五年級(jí)奧數(shù)完全平方數(shù)及應(yīng)用(一)教師版

1、5-4-4. 完平方及（）教學(xué)目五年奧數(shù)完全方數(shù)及應(yīng)（一）教版 整完全平方數(shù)的一些推論及推論過(guò)程 掌完全平方數(shù)的綜合運(yùn)用。知識(shí)點(diǎn)一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)完全平數(shù)的尾數(shù)只能是 ?？赡苁?。在兩個(gè)續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。完全平數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。若質(zhì)數(shù) 除完全平方數(shù) a 2則 被 整除。2.性質(zhì)性質(zhì)：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能0性質(zhì)：完全平方數(shù)被,4,5,8,16的余數(shù)一定是完全平方數(shù)性質(zhì)：自然為全平方數(shù) 然數(shù)N約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)因?yàn)橥耆椒綌?shù)的質(zhì)因 數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù),以,如果p是質(zhì),是自然,是完全平方數(shù), | , p |

2、 性質(zhì)：完全平方數(shù)的個(gè)位6 的十位是奇數(shù)性質(zhì)：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位0,則它后面連續(xù)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)如果一個(gè) 完全平方數(shù)的個(gè)位是則其十位一定是,其百位一定0,2,6中的一個(gè)性質(zhì)：如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之則它不是完全平方數(shù) 3.一些重要的推論任何偶的平方一定能被 除任奇數(shù)的平方被 （ 除 1.被 4 除余 的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。一個(gè)完平方數(shù)被 除余數(shù)是 0 或 1.被 余 2 的一定不是完全平方數(shù)。 自 然 數(shù) 的 平 方 末 兩 位 只 有 ： 。完全平數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)1,5,9）時(shí)其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。完全平數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)）時(shí)其位上的數(shù)字必為偶數(shù)完全平數(shù)的個(gè)位數(shù)字為

3、其十位數(shù)字必為奇數(shù)。凡個(gè)位字是 末兩位數(shù)字不是 25 的然數(shù)不是完全平方數(shù)只有奇數(shù)個(gè) 是全平方數(shù)個(gè)數(shù)字為 而位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完 全平方數(shù)。3.重點(diǎn)公式回顧：方差公： a a )( ) / 9 5 210 4 10 5 210 4 10 例題精模塊一、完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【 1】 知 是一完平數(shù)求是的平?【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度2 星 【型】解答【析 我們不易直接求解,但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律 ,是我們采用遞推 (找律)的方來(lái) 求 解 ： 121 11 ； 12321 ； 1234321 , 于 是 我 們 歸 納 為1234n4321= (111 所 以 ： 11111112

4、 ；n個(gè) 1則,題原式乘積為 7777777 的 平方【答案】【 2】 是 方【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度2 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【析 1234567654321 1111111 的原式 【答案】【 3】 知然 n 滿(mǎn)足 除 n 得到個(gè)全方則 n 的最小值 。 【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度3 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯, 年級(jí), 【解析】 （法 先 12 分質(zhì)因數(shù)12! 由于 除以 得一個(gè)完 全平方數(shù) 么這個(gè)完全平方數(shù)是 的數(shù) 那最大可以為 ,所 最 小為 2! 231 。（法 ） 除 n 得到一個(gè)完全平方數(shù), 12! 的質(zhì)因數(shù)分解式中 3 、 7 、 11

5、的次是 奇數(shù),所以 n 的小值是 231 。【答案】 【 4】 一正數(shù)平 它最三數(shù)相但為 0,求足上條的小 的整【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度3 星 【型】解答【析 平數(shù)的末尾只能是 因?yàn)?111,444,555,666,999 都是完全平方所以 所求的數(shù)最小是 4 位數(shù)考 1111,可以知道 444 所滿(mǎn)足條件 的最小正整數(shù)是 【答案】【 5】 是由 2002 個(gè)“4的位即 , 是不是個(gè)然 的平？果是寫(xiě) ；果是請(qǐng)說(shuō)理 【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度3 星 【型】解答【析 略【答案】 4 1 如果 A 是個(gè)自然數(shù)的平, 1 也是某個(gè)自然數(shù)的平方 個(gè) 個(gè)1 個(gè)1并且是某個(gè)奇數(shù)的平方數(shù)

6、平方除以 4 的數(shù)是 1 知奇數(shù)的平方減 1 應(yīng) 4 / 9的倍數(shù)而 1 不 4 的數(shù)矛,以 A 不某個(gè)自然數(shù)的平方 個(gè) 個(gè) 【固 A 是由 2008 個(gè)”組的位 即 4 A 是是個(gè)然 的平？果是寫(xiě) B ；如果是請(qǐng)說(shuō)理2008 個(gè)4【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度3 星 【型】解答【析 略【答案】不是 A 44 2 1 假 A 是個(gè)自然數(shù)的平,則 1 1 也是某個(gè)自然2008 4 2008 個(gè) 20081數(shù)的平方并且是某個(gè)奇數(shù)的平方由奇數(shù)的平方除以 的余數(shù)是 1 奇數(shù)的平方減 1 應(yīng) 的倍數(shù)而1 1 是 4 的數(shù)與設(shè)矛盾所以1 1個(gè)自然數(shù)的平方【 6】 算1 AA,求 2004個(gè) 1002

7、 個(gè)【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度4 星 【型】解答【析 此的顯著特征是式子都含有111 從而找出突破口.n個(gè)1A不是某 22220041 1002 2 1 （ 1 1002個(gè)1 1002 -1 111 1002個(gè)11002個(gè)1 1002 1 （ 999 9 ）1002個(gè)1 1002個(gè)9 1 （ ）= 1002個(gè)1 10021所以,A 333 .1002個(gè)3【答案】 31002個(gè)3【 7】 444 A,求 為少 個(gè) 是存一完平數(shù)它的字為 2005？【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷 【難度4 星 【型】解答【析 本直接求解有點(diǎn)難度 但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律 , 于是我們采用遞推 ( 找律) 的方

8、法來(lái)求解：注意到有 可看成 4888 ,中 ； 個(gè) n n-1 個(gè) 尋找規(guī)律：當(dāng) n=1 時(shí)有 49 ；當(dāng) n=2 時(shí)有 4489 ；當(dāng) n=3 時(shí)有 444889 于是類(lèi)推有 444 = 666 方法二：下面給出嚴(yán)格計(jì)算：個(gè) 4888 4000 + 888 ； 2004 2004 個(gè)0 個(gè)8則 444 1 +8）2004 2004 個(gè)0 個(gè)82004個(gè)1 2004個(gè) / 9 1 （ +1）+12004個(gè)12004個(gè) 1 （ ）+12+12004個(gè)1 2004個(gè) (111 1) 36+12 1 +12004 1 2004個(gè)1 (111 1)36+2（ ）2004 1 2004個(gè)1 (666 (

9、666 由 知 4442004 2003 于 字 為 (4n+8n-8+9)=12 ； 令12n+1=2005n n-1 個(gè) n-1個(gè)6解 得 n 所 以 444167 個(gè) 166 個(gè) 。 所 以 在 這 樣 的 數(shù) 是1666167 個(gè) 166 個(gè) 【答案） 666 67個(gè) （） 167 166 個(gè) = 166模塊二、平方數(shù)特征（1） 方數(shù)的尾數(shù)特征【 8】 面一算：1 , 這算的數(shù)否某數(shù)平？【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征 【度】 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【析 判一個(gè)數(shù)是否是某個(gè)數(shù)的平方 首先要觀(guān)察它的個(gè)位數(shù)是多少平方數(shù)的個(gè)位數(shù) 只能是 而 不能是平方數(shù)個(gè)位數(shù) 這個(gè)算式的前二項(xiàng)之和

10、 為 3,中間二項(xiàng)之和的個(gè)數(shù)為 后二中每項(xiàng)都有因子 和 5,個(gè)位數(shù)一定是 0, 因此,這個(gè) 式得數(shù)的個(gè)位數(shù)是 不可能是某個(gè)數(shù)的平方【答案】不是【 9】 個(gè)與自的積為個(gè)數(shù)平各數(shù)互相且位字平 和于 的位數(shù)有_個(gè)【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征 【度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯, 年級(jí), 10 題【解析】 , 全排列共有 24 個(gè)【答案】 24【 】 用 這 9 個(gè)數(shù)各次組成個(gè)位全方一三完平數(shù)一四 位全方么其的位全平數(shù)小 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征 【度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春高年級(jí)復(fù)試11 【析 四位完全平方數(shù) 351225,以至少是 21296當(dāng)四位完全平方數(shù)是 時(shí)另個(gè)

11、平方數(shù)的個(gè)位只能分別為 4,5,個(gè)位為 5 的方數(shù)的十位只能 2, 數(shù)字 在 1296 中已經(jīng)使用當(dāng)四位完全平方數(shù) 71369 時(shí)另個(gè)平方數(shù)的個(gè) 位只能分別為 個(gè)為 5 的方數(shù)的十位一樣只能是 還剩下 7,8, 恰好為 所以其中的四位完全平方數(shù)最是 1369【答案】 1369 / 9【 】 稱(chēng)能示 1+2+3+K 的形的然為角有個(gè)位 它是角 數(shù)又完平數(shù)N= 。【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征 【度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美,初賽,六年級(jí)第 14 題【析 N=k (1+k)/2=m2,4 位 數(shù) 話(huà) (k+1)20000, 45=k=140,k=2n n*(2n+1)=N。 n 與 2n

12、+1 互質(zhì) ,以要均為平方數(shù)。平方數(shù)末尾 。足要 求的是 4950。 23=n=70 發(fā)沒(méi)有k=2n-1, n(2n-1)=N 上滿(mǎn)足要求是 1650 找到 25 所以 k=49, N=1225, m=35【答案】 1225（2） 數(shù)個(gè)約數(shù)指數(shù)是偶數(shù)【 】 在 3 , , 36 等 這 些 算 是 中4,9,16,25,36,做完全方。么不過(guò) 的大完平數(shù) ?！究键c(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【難度2 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望四年級(jí)復(fù)賽,第 , 【解析】 ；所以最大的是 1936.【答案】 【 】 寫(xiě)出 360 到 的然數(shù)有數(shù)約的【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度2 星 【型】解答【析 一個(gè)合

13、數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后 將個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù) ( 次 )加 1 后 所 得 的 乘 積 . 如 嚴(yán) 格 分 解 質(zhì) 因 數(shù) 后 為 所 以 它 的 約 數(shù) 有 (3+1)(2+1)(1+1)=432=24 個(gè)(包括 1 和自)如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù).這樣它 們加 后是奇數(shù)所得的乘積才能是奇而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的數(shù)為 完全平方數(shù).完全平方數(shù)(除 0 外有奇數(shù)個(gè)約,反過(guò)來(lái),有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)一定是 完全平方數(shù)由以上分析我們所求的為 360 之有少個(gè)完全平方? 所以在 之間的完全平方數(shù) 為 192,202,212,222,232,242,252即

14、 到 的然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)為 361,400,441,484,529,576,625 【答案】【 】 與整 的乘積一完平數(shù)則 的最小是【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度2 星 【型】填空【析 先 1016 分質(zhì)因數(shù)1016 由于 1 是一個(gè)完全平方,所以至少為2 ,故 最為 2 127 【答案】254【固 已知 恰是然 的平數(shù) 的小是 。 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度2 星 【型】填空【析 3528 要使 是個(gè)自然數(shù)的平方 須使 3528 各不同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)由于其中質(zhì)因子 和 各 2 個(gè)質(zhì)子 2 有 3 個(gè)所 a 2 可使 a 是完全平方數(shù),故 至為 2【答案】2【 】 從

15、 1 到 的所自數(shù)乘 后完全方的共多個(gè) 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度3 星 【型】解答【析 完平方數(shù),其所有質(zhì)因數(shù)必定成對(duì)出現(xiàn) / 9而 72 ,以滿(mǎn)足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平方數(shù)的 倍由于 31 1922 2 ,以 2 2 都滿(mǎn)足題意即所求的滿(mǎn)足條件的數(shù)共有 31 個(gè)【答案】【 】 已知然 滿(mǎn)足 除 n 得到個(gè)全方,則 n 的小是 。 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度3 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯, 年級(jí)【析 （ ）先將 ！解質(zhì)因數(shù) ,由于 除 n 得一個(gè)完全平方數(shù) 么這個(gè)完全平方數(shù)是 的約數(shù), 么最大可以為 2 以 n 最小為 12! 231 。（法 ） 除 n 得一個(gè)完全

16、平方數(shù) 的質(zhì)因數(shù)分解式中 3 7 、 11 的次是 奇數(shù),所以 n 的小值是 231 ?！敬鸢浮?31【 】 有 5 個(gè)連自數(shù)它們的和一平數(shù)中間數(shù)和立數(shù)則這個(gè)中 最數(shù)最值 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度4 星 【型】填空【析 考平方數(shù)和立方數(shù)的知識(shí)同時(shí)涉及到數(shù)量較少的連自然數(shù)問(wèn),設(shè)未知數(shù)的時(shí)候有技巧：一般是設(shè)中間的這樣前后的數(shù)關(guān)于中間的數(shù)是對(duì)稱(chēng)的設(shè)中間數(shù)是 x,它們的和為 5 中三數(shù)的和為 5 平方數(shù),設(shè) 則 a 3x 是立方數(shù),以 至少含有 3 和 5 的因數(shù)各 2 個(gè)即 至少是 225,中間的數(shù)至少是 那這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為 【答案】【 】 求一最的然,它乘 2 后是全方乘 3

17、 后是全方,乘以 5 后 是 5 次數(shù)【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度4 星 【型】解答【析 為所求的數(shù)最,個(gè)數(shù)不能有除 、3、5 之外的質(zhì)因子設(shè)這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后為 于它乘以 以后是全平方數(shù) 即 2 是完全平方數(shù) ,則 、 b 、 都是 倍數(shù)；同理可知 、 b 、 是 3 的倍數(shù), a 、 b 、 是 倍數(shù)所以 是 3 和 5 的數(shù)且以 2 余 ； 2 的,且除以 3 2 是 2 和 倍數(shù)且除以 余 可以求得 、 b 、 的最小值分別為 15、所以這樣的自然數(shù)最小為 2 【答案】 2【 】 三個(gè)續(xù)整 ,間個(gè)完全方 ,將這的個(gè)續(xù)正數(shù)積為 妙”：有于 2008 的妙的大約是多？【考點(diǎn)】平方

18、數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度4 星 【型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【析 60 是個(gè)美妙因此美妙數(shù)的最公約數(shù)不會(huì)大于 60三個(gè)連續(xù)正 整數(shù),必有一個(gè)能為 3 整除所以,何美妙數(shù)必有因子 若中間的數(shù)是偶數(shù),又是 完全平方數(shù),定能為 4 整若中間的是奇,則第一和第三個(gè)數(shù)是偶所以任 何美妙數(shù)必有因子 另外,于完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是 其個(gè)位 是 和 5,中間的數(shù)能被 5 整其個(gè)位是 1 和 6,第一個(gè)數(shù)能被 除其 個(gè)位是 第三個(gè)數(shù)能被 5 整除所以任何美妙數(shù)必有因子 5由于 3,4,5 的 最小公倍數(shù)是 所以任何美妙數(shù)必有因子 故所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是 綜合上面分析所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)既不能大于 6

19、0,又至少是 60,所以只能 是 60 / 9 【答案】【 】 考慮列 個(gè)數(shù) 1! , , 32! ,請(qǐng)去其的個(gè)使其各的 積一完平數(shù)劃的個(gè)是 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度4 星 【型】填空【析 設(shè) 個(gè)數(shù)的乘積為 (1!) (31!)32 31!) 16! 所以,只要?jiǎng)澣?這個(gè)即可使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù) 另外,由于 15! 而 也是完全平方所以劃去 也滿(mǎn)足題意【答案】 16! 或1 答案不唯一【 】 一個(gè)的全方 39 個(gè)數(shù)求該的數(shù)數(shù)多？【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度4 星 【型】解答【析 設(shè)數(shù)為 p ,那么它的平方就是 因此 2a 2 39 由于 39 p p 所以 2

20、 a ,可得 , a ； 故該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為 6 14 個(gè)或者 2 ,可得 a 那么該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為 個(gè) 所以這個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為 14 個(gè)者 個(gè)【答案】 個(gè)或者 20 個(gè)1 【 】 有一不于 的自數(shù)它的 是個(gè)方,它的 是一平數(shù)則這數(shù)2 3小 【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之奇數(shù)個(gè)約數(shù) 【度4 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】希望六年級(jí)二試,第 , 1【析 設(shè) 3 （ c 為含質(zhì)因子 2,3 的數(shù)則它的 是 c 是方,所以 是2 倍數(shù) b 的數(shù)另外它的 即 23 是個(gè)平方,以 a 是數(shù) b 是數(shù)符合以上兩個(gè)條件的 的小值為 4, 的小值為 3 ,個(gè)數(shù)最小為 432【答案】432（3） 方數(shù)的整除特性【 】 三個(gè)續(xù)整

21、 ,間個(gè)完全方 ,將這的個(gè)續(xù)正數(shù)積為 妙”。所的于 2008 的美妙”的最公數(shù)多？【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性 【難度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯決賽,第 11 題10 分【解析】 任何三個(gè)連續(xù)正整必一個(gè)能為 整除所任美妙數(shù)必有因子 3 若個(gè)連續(xù)正整數(shù)中間的數(shù)是偶,它是完全平方必能為 4 整除中 的數(shù)是奇數(shù)則一和第三個(gè)數(shù)是,以任何“美妙”必有因子 4完平方數(shù)的個(gè)位只能是 、 和 0,若個(gè)位是 5 和 0,則間的數(shù)必 能被 5 整除若個(gè)位是 1 和 則一個(gè)數(shù)必能被 5 整若其個(gè)位是 4 和 9,則三 個(gè)數(shù)必能被 5 整除所任何美妙數(shù)必有因子 5上說(shuō)“妙數(shù)都因子 和 5,也就有因子 即有

22、的美妙數(shù)的最大公 約數(shù)至少是 6060=345 是一個(gè)美數(shù),美數(shù)的最大公至多是 60有的美 妙數(shù)的最大公約數(shù)既不能大于 60,至少是 60,只能是 。 / 9【答案】 60【 】 證明形 11,111,1111,11111,數(shù)沒(méi)完平數(shù)【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性 【度】 【題型】解答【析 略【答案】由于奇數(shù)的平方是奇偶數(shù)的平方為偶,奇數(shù)的平方除以 4 余 偶的平方能 被 整在這些數(shù)都是奇,們除以 4 的數(shù)都是 所以不可能為完全平方 數(shù)【 】 記 這 n 當(dāng) 在 至 之間正數(shù)時(shí) 有 個(gè)同 使 是個(gè)整的方【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性 【度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)

23、【析 一平方數(shù)除以 的數(shù)是 0 或 1當(dāng) 時(shí),S 以 4 余 3,以 不是平方數(shù)； 當(dāng) 時(shí)S k , k 在 1 至 100 間時(shí)S 在 13 至 409 之其中只有 個(gè)方數(shù)是奇數(shù)： 5 , 7 , 11 15 ,其中每 1 個(gè)平方數(shù)對(duì)應(yīng) 個(gè) k,以答案為 8【答案】8【 】 能夠到樣四正數(shù),得們?nèi)蝺蓴?shù)的與 和是全 方嗎若夠請(qǐng)出例若能夠請(qǐng)說(shuō)理【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性 【度】 【題型】解答【析 略【答案】因?yàn)榕紨?shù)的平方能被 整除奇數(shù)的平方被 4 除 因此任一正整數(shù)的平方 n 除余 0 或 被 4假設(shè)存在四個(gè)正整數(shù) 、 n 使 n 2002 i j 余 2, n n 被 余 或 i j(， 若 、n 、 中兩個(gè)偶數(shù),如 n 、 是數(shù)那么 是 4 的數(shù), n 被 i j 余 2,以不可能是完全平方數(shù)；因此 n n n 中至多只有一個(gè)偶數(shù),至有三個(gè)奇數(shù)設(shè) n 為奇數(shù), 為偶數(shù)那么 n 被 4 余 1 或 所以 n n 中少有兩個(gè)數(shù)余數(shù)相同 n 、n 被 4 除數(shù)相同同為 1 或 那 n n 被 4 除 1,以 n n 4 除 3,是完全平方數(shù)； 綜上 n 2002 不能全是完全平方數(shù)i j【 】 的末位是少【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性 【度】 【題型】解答【析 首 先 , 考 慮 后 三 位 數(shù) 字 求 數(shù) 相 于 1 的 平 方 乘