2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)十三余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例新人教A版必修第二冊(cè)

1、PAGE PAGE 6余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例層級(jí)(一)“四基”落實(shí)練1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站 南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 ()A北偏東10B北偏西10C南偏東80 D南偏西80解析：選D由條件及題圖可知，AB40.又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2設(shè)甲、乙兩幢樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A20eq r(3) m，eq f(40r(3),3) m B10eq r(3) m, 2 0eq r(3) mC10

2、(eq r(3)eq r(2)m, 20eq r(3) m D.eq f(15r(3),2) m，eq f(20r(3),3) m解析：選A由題意，知h甲20tan 6020eq r(3)(m)，h乙20tan 6020tan 30eq f(40r(3),3)(m)3一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為()A15eq r(2) kmB30eq r(2) kmC45eq r(2) km D60eq r(2) km解析：選B如圖所示，依題意有AB15460，DAC60， CBM1

3、5，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得eq f(60,sin 45)eq f(BM,sin 30)，解得BM30eq r(2) (km)4一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68 n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 ()A.eq f(17r(6),2) n mile/h B34eq r(6) n mile/hC.eq f(17r(2),2) n mile/h D34eq r(2) n mile/h解析：選A如圖所示，在PMN中，eq f(PM,sin 45)eq f(MN,sin 120)，MNeq f

4、(68r(3),r(2)34eq r(6)，veq f(MN,4)eq f(17r(6),2)(n mile/h)故選A.5.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD 為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ()A30 B45C60 D75解析：選B依題意可得AD20eq r(10)(m)，AC30eq r(5)(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCADeq f(AC2AD2CD2,2ACAD)eq f(30r(5)220r(10)2502,230r(5)20r(10)eq f(6 000,6 000r(2)eq f(r

5、(2),2).又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.6某人朝正東方向走x m后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 m，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq r(3) m，那么x的值為_(kāi)解析：如圖，在ABC中，ABx，B30，BC3，ACeq r(3)，由余弦定理得(eq r(3)2x23223xcos 30，x23eq r(3)x60，xeq r(3)或2eq r(3).答案：2eq r(3)或eq r(3)7.如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直 線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30， 45，且BAC135.若山高AD100

6、m，汽車(chē)從C點(diǎn)到B點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車(chē)的速度為_(kāi)m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq r(2)1.414，eq r(5)2.236)解析：由題意可知，AB200 m，AC100 eq r(2) m，由余弦定理可得BCeq r(40 00020 0002200100r(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)316.2(m)，這輛汽車(chē)的速度為316.21422.6(m/s)答案：22.68.如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從 A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75，從C點(diǎn)測(cè)得MCA60.已知山高BC100 m，求山高M(jìn)

7、N.解：根據(jù)圖示，AC100eq r(2) m在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得eq f(AC,sin 45)eq f(AM,sin 60)，解得AM100eq r(3) m在AMN中，eq f(MN,AM)sin 60，所以MN100eq r(3)eq f(r(3),2)150(m)層級(jí)(二)能力提升練1.如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與 A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了三種測(cè)量方案(ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)：測(cè)量A，B，b；測(cè)量a，b，C；測(cè)量A，B，a.則一定能確定A，B間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為 ()A3 B2C1

8、D0解析：選A對(duì)于，利用內(nèi)角和定理先求出CAB，再利用正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)解出c；對(duì)于，直接利用余弦定理c2a2b22abcos C即可解出c；對(duì)于，先利用內(nèi)角和定理求出CAB，再利用正弦定理eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)解出c.故選A.2當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為60時(shí)，一根長(zhǎng)為2 m 的竹竿，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角_.解析：如圖，設(shè)竹竿與地面所成的角為，影子長(zhǎng)為x.依據(jù)正弦定理可得eq f(2,sin 60)eq f(x,sin120).所以xeq f(4,r(3)sin(120)因?yàn)?120120，所以要使x

9、最大，只需12090，即30時(shí)，影子最長(zhǎng)答案：303臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為_(kāi)小時(shí)解析：如圖，設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米， APx.在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化簡(jiǎn)得x240eq r(2)x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即圖中的CD20(千米)，故teq f(CD,v)eq f(20,20)1(小時(shí))答案：14.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型

10、”氣象觀測(cè)儀器的垂直 彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100 m，BAC60，在A地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比在B地晚eq f(2,17)秒A地測(cè)得該儀器彈至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30.(1)求A，C兩地的距離；(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)解：(1)由題意，設(shè)ACx m，則BCxeq f(2,17)340(x40)m.在ABC中，由余弦定理，得BC2BA2AC22BAACcosBAC，即(x40)210 000 x2100 x，解得x420.所以A，C兩地間的距離為420 m.(2)在RtACH中，AC420

11、 m，CAH30，所以CHACtanCAH140eq r(3) m.所以該儀器的垂直彈射高度CH為140eq r(3) m.5.如圖所示，在社會(huì)實(shí)踐中，小明觀察一棵桃樹(shù)他在點(diǎn)A處發(fā)現(xiàn)桃樹(shù) 頂端點(diǎn)C的仰角大小為45，往正前方走4 m后，在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)桃樹(shù)頂端點(diǎn)C的仰角大小為75.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若小明身高為1.70 m，求這棵桃樹(shù)頂端點(diǎn)C離地面的高度(精確到0.01 m，其中eq r(3)1.732)解：(1)在ABC中，CAB45，DBC75，則ACB754530，AB4.由正弦定理得eq f(BC,sin 45)eq f(4,sin 30)，解得BC4eq r(2)(m)即BC的長(zhǎng)為4

12、eq r(2) m.(2)在CBD中，CDB90，BC4eq r(2)，所以DC4eq r(2)sin 75.因?yàn)閟in 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30eq f(r(6)r(2),4)，則DC22eq r(3).所以CEEDDC1.7022eq r(3)3.703.4647.16(m)即這棵桃樹(shù)頂端點(diǎn)C離地面的高度為7.16 m.層級(jí)(三)素養(yǎng)培優(yōu)練1.春秋以前中國(guó)已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿 桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末，由于電動(dòng)機(jī)的發(fā)明，離心泵得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件如圖為灌溉抽水管道在等高圖上的垂直投影，在A

13、處測(cè)得B處的仰角為37，在A處測(cè)得C處的仰角為45，在B處測(cè)得C處的仰角為53，A點(diǎn)所在等高線值為20米，若BC管道長(zhǎng)為50米，則B點(diǎn)所在等高線值為參考數(shù)據(jù)：sin 37取eq f(3,5)()A30米 B50米C60米 D70米解析：選B由題意作出示意圖，如圖所示由已知得CAE45，BAE37，CBF53.設(shè)BDx米，則ADeq f(BD,tan 37)eq f(BDcos 37,sin 37)eq f(4,3)x(米)，CFBCsin 5350cos 3750eq f(4,5)40(米)，BFBCcos 5350sin 3750eq f(3,5)30(米)由AECE得eq f(4,3)x3

14、0 x40，解得x30.又A點(diǎn)所在等高線值為20米，故B點(diǎn)所在等高線值為203050(米)故選B.2某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O的北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值(3)是否存在v，使得小艇以v海里/時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則由余弦定理，可得Seq r(900t2400230t20cos9030)eq r(900t2600t400)eq r(900blc(rc)(avs4alco1(tf(1,3)2300)，故當(dāng)teq f(1,3)時(shí)，Smin10eq r(3)，此時(shí)v30eq r(3)，即小艇以30eq r(3)海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)如圖，設(shè)小艇與輪船在B處相遇，由題意可知(vt)2202(30