極值理論在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量中的應(yīng)用

1、極值理論在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量中的應(yīng)用1、引言自20世紀(jì)70年代以來，金融市場的波動(dòng)日益加劇，一些金融危機(jī)事件頻繁發(fā)生，如1987年的“黑色周末”和亞洲金融危機(jī)，這使金融監(jiān)管機(jī)構(gòu)和廣大的投資者對金融資產(chǎn)價(jià)值的暴跌變得尤為敏感。金融資產(chǎn)收益率的尖峰、厚尾現(xiàn)象也使傳統(tǒng)的正態(tài)分布假定受到嚴(yán)重的質(zhì)疑，因此如何有效地刻畫金融資產(chǎn)收益率的尾部特征，給出其漸進(jìn)分布形式，及各種風(fēng)險(xiǎn)度量模型的準(zhǔn)確估計(jì)方法和置信區(qū)間，依此制定投資策略，確定國家監(jiān)管制度，成為風(fēng)險(xiǎn)度量和管理所面臨的巨大挑戰(zhàn)。目前，對金金融資產(chǎn)產(chǎn)損失的的估計(jì)方方法主要要包括歷歷史模擬擬、參數(shù)數(shù)方法和和非參數(shù)數(shù)方法。歷歷史模擬擬是一種種最簡單單的方法法，它利利

2、用損失失的經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)分布來來近似真真實(shí)分布布，但是是該方法法不能對對過去觀觀察不到到的數(shù)據(jù)據(jù)進(jìn)行外外推，更更不能捕捕獲金融融資產(chǎn)收收益序列列的波動(dòng)動(dòng)率聚類類現(xiàn)象，而而受到大大量的批批評。參參數(shù)方法法假設(shè)收收益符合合某種特特定的分分布如：正態(tài)分分布、tt分布等等，再通通過分布布與樣本本的均值值、方差差的匹配配對參數(shù)進(jìn)行行估計(jì)，或或者是假假設(shè)收益益符合某某種特定定的過程程如：模模型、模型，該該方法可可以在一一定程度度上解釋釋尖峰后后尾現(xiàn)象象和波動(dòng)動(dòng)率聚類類問題，具有比較好的整體擬和效果。不過參數(shù)方法只能對已經(jīng)到來的災(zāi)難信息給出準(zhǔn)確的估計(jì)，對于即將到來的災(zāi)難信息無法給出準(zhǔn)確的預(yù)測，因此對極端事件的估計(jì)缺

3、乏準(zhǔn)確性。非參數(shù)方法則主要包括極值理論（EVT），該理論不研究序列的整體分布情況，只關(guān)心序列的極值分布情況，利用廣義帕累托分布（generalized Pareto distribution）或者廣義極值分布（generalized extreme value distribution）來逼近損失的尾部分布情況。Danielsson and de Vries（1997）以7支美國股票構(gòu)成的組合為樣本比較各種模型的表現(xiàn)情況，發(fā)現(xiàn)EVT的表現(xiàn)比參數(shù)方法和歷史模擬方法明顯的好。Longin（2000）認(rèn)為極值理論的優(yōu)點(diǎn)在于它的沒有假設(shè)特定的模型，而是讓數(shù)據(jù)自己去選擇，而GARCH模型作為估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的一

4、種方法，它只能反映當(dāng)時(shí)的波動(dòng)率情況，對于沒有預(yù)期到的變化缺乏準(zhǔn)確性。不幸的是，Lee and Saltoglu（2003）把EVT模型應(yīng)用到5個(gè)亞洲股票市場指數(shù)上，發(fā)現(xiàn)表現(xiàn)令人非常不滿意，而傳統(tǒng)的方法盡管沒有一個(gè)在各個(gè)市場表現(xiàn)都是絕對優(yōu)于其它模型的，但都比EVT模型的表現(xiàn)好。本人認(rèn)為EVT模型之所以在亞洲市場表現(xiàn)不好主要是因?yàn)閬喼藿鹑谑袌龅臄?shù)據(jù)具有很強(qiáng)的序列相關(guān)和條件異方差現(xiàn)象，不能滿足EVT模型要求的獨(dú)立同分布假定。另外，Jondeau and Rockinger（1999），Rootzen and Kluppelberg（1999），Neftci（2000），Gilli and Kelle

5、zi（2003）和Christoffersen and Goncalves（2004）也分別采用極值原理和其他模型對金融數(shù)據(jù)的尾部特征進(jìn)行了分析和比較。本章在傳統(tǒng)統(tǒng)單純采采用極值值理論（假設(shè)被被分析數(shù)數(shù)據(jù)是獨(dú)獨(dú)立同分分布的）描述金融資產(chǎn)收益尾部特征的基礎(chǔ)上，把ARMA(Asymmetric)GARCH模型和極值理論有機(jī)的結(jié)合起來。首先利用ARMA(Asymmetric)GARCH模型捕獲金融數(shù)據(jù)中的序列自相關(guān)（Correlation）和異方差（Heteroskedasticity）現(xiàn)象，利用GMM估計(jì)參數(shù)，獲得近似獨(dú)立同分布的殘差序列，再采用傳統(tǒng)的極值理論對經(jīng)過ARMA(Asymmetric)

6、GARCH模型篩選處理過的殘差進(jìn)行極值分析，在一定程度上克服了傳統(tǒng)單純采用極值理論時(shí)，由于金融數(shù)據(jù)序列自相關(guān)和波動(dòng)率聚類現(xiàn)象不能滿足極值理論假設(shè)所造成的估計(jì)誤差。另外，本章還采用Bootstrap的方法給出了采用極值理論估計(jì)出的VaR和ES在某一置信水平下的置信區(qū)間改進(jìn)了采用似然比率法估計(jì)置信區(qū)間時(shí)，由于極值事件的小樣本所造成的誤差。最后，我們利用中國上證指數(shù)自1990年12月19到2004年9月30日的對數(shù)日收益率進(jìn)行實(shí)證研究給出上證指數(shù)的VaR和ES值，及置信區(qū)間。2、VaRR和ESS的概念念：VaR（VValuueaatRRiskk）是一一種被廣廣泛接受受的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)度量工工具，220011

7、年的巴巴塞耳委委員會指指定VaaR模型型作為銀銀行標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)度量工工具。它它可以定定義為在在一定的的置信水平平下，某某一資產(chǎn)產(chǎn)或投資資組合在在未來特特定時(shí)間間內(nèi)的最最大損失失，或者者說是資資產(chǎn)組合合收益損損失分布布函數(shù)的的分位數(shù)點(diǎn)。假假設(shè)代表表某一金金融資產(chǎn)產(chǎn)的收益益，其密密度函數(shù)數(shù)為，則則VaRR可以表表示為： （11） 當(dāng)密度函數(shù)數(shù)為連續(xù)續(xù)函數(shù)是是也可以以寫作：，其中中稱為分分為數(shù)函函數(shù)，它它被定義義為損失失分布的的反函數(shù)數(shù)。該模模型計(jì)算算簡單，在證券組合損失符合正態(tài)分布，組合中的證券數(shù)量不發(fā)生變化時(shí)，可以比較有效的控制組合的風(fēng)險(xiǎn)。但是VaR模型只關(guān)心超過VaR值的頻率，而不關(guān)心超過V

8、aR值的損失分布情況，且在處理損失符合非正態(tài)分布（如后尾現(xiàn)象）及投資組合發(fā)生改變時(shí)表現(xiàn)不穩(wěn)定，會出現(xiàn) （22）的現(xiàn)象，不不滿足AArtzznerr（19999）提提出了一一致性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)度量量模型的次可加加性。（Expeecteed sshorrtfuull）滿滿足Arrtznner（119999）提出出的次可可加性、齊齊次性、單單調(diào)性、平移不變性條件，是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型。它的定義如下：在給定的置信水平下，設(shè)是描述證券組合損失的隨機(jī)變量，是其概率分布函數(shù)，令，則可以表示為： （3）在損失的密密度函數(shù)數(shù)是連續(xù)續(xù)時(shí)，可可以簡單單的表示示為：。 本本章將分分別選用用這兩個(gè)個(gè)模型來來度量金金融資產(chǎn)產(chǎn)的風(fēng)

9、險(xiǎn)險(xiǎn)，給出出在修正正過的極極值模型型下，其其估計(jì)的的方法和和置信區(qū)區(qū)間。3. ARRMA(Assymmmetrric)GARRCH模模型3.1 AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型的的性質(zhì)模型： （4）其中，是期期望為00，方差差為常數(shù)數(shù)的獨(dú)立立同分布布隨機(jī)變變量，模型在可可逆的情情況下可可以表示示為。該模型型假設(shè)的的條件期期望是可可得的，條條件方差差為常數(shù)數(shù)，通常?？梢杂脕韥斫忉寱r(shí)間間序列的的相關(guān)性性，并可可以對時(shí)時(shí)間序列列進(jìn)行的的短期預(yù)預(yù)測。但但是該模模型條件件方差為為常數(shù)的的假設(shè)，使使其無法法有效的的解釋在在金融時(shí)時(shí)間序列列中經(jīng)常常被觀察察到的波波動(dòng)率聚聚類現(xiàn)象

10、象，為此此，我們們需要在在模型中中進(jìn)一步步引入模型。我們令，其其中是期期望為00，方差差為常數(shù)數(shù)1，的的獨(dú)立同同分布隨隨機(jī)變量量，是在時(shí)刻的的條件方方差。這這里我們們采用通通常使用用的最簡簡單的模模型，則則條件方方差可以以表示為為：，模型也也可以表表示成平平方誤的的形式： （5）其中，因此此模型本本質(zhì)上是是平方誤誤的。模型的的引入不不僅可以以捕獲到到金融時(shí)時(shí)間序列列的波動(dòng)動(dòng)率聚類類現(xiàn)象，而而且可以以在一定定程度上上改善尖峰峰后尾現(xiàn)現(xiàn)象，因因?yàn)?（66）其中和分別別表示和和的峰度度，的峰峰度明顯顯大于等等于的峰峰度。另外，在金金融序列列中我們們還可以以明顯的的觀察到到，波動(dòng)率率正方向向變動(dòng)與與收

11、益率率負(fù)方向向變動(dòng)的的相關(guān)性性大于與與收益率率正方向向變動(dòng)的的相關(guān)性性，一種種可能的的解釋是是收益率率的負(fù)方向向變動(dòng)會會加大波波動(dòng)幅度度。而模模型認(rèn)為為收益的的正方向向變動(dòng)和和負(fù)方向向變動(dòng)對對波動(dòng)率率變動(dòng)幅幅度有著著相同的的影響，為為了捕獲獲金融序序列波動(dòng)動(dòng)率變動(dòng)動(dòng)的這一一不對稱稱性，我我們引入入需要Gllostten et al（119933）提出出的非對對稱模型型： （77）其中，在這這個(gè)模型型中我們們通過項(xiàng)來捕獲收益益率的正正負(fù)變動(dòng)動(dòng)對波動(dòng)動(dòng)率變動(dòng)動(dòng)的不同同影響，如如果收益益率的波波動(dòng)與收收益率波波動(dòng)率的的變動(dòng)像像我們上上面所預(yù)預(yù)期的那那樣，則則。這樣我們就就得到了了ARMAA(AAsy

12、mmmettricc)GAARCHH模型 （88）3.2、AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型的的參數(shù)估估計(jì)：我們知道在在條件正正態(tài)分布布的假設(shè)設(shè)下，可可以很容容易的利利用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的似然然函數(shù)，給給出參數(shù)數(shù)向量的的估計(jì)值值，其中中，。即使使在金融融收益率率序列殘殘差不滿滿足條件件正態(tài)分分布的情情況下，使用正態(tài)極大似然估計(jì)法，仍然可以得到參數(shù)的一致漸進(jìn)正態(tài)非最小方差估計(jì)。但是這樣我們得到的殘差將有很大的誤差，而是我們下一步進(jìn)行EVT尾部估計(jì)的輸入變量，它的有效性將會直接影響我們整個(gè)的估計(jì)結(jié)果，為此我們必須尋找一個(gè)更有效

13、的估計(jì)方法。GMM（GGeneerallizeed MMethhod of Mommentts）廣廣義矩估估計(jì)恰好好可以滿滿足我們們的要求求，它不不需要假假設(shè)符合合任何分分布，只只需要的的條件矩矩。在SSkogglunnd（220011）“A ssimpple effficiientt GMMM eestiimattor of GARRCH moddelss”給出了了該估計(jì)計(jì)方法的的計(jì)算過過程和收收斂情況況。下面面給去估估計(jì)的步步驟：首先，定義義一個(gè)行行向量 和廣廣義向量量 ，其其中是工工具變量量，則參參數(shù)的GGMM估估計(jì)可以以通過下下式得到到： （9）其中是一個(gè)個(gè)恰當(dāng)?shù)牡臋?quán)重矩矩陣。在New

14、eey aand McFFaddden（119944）中，我我們可以以知道，有有效的GGMM估估計(jì)可以以通過另另，其中中，是Jaacobbiann行列式式。把和和帶入上上面的目目標(biāo)函數(shù)數(shù)（9）得得到： （110）其中，是一一個(gè)含有有參數(shù)的的權(quán)重矩矩陣，它它的元素素可以表表示為：其中，通過上面對對目標(biāo)函函數(shù)（99）的變變化，我我們得到到函數(shù)是是恰好可可識別的的，即參參數(shù)的最最優(yōu)估計(jì)計(jì)是使函函數(shù)等于于0。另另外，我我們要進(jìn)進(jìn)行GMMM估計(jì)計(jì)還需要一一個(gè)對參參數(shù)的初初始估計(jì)計(jì)值和對的三階階矩和四四階矩的的初始估估計(jì)值，而而這一初初始值我我們可以以通過對對ARMMA(Asyymmeetriic)GGA

15、RCCH模型型殘差符符合正態(tài)態(tài)分布的的情況進(jìn)進(jìn)行最大大似然估估計(jì)得到到。這樣樣我們就就可以得得到有效效的參數(shù)數(shù)估計(jì)值值和殘差差序列。4、極值理理論極值理論是是測量極極端市場場條件下下風(fēng)險(xiǎn)損損失的一一種方法法，它具具有超越越樣本數(shù)數(shù)據(jù)的估估計(jì)能力力，并可可以準(zhǔn)確確地描述述分布尾尾部的分分位數(shù)。它主要包括兩類模型：BMM模型（Block Maxima Method）和POT模型（Peaks over Threshold），兩類模型的主要區(qū)別有：1、極值數(shù)據(jù)的獲取方法上的區(qū)別，BMM模型通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，然后在每個(gè)小組中選取最大的一個(gè)構(gòu)成新的極值數(shù)據(jù)組，并以該數(shù)據(jù)組進(jìn)行建模；POT模型則通過事先設(shè)

16、定一個(gè)閥值，把所有觀測到的超過這一閥值的數(shù)據(jù)構(gòu)成的數(shù)據(jù)組，以該數(shù)據(jù)組作為建模的對象，兩個(gè)模型的共同點(diǎn)是只考慮尾部的近似表達(dá)，而不是對整個(gè)分布進(jìn)行建模。2、兩個(gè)模型分別采用極值理論中的兩個(gè)不同的定理作為其理論依據(jù)，同時(shí)也因?yàn)楂@取極值數(shù)據(jù)的不同方法導(dǎo)致兩個(gè)模型分別采用不同的分布來擬合極值數(shù)據(jù)。3、BMM模型是一種傳統(tǒng)的極值分析方法，主要用于處理具有明顯季節(jié)性數(shù)據(jù)的極值問題上，POT模型是一種新型的模型，對數(shù)據(jù)要求的數(shù)量比較少，是現(xiàn)在經(jīng)常使用的一類極值模型。4、BMM模型主要用于對未來一段較長的時(shí)間內(nèi)的VaR和ES預(yù)測，而POT則可以進(jìn)行單步預(yù)測，給出在未來一段小的時(shí)間內(nèi)VaR和ES的估計(jì)值。5、B

17、MM模型的前提條件是樣本獨(dú)立同分布，POT模型的前提條件是超限發(fā)生的時(shí)間服從泊松分布，超限彼此相互獨(dú)立，服從GPD（generalized Pareto distribution）分布,且超限與超限發(fā)生的時(shí)間相互獨(dú)立。樣本獨(dú)立同分布可以保證POT模型的前提條件。4.1 BMMM模型的的理論基基礎(chǔ)假設(shè)表示我我們采用用BMMM方法獲獲得的極極值數(shù)據(jù)據(jù)組，其其中n表表示每個(gè)個(gè)子樣本本的大小小，則有有下面的的極限定定理成立立定理1：（FFishher andd Tiippeett (19928), Gnnedeenkoo (19943)）假設(shè)是一一個(gè)獨(dú)立立同分布布的隨機(jī)機(jī)變量序序列，如如果存在在常數(shù)，

18、以及及一個(gè)非非退化的的分布函函數(shù)，使得 成立，則則分布函函數(shù)一定定屬于下下面的三三種標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的極值值分布： Frechhet： Weiibulll： Gummbell： 從圖1可以以清楚的的Freecheet分布布用來描描述那些些極值無無上界有有下界的的分布，WWeibbulll分布用用來描述述極值分分布有上上界，無無下界的的分布，GGumbbel分分布用來來描述極極值無上上界也無無下界的的分布。我們通常見到的很多分布函數(shù)都可以根據(jù)他們尾部的狀況劃分到上面的三種極值分布分布中去，例如：學(xué)生分布、帕累托分布（Pareto distribution）、對數(shù)Gamma分布、Cauchy distrib

19、uted根據(jù)尾部特征可以劃分到Frechet分布中去；均勻分布和Beta分布的尾部分布可以收斂到Weibull分布；正態(tài)分布、Gamma分布和對數(shù)正態(tài)分布的尾部分布都收斂到Gumbel分布。 圖形1：標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)Frrechhet、WWeibbulll和Guumbeel分布布圖但是，在實(shí)實(shí)際應(yīng)用用中對于于一個(gè)給給定得極極值序列列，我們們應(yīng)該如如何在這這三種極極值分布布中做出出選擇呢呢。一種理理想的方方法是通通過參數(shù)數(shù)的形式式把三種種極值分分布統(tǒng)一一的表示示成一個(gè)個(gè)分布函函數(shù)，這這樣我們們就可以以在利用用最大似似然估計(jì)計(jì)的時(shí)候候，把該該參數(shù)也也一塊估估計(jì)出來來，讓數(shù)數(shù)據(jù)去決決定它們們的選擇擇，這將將極

20、大的的增加模模型估計(jì)計(jì)的準(zhǔn)去去性。這這里我們們采用 Jennkinnsonn annd MMisees 的的方法，把把三種分分布表示示成如下下單參數(shù)數(shù)的形式式： （111）其中，這一一表達(dá)形形式也被被稱為廣廣義極值值分布函函數(shù)（GGeneerallizeed eextrremee vaaluee diistrribuutioon），當(dāng)當(dāng)時(shí)，表表示Frrechhet分分布，當(dāng)當(dāng)時(shí)，表表示weeibuull分分布，當(dāng)當(dāng)時(shí)表示示Gummbell分布。 在在定理11的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，對對于給定定一個(gè)金金融資產(chǎn)產(chǎn)的殘差差序列，我我們就可可以首先先分組求求最大值值得到的的極值序序列記為為。為了了表達(dá)上上的簡潔潔

21、，用和和代替公式式（111）中的的和，則可可以序列列的近似似分布函函數(shù)： （122）其中。然后后，我們們要對參參數(shù)進(jìn)行行最大似似然估計(jì)計(jì)，這需需要得到到隨機(jī)變變量的概概率密度度函數(shù)，通通過概率率分布函函數(shù)（112）對對求導(dǎo)，我我們得到到隨機(jī)變變量的概概率密度度函數(shù)： （133）其中。通過過似然函函數(shù)就可可以得到到各參數(shù)數(shù)的估計(jì)計(jì)值： （14）在各參數(shù)估估計(jì)值給給定的基基礎(chǔ)上，我我們就可可以利用用極值分分布函數(shù)數(shù)計(jì)算不不同下的分位數(shù)值，如如用表示示這一分分位數(shù)，則在個(gè)周期期內(nèi)出現(xiàn)的極極值收益益會超過這這一閥值的預(yù)預(yù)期數(shù)量量有且僅僅有一次次。 表達(dá)形形式為： （155）注：關(guān)于參參數(shù)的置置信區(qū)間間

22、的確定定我們在在后面給給出其計(jì)計(jì)算方法法。4.2 POTT模型的的理論基基礎(chǔ)假設(shè)序列的的分布函函數(shù)為，定定義為隨隨機(jī)變量量超過門門值的條件分分布函數(shù)數(shù)，它可可以表示示為： （116）根據(jù)條件概概率公式式我們可可以得到到： （177）定理2：（PPickkandd (119755), Ballkemma aand de Haaan (19774)）對對于一大大類分布布（幾乎乎包括所所有的常常用分布布）條件件超量分分布函數(shù)數(shù)，存在一一個(gè)使得得： （112）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，。分分布函數(shù)數(shù)被稱作作廣義的的Parretoo分布。圖2：廣義義Parretoo分布在在，取0.3，00，-0.3的圖圖形從圖形

23、上我我們可以以看到的的不同取取值確定定了尾部部的厚度度，越大大則尾部部越厚，越小尾部越薄，從函數(shù)我們還可以得到當(dāng)時(shí)，的最大取值為，有上界。Lee and Saltoglu（2003）在金融資產(chǎn)收益時(shí)間序列上直接使用EVT時(shí)，由于序列的尖峰后尾，使得確定出來的一定是大于零的，但是在我們的模型中，我們對殘差序列進(jìn)行極值分析，因此我們得到的不一定大于零。根據(jù)公式（112）我我們可以以得到廣廣義的PPareeto分分布的概概率密度度函數(shù)：因此對于給給定的一一個(gè)樣本本，對數(shù)數(shù)似然函函數(shù)可以以表示為為： （113）在POT模模型中另另一個(gè)重重要的問問題，那那就是如如何確定定我們定定理2中中的閥值值，它的的

24、確定非非常重要要，它是是正確估估計(jì)參數(shù)數(shù)和的前提提。如果果閥值選選取的過過高，會會導(dǎo)致超超額數(shù)據(jù)據(jù)量太少少，使估估計(jì)出來來的參數(shù)數(shù)方差很很大；如如果閥值值選取的的過低，則不能保證超量分布的收斂性，使估計(jì)產(chǎn)生大的偏差。Danielsson et al（1997）、de Vries（1997）和Dupuis（1998）給出了對閥值的估計(jì)方法，一般有兩種：一是根據(jù)Hill圖，令表示獨(dú)立同分布的順序統(tǒng)計(jì)量。尾部指數(shù)的Hill統(tǒng)計(jì)量定義為：Hill圖圖定義為為點(diǎn)構(gòu)成成的曲線線，選取取Hilll圖形形中尾部部指數(shù)的的穩(wěn)定區(qū)區(qū)域的起起始點(diǎn)的的橫坐標(biāo)標(biāo)K所對對應(yīng)的數(shù)數(shù)據(jù)作為為閥值。二是根根據(jù)樣本本的超額額限望

25、圖，令令，樣本本的超限限期望函函數(shù)定義義為： （144）超限期望圖圖為點(diǎn)構(gòu)構(gòu)成的曲曲線，選選取充分分大的作作為閥值值，它使使得當(dāng)時(shí)時(shí)為近似似線性函函數(shù)。另另外，如如果超限限期望圖圖當(dāng)時(shí)是向上上傾斜的的，說明明數(shù)據(jù)遵遵循形狀狀參數(shù)為為正的GGPD分分布，如如果超限期望圖圖當(dāng)時(shí)是是向上傾傾斜的，說說明數(shù)據(jù)據(jù)來源于于尾部較較短的分分布，如如果如果果超限期望圖圖當(dāng)時(shí)是是水平的的，則說說明該數(shù)數(shù)據(jù)來源源于指數(shù)數(shù)分布。這一判斷方法是根據(jù)廣義Pareto分布在參數(shù)的時(shí)候，它超限期望函數(shù)是一個(gè)線性函數(shù)。 （155）注：因?yàn)閷τ趶V義義Parretoo分布只只存在階階矩，如如果則存存在一階階矩，否否則一階階矩將

26、不不存在，就就沒有辦辦法計(jì)算算超限期望函函數(shù)。當(dāng)確定以后后，；利用用的觀測測值，根根據(jù)公式式（133）進(jìn)行行最大似似然估計(jì)計(jì)得到和和。同時(shí)時(shí)，我們們得到的的觀測值值中比閥閥值大的的個(gè)數(shù)，記記為，根根據(jù)公式式（177）用頻頻率代替替的值，可可以得到到在時(shí)的表表達(dá)式： （166）對于給定某某個(gè)置信信水平，可可以由的的分布函函數(shù)公式式（155）可以以得到： （177）根據(jù)GPDD的條件件分布函函數(shù)公式式（155）可以以得到： （118）4.3 序列的和置信區(qū)區(qū)間的估估計(jì)方法法：通常，對于于參數(shù)置置信區(qū)間間的估計(jì)計(jì)方法，在在大樣本本的情況況下我們們可以從從似然比比率檢驗(yàn)驗(yàn)（Likkeliihoood

27、RRatiio TTestt）的思路中中獲到。似似然比率率檢驗(yàn)用用來檢驗(yàn)驗(yàn)兩個(gè)同同類型模模型的擬擬和程度度的好壞壞。兩個(gè)個(gè)同類型型模型的的似然比比率符合合分布，它它的自由由度等于于復(fù)雜模模型中新新加入的的參數(shù)的的個(gè)數(shù)。以POT模型為例，要估計(jì)參數(shù)和在給定置信水平下的置信區(qū)間可以通過下式得到：其中，和為為估計(jì)的的最優(yōu)值值，表示示似然函函數(shù)。這這樣我們們就得到到了和的聯(lián)合合置信區(qū)區(qū)間，如如果我們們希望得得到的估估計(jì)值，則則可以根根據(jù)公式式（177）反解解出帶入入公式（113）得得到，令令,的置信信區(qū)間可可以通過過下式得得到：但是，于超超過閥值值的極值值數(shù)據(jù)量量不會很很多，使使的這一一估計(jì)的的漸進(jìn)效

28、效果可能能不佳。為為此，我我們引入入Boootsttrapp方法來來獲得置置信區(qū)間間的估計(jì)計(jì)。既然然我們得得到的序序列時(shí)獨(dú)獨(dú)立同分分布，就就可以每每次獨(dú)立立從中抽抽取個(gè)點(diǎn)點(diǎn)組成新新的序列列，用該該序列估估計(jì)和，重復(fù)復(fù)這一操操作，就就可以得得到一系系列的和和估計(jì)值值，求出出和的經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)分布，最最后根據(jù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)分分布得到到和的置信信區(qū)間，并并把和的期望值值作為和和的估計(jì)計(jì)值。我們在在這里只只給出了了POTT模型中中置信區(qū)區(qū)間的求求法，其其他參數(shù)數(shù)的置信信區(qū)間可可以類似似的求得得。該方方法在確確定置信信區(qū)間的的同時(shí)，也也是一種種檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ头€(wěn)定定性的方方法。5、實(shí)證分分析 我們采采用上海證券券交易所所公布

29、的的日收益益綜合指指數(shù)為原原始數(shù)據(jù)據(jù)（數(shù)據(jù)據(jù)來源：大智慧慧），樣樣本空間間選自119900年122月199日-20004年年9月330日。樣樣本容量量為33391個(gè)個(gè)（使用用Eviiewss和Maatlaab軟件件）。我我們定義義收益為為。我們的的實(shí)證過過程分為為四步，（11）用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型對收益益序列進(jìn)進(jìn)行過慮慮得到近近似獨(dú)立立同分布布的殘差差序列；（2）用用極值理理論對這這一殘差差進(jìn)行分分析，給給出其漸漸進(jìn)分布布，并估估計(jì)出相相應(yīng)的和和值。（33）比較較用似然然比率和和用Boootsstraap方法法給出和和值的置置信區(qū)間間的估計(jì)計(jì)。（44）

30、整合合第一步步和第二二步的結(jié)結(jié)果，計(jì)計(jì)算收益益的和值。（55）利用用BMMM模型估估計(jì)值。5.1 ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型形式和和參數(shù)的的確定首先給出收收益序列列的描述述性統(tǒng)計(jì)計(jì)量（圖圖1），可可以看到到序列具具有明顯顯的尖峰峰后尾現(xiàn)現(xiàn)象，從從JBB檢驗(yàn)可可以顯著著的拒絕絕正態(tài)性性假設(shè)。對對收益序序列進(jìn)行行單位根根ADFF檢驗(yàn)（見見表1），因因?yàn)闄z驗(yàn)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)計(jì)量是，比比顯著性性水平為為1的的臨界值值還小，所所以拒絕絕原假設(shè)設(shè)，序列列不存在在單位根根，是平平穩(wěn)序列列。圖1：收益益序列的的描述性性統(tǒng)計(jì)量量ADF TTestt Sttatiistiic-23.66

31、45116 11% Crritiicall Vaaluee*-3.43354 55% Crritiicall Vaaluee-2.86629 110% Criiticcal Vallue-2.56675*MacKKinnnon criiticcal valluess foor rrejeectiion of hyppothhesiis oof aa unnit rooot.表1：序列列的單位位根檢驗(yàn)驗(yàn)可以進(jìn)一步步分析數(shù)數(shù)據(jù)的自自相關(guān)和和偏相關(guān)關(guān)（見表表2）現(xiàn)現(xiàn)象，發(fā)發(fā)現(xiàn)滯后后10期期，在999的的置信水水平下都都不能拒拒絕沒有有自相關(guān)關(guān)和偏相相關(guān)的原原假設(shè)，為為此可以以認(rèn)為收收益序列列中不存存

32、在ARRMA現(xiàn)現(xiàn)象。這樣，我們們就可以以直接用用序列對對常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)作最小小二乘回回歸得到到殘差項(xiàng)項(xiàng)，然后對殘殘差序列列進(jìn)行AARCHH效應(yīng)的的LM檢檢驗(yàn)（見見表3），發(fā)發(fā)現(xiàn)當(dāng)取比較較大的值值時(shí)的相相伴概率率仍然有有，小于于顯著水水平，拒拒絕原假假設(shè)，殘殘差序列列存在高高階ARRCH效效應(yīng)，即即有GAARCHH效應(yīng)。表2：樣本本數(shù)據(jù)的的自相關(guān)關(guān)和偏相相關(guān)表ARCH Tesst:F-staatissticc1.98661411 Probbabiilitty0.04443400Obs*RR-sqquarred15.8556844 Probbabiilitty0.04444766表3：ARRCH效效應(yīng)的

33、LLM統(tǒng)計(jì)計(jì)量檢驗(yàn)驗(yàn)根據(jù)上面的的分析，我我們可以以確定在在第一步步中所采采用的模模型公式式（199），并并對其進(jìn)進(jìn)行正態(tài)態(tài)最大似似然估計(jì)計(jì)（見表4）。 （119）CoeffficiienttStd. Errrorz-StaatissticcProb. C9.43EE-0559.03EE-0551.044420660.29664 VVariiancce EEquaatioonC1.47EE-0661.06EE-07713.95563990.00000ARCH(1)0.479973440.0100345546.37724000.00000(RESIID00)*AARCHH(1)-0.1333844

34、30.01664566-8.133359990.00000GARCHH(1)0.723315220.00552433137.9915990.00000表4：公式式(199)最大大似然估估計(jì)的結(jié)結(jié)果從表中可以以看到，正如我們所預(yù)見的那樣，預(yù)測不到收益的負(fù)方向變動(dòng)可以導(dǎo)致更大的波動(dòng)率出現(xiàn)，正方向變動(dòng)會使波動(dòng)率下降。和都大于零表明過去時(shí)刻的波動(dòng)對未來價(jià)格波動(dòng)有著正向緩解作用，從而可以有效的解釋了波動(dòng)率的聚類性現(xiàn)象。下面我們以最大似然估計(jì)的結(jié)果為初始值按照前面所介紹的方法進(jìn)行GMM估計(jì)，其結(jié)果如下表：最大似然估估計(jì)1.47EE-0660.47997344-0.133384430.723315229.4

35、3EE-0550.00227GMM估計(jì)計(jì)4.68EE-0880.650088-0.47733330.7722548.33EE-0441.90EE-066表5：最大大似然估估計(jì)和GGMM估估計(jì)比較較在GMM估估計(jì)值與與最大似似然估計(jì)計(jì)值的比比較中，我我們可以以清楚的的看到，GGMM估估計(jì)明顯顯的增加加了非對對稱項(xiàng)系系數(shù)的絕絕對值，使使收益的的正負(fù)向向變動(dòng)對對波動(dòng)率率表動(dòng)的的不同影影響更加加明顯。另外，在最大似然估計(jì)中，這意味不存在有限的方差，而在GMM估計(jì)中，保證了的方差有限性。GMM估計(jì)在沒有分布的情況下給出了參數(shù)的取值，并有效的降低了目標(biāo)函數(shù)的取值。把GMM估估計(jì)值代代入公式式（199），由

36、由收益序序列得到到殘差序序列（見見圖2），從圖像上可以看出序列變的更平穩(wěn)，波動(dòng)率聚類現(xiàn)象明顯下降，更接近于獨(dú)立同分布。對其進(jìn)行一階，二階自相關(guān)和偏相關(guān)性檢驗(yàn)和LjungBox檢驗(yàn)，結(jié)果都在很高的水平上拒絕原假設(shè)，表示殘差序列以沒有ARMA現(xiàn)象和條件異方差現(xiàn)象。圖2：收益益序列RR和殘差差序列ARCH Tesst:F-staatissticc2.75EE-055 Probbabiilitty0.99558188Obs*RR-sqquarred2.75EE-055 Probbabiilitty0.99558177表6：序列列的ARRCH檢檢驗(yàn)5.2 PPOT模模型的應(yīng)應(yīng)用基于極值理理論中PPOT模

37、模型，我我們需要要利用充充分大的閥值，對超超限分布進(jìn)進(jìn)行GPPD擬合合，根據(jù)據(jù)公式（114），得得到超限限期望圖圖（見圖圖3）。發(fā)發(fā)現(xiàn)樣本本的平均均超限函函數(shù)圖在在時(shí)近似直直線，具具有明顯顯的Paaretto分布布特征。當(dāng)時(shí)數(shù)據(jù)超過閥值的個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，我們的總樣本個(gè)數(shù)，在允許的情況下選取10左右的數(shù)據(jù)（DuMouchel（1983）作為極值數(shù)據(jù)組是比較合適的選擇，否則可能不能抓住序列尾部分布的特征，樣本內(nèi)過度擬合，樣本外不適用。為此，我們分別給出閥值取0.8，0.9的情況下，利用最大似然估計(jì)得到各參數(shù)、的取值和95的置信區(qū)間（見表7），以及在這些參數(shù)下的QQ圖和分布圖（見圖4和圖五），從圖

38、形中我們可以看到極值分布有效擬合了我們的樣本分布，只有個(gè)別地方出現(xiàn)異?，F(xiàn)象。且在和兩種情況下的擬合效果沒有明顯的區(qū)別，為此在后面我們只給出時(shí)的圖形。 下界0.150.331.822.460.160.321.812.46估計(jì)值0.22990.36771.96772.79110.25440.37331.95882.8188上界0.340.422.153.390.380.432.143.50區(qū)間長度0.190.090.330.930.160.110.231.04表7：參數(shù)數(shù)的最大大似然估估計(jì)和995置置信區(qū)間間 圖33：序列列的超限期期望圖 圖4：和時(shí)的QQQ圖圖圖5：和極極值分布布與經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)分布的的

39、比較對于的估計(jì)計(jì) Emmbreecheets（119999）認(rèn)為為金融序序列的的的取值范范圍在33到4之之間，而而我們這這里計(jì)算算出來的的，幾乎乎不落在在的區(qū)域域內(nèi)，這主要是是因?yàn)槲椅覀儗鸾鹑谛蛄辛杏肁RRMA(Assymmmetrric)GARRCH模模型進(jìn)行行了過濾濾，得到到的序列列在一定定程度上上消除了了的尖峰峰后尾現(xiàn)現(xiàn)象，使使得估計(jì)計(jì)出來的的值偏小小，這與Embbrecchetts的結(jié)結(jié)論并不不矛盾。另另外在QQQ圖圖中，我我們可以以看到在在0.999的分分為數(shù)之之前擬合合效果非常常好，在在后面出出現(xiàn)了個(gè)個(gè)別的異異常值，這這不會影影響我們們對的估估計(jì)，因因?yàn)橹魂P(guān)心00.999分為數(shù)數(shù)

40、之前的的分布情況況，而不不受到00.999分為數(shù)數(shù)之后分分布情況況的影響響。但是是的估計(jì)計(jì)由于受受到0.99分分為數(shù)之之后分布布情況的的影響，所所以這會會對的估估計(jì)造成成一定的的誤差，這這也是為為什么我我們在表表7中看看到的995估估計(jì)區(qū)間間明顯比的955估計(jì)計(jì)區(qū)間要要寬的原原因之一一。下面我們采采用Boootsstraap的方方法來確確定各參參數(shù)的置置信區(qū)間間，首先先在序列列中進(jìn)行行33990次重重復(fù)抽取取得到一一個(gè)包含含33990個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)的新新樣本，利利用這些些新樣本估估計(jì)、和取值，重重復(fù)上述述10000次，則得到四四個(gè)估計(jì)計(jì)序列，其中每個(gè)序列中包含了1000關(guān)于某個(gè)參數(shù)的估計(jì)值，我們把他

41、看作是一個(gè)樣本，把這些樣本與前面估計(jì)出來的參數(shù)區(qū)間相比較，如圖6左其中方形區(qū)域是、單參數(shù)確定的95置信區(qū)間，橢圓形區(qū)域是、的95聯(lián)合置信區(qū)間，圖形中的散點(diǎn)表示每次估計(jì)出來的、的值構(gòu)成的點(diǎn)。從圖形中我們可以看到大概有5的點(diǎn)落在了95的聯(lián)合置信區(qū)間的外面，但是當(dāng)我們考慮單參數(shù)置信區(qū)間時(shí)發(fā)現(xiàn)在區(qū)域以外的點(diǎn)大大超過了5，這表明單參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間存在一定的問題，類似的現(xiàn)象我們還可以在和的估計(jì)中（見圖6右）看到，聯(lián)合置信區(qū)間比較準(zhǔn)確的捕獲了數(shù)據(jù)的特性，單參數(shù)置信區(qū)間的表示方法就有較大的誤差。圖6：單參參數(shù)和聯(lián)聯(lián)合置信信區(qū)間，以以及boootsstraap的估估計(jì)點(diǎn)圖7：Boootsstraap方法法得到

42、的的、和的經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)分布圖圖另外，從四四個(gè)參數(shù)數(shù)估計(jì)序序列我們們可以得得到四個(gè)個(gè)參數(shù)的的經(jīng)驗(yàn)分分布（見見圖7），通過線性插值的方法得到參數(shù)的估計(jì)值和95的置信區(qū)間（見表8），用Bootstrap方法估計(jì)的置信區(qū)間明顯比最大似然估計(jì)得到的置信區(qū)間要寬，這可能是因?yàn)槲覀兊臉颖九c廣義Pareto分布并不是完全符合，且樣本數(shù)量有限，最大似然估計(jì)的估計(jì)值是無偏的，但不是最小方差的，造成的估計(jì)的誤差，但是兩種方法估計(jì)出來的參數(shù)值比較接近，特別是對和的估計(jì)的誤差都在以上，沒有明顯的差別，只需要對使用似然比率計(jì)算出的置信區(qū)間坐適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。 下界0.08990.31881.80662.37220.08550.31551.78992.3488估計(jì)值0.22220.37001.966