大一下高數(shù)第三節(jié)三重積分

1、物質(zhì)密度函數(shù)為(xyzC,內(nèi)的物質(zhì)的M . 解決方法類似二重積分解決問題的思想“大化小常代變, 近似和可nM lim (k,k,k0 k (k ,k , k )1、定義1、定義. 設(shè)f(xyzxyz若對 作任意分割vkk12n),任意取點(k,k,kvk,下列“乘積和式” 極限nlim f( , , )v 記f (x, y,z)k存在, 則稱此極限為函數(shù)f(xyz在上的三重積分dv稱為體積元素, 在直角坐標(biāo)系下常寫作 2、性質(zhì):三重積分的性質(zhì)與二重積分相似. 例3、中值定理f(xyz在有界閉域上連續(xù)V為的體積, 則存在(, , 使得 f (x, y,z)dv f (,二、二、三重積分的計1.

2、利用直角坐標(biāo)計算三重積先假設(shè)連續(xù)函數(shù) f (xyz0并將它看作某物的密度函數(shù), 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算方法1 . 投影法(“先一后二方法2 . 截面法(“先二后一方法3 . 三次積分最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算方法1. 方法1. 投影法(“先一后二”z z2(x, :z1(x,y) z z2(x, (x,y)f(x,y,z)dz z1(x, z (x,yf (x,y,z)dz dxdz1(x,y記作 dxdyz2(x,y) f (x, y,dxd z1(x,f (x, y,z)dxd例1 化三重積分 I fxyz)dxdydz次積分，其中積分區(qū)域z x2 2及z2 x2所圍

3、成的閉區(qū)域例1例1 化三重積分 I fxyz)dxdydz為次積分，其中積分區(qū)域為由曲z x2 2及z2 x2所圍成的閉區(qū)域z x2 2y解 由 z 2 x得交線投影區(qū)Dxy :x y 1 x 1 x y 1 x x2 2y2 z 2 x先一后2I dxdyx22y2 f (x,y,2 1dx 1x2 dyx2 2y2 f (x,y,例 2 計算三重積分zdxdydz，其中坐標(biāo)面及平面x y z 1所圍成的閉區(qū)域z1y1x例3例3 計算三重積分 y 1 x2dxdydz，其中由曲y 1 x2 z2x2 z2 1y 1所方法方法2. 截面法(“先二后一:(x, y) a z該物體的質(zhì)量y f (

4、x,y,z)d 面密度f (x, y,z)dxd f (x, y,z)d 記作Dz f (x, y,z)dxd截面法的一般步把積分區(qū)域向某軸（例如z 軸）投影，得投影區(qū)間c1c2；對zc1c2 用過z軸且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz; 計算二重積分 f(x,y,其結(jié)果為z的函數(shù)F(z)；c最后計算單積分 F(z)dz即得三重積分值例 2 例 2 計算三重積分zdxdydz，其中坐標(biāo)面及平面x y z 1所圍成的閉區(qū)域z1y1x例 2 計算三重積分zdxdydz，其中坐標(biāo)面及平面x y z 1所圍成的閉區(qū)域1解（一）zdxdydz 0 zdzz Dz (x,y)|x y1dxdy 2(1

5、z)(1 1 原式 z1(1z)2dz方法方法3. 三次積z1(x,y) z z2(x,設(shè)區(qū)域 :y (x) y y (x) (x, y) D : 1a x利用投影法結(jié)果 , 把二重積分化成二次積分即得 f (x, y,z)d bdx y2(x) dy z2(x,y) f (x, y,y1(z1(x,投影z (x,yf(x,y,z)dv dxdy f (x,y,z)d3 化三重積分I fxyz)dxdydz為次積分，其中 積分區(qū)為由曲面zx2 y2, y x2y1, z 0所圍成的空間閉區(qū)域如圖，33 化三重積分I fxyz)dxdydz為次積分，其中 積分區(qū)為由曲面zx2 y2, y x2y

6、1, z 0所圍成的空間閉區(qū)域如圖，解 0 z x2 y2x2 y 1, 1 x x2I 1dxx2 f (x, y,z)dz小結(jié): 小結(jié): 方法1. “先一后二z (x, f(x,y,z)dv dxdy f (x,y,z)d z1(x,方法2. “先二后一 f(x,y,z)dv bdf (x, y,z)dxdZ方法3. “三次積分y (z (x, f (x,y,z)dv dx dy f (x, y,z)d y1(z1(x,例4. 計算三重積分 z2dxd ydz z z其中b x用“例4.例4. 計算三重積分 z2dxd ydz z z其中c zb 解: yzDz : 2 2 1 用“先二后

7、一c z2dxd ydz z2dz dxd z2 ab(1 z )dz 4 例5例5 計算三重積分 y 1 x2dxdydz，其中由曲面y 1 x2 z2x2 z2 1y 1所例5 計算三重積分 y 1 x2dxdydz，其中由曲面y 1 x2 z2x2 z2 1y 1所解 如圖將投影到zox平面得 Dxz : x2 z2 1, y積分，再求Dxz 上二重積分oo1原式1原式 y 1 1x2x2 dx1 1 1 x2(x2z z )| 1x3 1 1(1 x2 2x4)dx 1 練習(xí). 練習(xí). 計算 x y 5xy sin x y dxd ydz, 其z1(x2 y2z 1, z 4圍成2z4

8、x練習(xí). 計算 x y 5xy sin x y dxd ydz, 其z1(x2 y2z 1, z 4圍成2z4x練習(xí)練習(xí)計 (x2 5xy2sin x2 y2 )dxd yd其z1(x2 y2z 1, z 4圍成2解: I x2 dxd ydz5 xy2 sin x2 y2 dxd yd利用對稱 1 (x2 y2 )dxd ydz 14dz (x2 y2 )dxd 2 14dz2 d 2z r3 dr 2 2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積設(shè)M (x, y, zR3,將x, y用極坐標(biāo),代替, （, 就稱為點M的柱坐標(biāo). 直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系x 0 y 0 2 zM(x, y,坐標(biāo)面分別為 常圓柱

9、 常半平(x, z 常平如圖所示如圖所示, dv ddd因 f (x, y,z)dxd F(,z)dd 其中 F(,z) f (cos, sin, zdd適用范圍積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離如圖如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素dv ddd因 f (x, y,z)dxd F(,z)dd 其中 F(,z) f (cos, sin, zdd6 計算I zdxdydz，其中是球x2 y2 z2 4與拋物面x2 y2 3z 所圍的立體66 計算I zdxdydz，其中是球x2 y2 z2 4與拋物面x2 y2 所圍的立體xr解 y rsin 知交線z r2

10、z2 4 z 1, r2 把閉區(qū)域 投影到xoy 面上2: r z 4r30 r 0 4rI 0 d0 drrzdz 4 ，7 7 I x2 y2dxdydz是曲線 y2 2zx 0 繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與兩平面z 2, z 8所圍的立體.7 I x2 y2dxdydz是曲線 y2 2zx 0 繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與兩平面z 2, z 8所圍的立體.y2 解 由繞oz 軸旋轉(zhuǎn) x 旋轉(zhuǎn)面方程為 x2 y2 所圍所圍成立體的投影區(qū)域如圖D : x2 y2 10 : 0 r 4 D 1 r2 20 0 r D2 : x2 y2 2 : r2 I I1 (x2 y2)dxdydz (x2

11、 y2)dxdydzI rdrd 8 4 d drrr I2 rdrdrfdz d drrr dz原式I 例8.例8.計算三重積分 z x2y2dxdydz其中為柱面x2 y2 2x 及平面z 0, z a(a0), y0所成半圓柱體aoy 2x例8.計算三重積分 z x2y2dxdydz其中為柱面x2 y2 2x 及平面z 0, z a(a0), y0所成半圓柱體0 2解: 在柱面坐標(biāo)系下0 20 zo原式 z2ddd2 2d 2cos 2 d 4a2 8 3 0 cos d 9dv dd例9. 計算三重積分例9. 計算三重積分 dxdydz , 其中1x2 yx2 y2 4z 與平面zh(

12、h0)所圍成r2 z 4解: : 0 2 0 2 原式=2 d2 d1 2 h dv dd2 1 2 (h 4 )d (14h)ln(14h)4h dv 在 dxdydz 思考思考選擇題為六個平面x 0 x 2y 1x 2y z xz 2圍成的區(qū)域f x, yz)在則累次積 f(x, y,z)dv.0 dx2xdy2 f(x,y,22 dx 2 dy f(x,y,0 dx2xdyx f(x,y,22 dx 2 dy f(x,y,計計I y 1x2 dxd ydz ,其中 y 1 x2 z2 , x2 z2 1, y 1 所圍成.分析：若用“先二后一”, 則有0I yd1 x2 dxd1yd 1 x2 dxd計算較繁! 采用“三次積分”較好解: 由y 1x2 z , x2 z2 1, y1 所圍, 故表 1x2 z2 y: 1x2