2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測十三余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例新人教A版必修第二冊

1、PAGE PAGE 6余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例層級(一)“四基”落實練1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站 南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 ()A北偏東10B北偏西10C南偏東80 D南偏西80解析：選D由條件及題圖可知，AB40.又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2設(shè)甲、乙兩幢樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A20eq r(3) m，eq f(40r(3),3) m B10eq r(3) m, 2 0eq r(3) mC10

2、(eq r(3)eq r(2)m, 20eq r(3) m D.eq f(15r(3),2) m，eq f(20r(3),3) m解析：選A由題意，知h甲20tan 6020eq r(3)(m)，h乙20tan 6020tan 30eq f(40r(3),3)(m)3一艘船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為()A15eq r(2) kmB30eq r(2) kmC45eq r(2) km D60eq r(2) km解析：選B如圖所示，依題意有AB15460，DAC60， CBM1

3、5，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得eq f(60,sin 45)eq f(BM,sin 30)，解得BM30eq r(2) (km)4一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75距塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 ()A.eq f(17r(6),2) n mile/h B34eq r(6) n mile/hC.eq f(17r(2),2) n mile/h D34eq r(2) n mile/h解析：選A如圖所示，在PMN中，eq f(PM,sin 45)eq f(MN,sin 120)，MNeq f

4、(68r(3),r(2)34eq r(6)，veq f(MN,4)eq f(17r(6),2)(n mile/h)故選A.5.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD 為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ()A30 B45C60 D75解析：選B依題意可得AD20eq r(10)(m)，AC30eq r(5)(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCADeq f(AC2AD2CD2,2ACAD)eq f(30r(5)220r(10)2502,230r(5)20r(10)eq f(6 000,6 000r(2)eq f(r

5、(2),2).又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.6某人朝正東方向走x m后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 m，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為eq r(3) m，那么x的值為_解析：如圖，在ABC中，ABx，B30，BC3，ACeq r(3)，由余弦定理得(eq r(3)2x23223xcos 30，x23eq r(3)x60，xeq r(3)或2eq r(3).答案：2eq r(3)或eq r(3)7.如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直 線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30， 45，且BAC135.若山高AD100

6、m，汽車從C點到B點歷時14 s，則這輛汽車的速度為_m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq r(2)1.414，eq r(5)2.236)解析：由題意可知，AB200 m，AC100 eq r(2) m，由余弦定理可得BCeq r(40 00020 0002200100r(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)316.2(m)，這輛汽車的速度為316.21422.6(m/s)答案：22.68.如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從 A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75，從C點測得MCA60.已知山高BC100 m，求山高M

7、N.解：根據(jù)圖示，AC100eq r(2) m在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得eq f(AC,sin 45)eq f(AM,sin 60)，解得AM100eq r(3) m在AMN中，eq f(MN,AM)sin 60，所以MN100eq r(3)eq f(r(3),2)150(m)層級(二)能力提升練1.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與 A，B不共線的一點C，然后給出了三種測量方案(ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)：測量A，B，b；測量a，b，C；測量A，B，a.則一定能確定A，B間距離的所有方案的個數(shù)為 ()A3 B2C1

8、D0解析：選A對于，利用內(nèi)角和定理先求出CAB，再利用正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)解出c；對于，直接利用余弦定理c2a2b22abcos C即可解出c；對于，先利用內(nèi)角和定理求出CAB，再利用正弦定理eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)解出c.故選A.2當太陽光線與水平面的傾斜角為60時，一根長為2 m 的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角_.解析：如圖，設(shè)竹竿與地面所成的角為，影子長為x.依據(jù)正弦定理可得eq f(2,sin 60)eq f(x,sin120).所以xeq f(4,r(3)sin(120)因為0120120，所以要使x

9、最大，只需12090，即30時，影子最長答案：303臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為_小時解析：如圖，設(shè)A地東北方向上存在點P到B的距離為30千米， APx.在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化簡得x240eq r(2)x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即圖中的CD20(千米)，故teq f(CD,v)eq f(20,20)1(小時)答案：14.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型

10、”氣象觀測儀器的垂直 彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進行該儀器的垂直彈射，觀測點A，B兩地相距100 m，BAC60，在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚eq f(2,17)秒A地測得該儀器彈至最高點H時的仰角為30.(1)求A，C兩地的距離；(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)解：(1)由題意，設(shè)ACx m，則BCxeq f(2,17)340(x40)m.在ABC中，由余弦定理，得BC2BA2AC22BAACcosBAC，即(x40)210 000 x2100 x，解得x420.所以A，C兩地間的距離為420 m.(2)在RtACH中，AC420

11、 m，CAH30，所以CHACtanCAH140eq r(3) m.所以該儀器的垂直彈射高度CH為140eq r(3) m.5.如圖所示，在社會實踐中，小明觀察一棵桃樹他在點A處發(fā)現(xiàn)桃樹 頂端點C的仰角大小為45，往正前方走4 m后，在點B處發(fā)現(xiàn)桃樹頂端點C的仰角大小為75.(1)求BC的長；(2)若小明身高為1.70 m，求這棵桃樹頂端點C離地面的高度(精確到0.01 m，其中eq r(3)1.732)解：(1)在ABC中，CAB45，DBC75，則ACB754530，AB4.由正弦定理得eq f(BC,sin 45)eq f(4,sin 30)，解得BC4eq r(2)(m)即BC的長為4

12、eq r(2) m.(2)在CBD中，CDB90，BC4eq r(2)，所以DC4eq r(2)sin 75.因為sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30eq f(r(6)r(2),4)，則DC22eq r(3).所以CEEDDC1.7022eq r(3)3.703.4647.16(m)即這棵桃樹頂端點C離地面的高度為7.16 m.層級(三)素養(yǎng)培優(yōu)練1.春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿 桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀末，由于電動機的發(fā)明，離心泵得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機械提水灌溉提供了條件如圖為灌溉抽水管道在等高圖上的垂直投影，在A

13、處測得B處的仰角為37，在A處測得C處的仰角為45，在B處測得C處的仰角為53，A點所在等高線值為20米，若BC管道長為50米，則B點所在等高線值為參考數(shù)據(jù)：sin 37取eq f(3,5)()A30米 B50米C60米 D70米解析：選B由題意作出示意圖，如圖所示由已知得CAE45，BAE37，CBF53.設(shè)BDx米，則ADeq f(BD,tan 37)eq f(BDcos 37,sin 37)eq f(4,3)x(米)，CFBCsin 5350cos 3750eq f(4,5)40(米)，BFBCcos 5350sin 3750eq f(3,5)30(米)由AECE得eq f(4,3)x3

14、0 x40，解得x30.又A點所在等高線值為20米，故B點所在等高線值為203050(米)故選B.2某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O的北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值(3)是否存在v，使得小艇以v海里/時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里，則由余弦定理，可得Seq r(900t2400230t20cos9030)eq r(900t2600t400)eq r(900blc(rc)(avs4alco1(tf(1,3)2300)，故當teq f(1,3)時，Smin10eq r(3)，此時v30eq r(3)，即小艇以30eq r(3)海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)如圖，設(shè)小艇與輪船在B處相遇，由題意可知(vt)2202(30