5，則 a錯(cuò) !C誤0,則 2 D若錯(cuò) !11,則 61解 :首觀察等式的左邊是如何上步變形得到的，確定形的依據(jù)，再對等式的邊進(jìn)行相應(yīng)的 變形,得出論A 根據(jù)等式的基性質(zhì) 1，等式 的邊都減去 32左邊是 ，右邊3，是 根據(jù)等式的基本 性質(zhì) 2，兩邊都乘以 2，邊應(yīng)為 ，是 2 根等的基本性質(zhì) 2,左邊乘以 6，右邊漏乘 6，故不正 確；只有 B 根等式的基本性質(zhì) ，邊都除以 7，得到 a錯(cuò)誤.答：【例 22】 利等式的基本性質(zhì)解方程：（1)5x812）422x16;(4)3x7.分:利等式的基本性質(zhì)求解先利用等式的基本性質(zhì) 1 將程變形為左邊只

6、含有知數(shù)的項(xiàng)，右邊 含有常數(shù)項(xiàng)，利用等式的基本性質(zhì) 2 將知數(shù)的系數(shù)化 1。解）程的兩邊同時(shí)加上 8,得 x20。方程的兩邊同除以 ， x4。（2)方程兩邊同時(shí)減去 2x, 2x20.方程的兩邊同加上 ， 2 2.方程的兩邊同除以 ， x1.(3）程兩邊都同時(shí)減去 ，得 x11,61。5.（4）程兩邊都加上 x，得 37,37,方程兩邊都減 7，得 377x7,4,即 x4.3.解元一次方程(1）項(xiàng)移項(xiàng)的概念依據(jù)：把方程中的某項(xiàng)改變符號后,從程的一邊移到另一邊，這變叫做移項(xiàng) 因?yàn)榉匠淌翘氐牡仁?，所以移?xiàng)的據(jù)是等式的基本性質(zhì) 1.移項(xiàng)的目的把所有含有未知數(shù)的移到方程的一邊,常數(shù)移到方程的另一邊移

7、項(xiàng)的過程移項(xiàng)的過程是項(xiàng)的位改變和符號變化的過程即對移動(dòng)的項(xiàng)行變號的過程 如,2 372 從方程左邊移到右邊2 在原方程中前面帶有性質(zhì)號“”,移到右邊后需變成“”， 在移動(dòng)的過程同時(shí)變號，沒有移動(dòng)項(xiàng)則不變號所以由移，得3x72.要注意移項(xiàng)加法交換律的區(qū)別：項(xiàng)是把某一項(xiàng)從等式的邊移到另一邊移項(xiàng)要變號；而加法 換律中交換加位置只是改變排列的序符隨著移動(dòng)而不改變，51，把 3 從方程的左邊移到 右邊要變號， 513，是屬移項(xiàng)；而把 51511 變成 5x11 1511，是利加法交換 律，不是移項(xiàng)是位置的移動(dòng)，所以變號辨區(qū) 移時(shí)應(yīng)注意的問題在移項(xiàng)時(shí)注意兩變”變質(zhì)符號即“”號變?yōu)椤啊碧?而“”號變?yōu)椤疤栕?/p>

8、位置， 把某項(xiàng)由等號一邊移到另一邊(完整 word 版一一次方程及解法(2)解一元次方程步驟解一元一次方的一般步驟有：去分、去括號、移項(xiàng)、合并類項(xiàng)、系數(shù)化 1.具體見下表： 變形名稱 具做法 變依據(jù) 注意事項(xiàng)方程左右兩邊每一去分母 項(xiàng)乘以各分母的最小公倍數(shù)不能有漏乘不分等式的基本性 母的項(xiàng);分是多 2 項(xiàng)式的掉分母后，要加小括 不要漏乘括號的去括號移項(xiàng)可由小到大，由大 分配律；去括號 到小去括號 的法則移項(xiàng)就是將方中的某些項(xiàng)改變符后， 等式的基本性質(zhì) 從方程的一邊到另 1一邊項(xiàng)括號前是 “”號的去括 號時(shí)括號內(nèi)的有 項(xiàng)都要變號移項(xiàng)要變號合并同類項(xiàng)將方程化為 b 的 合并同類項(xiàng)的法 只系數(shù)相加，

9、字 最簡形式 則 母其指數(shù)不變方程的左右兩同時(shí) 化系數(shù)為 除未知數(shù)系數(shù)或乘以未知數(shù)系數(shù)倒數(shù)等式的基本性 分子、分母不能顛 2 倒解巧 巧一元一次方程值得注意的是些步 在方時(shí)不一定全部都用到,也不一定按照順序行據(jù)程的形式， 靈活安排步驟）為了避免錯(cuò)誤,可將解出的結(jié)果代入原程進(jìn)行檢驗(yàn)【例 31】 下各選項(xiàng)中的變形屬于移項(xiàng)是 A 24， x2B 735,得 735 xC 8x5,得x8D x931,得 319解：項(xiàng) A 是 x 的數(shù)化成 1 的變形；選項(xiàng) B 中 x5 變成 5x 是用加法交律只是把位置變 換了一下;選項(xiàng) C 是作的移項(xiàng)變形；選項(xiàng) D 是用等式的對稱性a，則 b”所作變形所以變形屬

10、于移項(xiàng)的是選 C.答：【例 32】 解程錯(cuò) !5誤.分:方有分母方程兩邊每項(xiàng)都要乘以各分母的最公倍數(shù) 12去掉母得 4(2603( 1)，再照驟求解特別注意 不能漏乘分母的最公倍數(shù) 。解 去分母，程兩邊都乘以 12，得 4(2)603（1去括號，得 8460 x3。移項(xiàng),得x3x8。合并同類項(xiàng)，749.兩邊同除以7，得 x。4復(fù)雜的一元一次方程解方程是代數(shù)的主要內(nèi)容之一，一一次方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，就成為未知系數(shù)不是 0 的簡方 程一元一次程不僅有很多直接應(yīng)，而且解一元一次方程學(xué)習(xí)解其他方和方程組的基礎(chǔ)解程的 過程，實(shí)際上是把方程式不斷化簡過程，一直把方程化為 x( 是個(gè)已知數(shù)(1）雜的一元一次方

11、程的解與簡單方程的法其思路是一樣的程中若含有相同的代數(shù)，可以 把此代數(shù)式看一個(gè)整體來運(yùn)算;方中若含有小數(shù)或百分?jǐn)?shù)就要根據(jù)數(shù)的基本性,把小數(shù)或百分?jǐn)?shù)化(完整 word 版一一次方程及解法為整數(shù)再去分運(yùn)算(2）注意把分母整數(shù)化和去母的區(qū)別：分整數(shù)化是在某一項(xiàng)的子、分母上同乘以一個(gè)等于零 的數(shù)，而去分是在方程兩邊同乘以母的最小公倍數(shù)【例 4】 解程錯(cuò) !錯(cuò)誤錯(cuò)誤分由錯(cuò)誤和錯(cuò) !的分子分母中含有數(shù)利用分的基本性質(zhì)把小數(shù)化整,在式子錯(cuò) ! 的分子、分母都乘以 10，變錯(cuò)誤!,在式子錯(cuò) !的分子、分母中都乘以 ，變?yōu)檎`!，然后去分母， 再按解一元一方程的步驟求解解分母數(shù)化，得錯(cuò) !錯(cuò) !錯(cuò)誤。去分母，得6

12、(4x90）15（）10(32x)去括號，得24x54015x753020 x.移項(xiàng)，得24x1520 x。合并同類項(xiàng)，11495。兩邊同除以，得x5。一元一次方程的解相的問題方程的解不僅方程的重要概念，也考查方程知識時(shí)的主要題點(diǎn)解題的鍵是理解方程的解的 念（1）知方程的解求字母系若已知程的解,將程的解代入方程，一定使其成,則得到一個(gè)關(guān)于 另一個(gè)未知數(shù)方程解這個(gè)方程，可求出這個(gè)字母系數(shù)值（2)同解程因兩方程的解相同，可接解第一個(gè)方程，求出知數(shù)的再把未知數(shù)的值入第二 個(gè)方程，求出關(guān)字母的值【例 51】 關(guān) x 的方程 x50 與 331 的解相同則 ( )A2 B誤 C2 D誤解：方程 350，

13、得 x誤。將 x誤!代入方程 3xk1,得53k1，解得 k2,故應(yīng)選 C。答：【例 52】 若于 x 的程6）4 的為 x，則 m。解： 2 代入方(6）x4，得m4,解得 m8.答：6.一一次方程的常用解題策我們已經(jīng)知道解一元一次方程一般五個(gè)步驟 ,去分母，去括號，移，合并同類項(xiàng)，化未知數(shù)的系 數(shù)為 1可有些一元一次方若能根其結(jié)構(gòu)特征靈活運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)與解題技巧則不但可以提高解速 度與準(zhǔn)確性，且還可以使解題過程捷明快，下面介紹解一一次方程常用幾種技巧（1)有括號的一元一次方程一般是先去括號，去括號的順序一般是由小大去 ,但有題目是從外向里 去括號，計(jì)算而簡單，這就要求仔觀察方程的特點(diǎn)，靈活用

14、使計(jì)算簡便方法（2)對于些含有分母的一元一次程若硬套解題的般驟先去分母則復(fù)雜繁瑣若據(jù)方程的結(jié) 構(gòu)特點(diǎn)，先移、合并同類項(xiàng)，則使算顯得簡捷明快有些特殊的方卻要打破常規(guī)，靈活用一些解題技巧，使運(yùn)快捷、簡便解可激活思維，使我 克服思維定式培養(yǎng)創(chuàng)新能力，從而強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【例 61】 解程錯(cuò) !誤誤!x1。分注意錯(cuò)誤!誤1,把錯(cuò) !乘 以括號的每一項(xiàng)則可先去中括號 誤!錯(cuò) !錯(cuò) ! 4錯(cuò) !1,再去小括號錯(cuò)誤!錯(cuò) !3誤x1,按步驟解方程就非常捷了解:去括號，得錯(cuò) !誤3錯(cuò)誤x1。(完整 word 版一一次方程及解法移項(xiàng)，合并同項(xiàng)，得x錯(cuò) !。兩邊同除以1，得 x錯(cuò) !?！纠?62】 解程錯(cuò) !誤錯(cuò)

15、!錯(cuò) !。分：題可按照解方的一般步驟求解但本題若直接去分母則兩邊乘最小公倍數(shù) 420運(yùn)算量大5 x3 7 x2容易出錯(cuò)我可兩邊分別通分，35驟求解誤把分子整理后再按照解元次方程的步解方程邊分別通分，得誤!錯(cuò) !化簡，得錯(cuò)誤誤。去分母得 12（x1)35（x10)去括號，得x1235350。移項(xiàng)、合并同項(xiàng)，得 x兩邊同除以 11得 x錯(cuò)誤.7一元一次方程解題(1）用方程的解求未知系數(shù)值當(dāng)已知方程的求方程中字母系數(shù)或關(guān)的代數(shù)式時(shí)，常常采代入法，即將程的解代入原方程 ,得 到關(guān)于字母系的等式或者可以看作關(guān)于母系數(shù)的方程，再求即可(2)利用概列方程字母的值利用某些概念定義 可以列方程求出關(guān)的字母的取值

16、，如根同類項(xiàng)的定義一元一次方程的定義 求字母的值列方程求值的鍵是根據(jù)所學(xué)的知識出相等關(guān)系再列出方,解程從而求出字母的取值 談點(diǎn) 列元一次方程注意挖掘含條件許多數(shù)學(xué)概念性質(zhì)的運(yùn)用范圍、限條件或使用前提有的是隱含條件的形出現(xiàn)在題目中 由此 發(fā)掘隱含的條，列一元一次方程解，發(fā)掘隱含條件時(shí)需要面、深刻地理掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識【例 71】 (1）當(dāng) a_時(shí)，式 1 與 2a 互相反數(shù)（2） 6 的倒數(shù)等于 x2，則 x 的為_解（1）據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)和 0，得一元一次方程 2a 1（2），解得 ；(2) 由倒數(shù)的概念乘積為 1 的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)可得一元一次方程 6（2)1,解得 錯(cuò)誤!。答:(1)3 （2

17、）錯(cuò) !【例 72】 已 2 是方程錯(cuò) !錯(cuò)誤誤的解求 k 的分把 2 代入原方程，原方程變成了以 為知數(shù)的新方程解含有未知數(shù) k 的程，可以求 出 k 的值解:把 x2 代入方,得錯(cuò) !錯(cuò) !（2)誤。去分母，得2（）k（2）63(2)去括號得42321263.移項(xiàng)、合并同項(xiàng)，得2k方程兩邊同除，得 k8.課后作業(yè)黑體小四【0】列變形中，不正確的是 )A x ，則 x B若 則 x C ， 則 x x y(完整 word 版一一C ， 則 x x yx 2D若 ，則 【】下列各式不方程的是 ）A y B m 2 nC D 0【】解為 x 的方程是（ ） A x B5 2C 3( x 2) x 3) Dx 4 6 【0】關(guān)于 的方程 3( 4) 是一元一次方，求 n的值【】已知 x m) 是關(guān)于 的一元一次方程,則 m 【】若關(guān)于 x的方程 (2 m |) x m 是一元一次方，求 m的解【0】關(guān)于 的程 ( k x k 是一元一次方程,則 k = D 1 (完整 word 版一一次方程及解法D 1 【0】關(guān)于 的方程 ( x k 是一元一次方，則