函數(shù)奇偶性講義

1、函數(shù)的奇偶性【知識要點】1函數(shù)奇偶性的定義：一般地，關于函數(shù)f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)f(x)f(x)叫偶函數(shù)（，那么函數(shù)evenfunction）.若是關于函數(shù)定義域內的任意一個f(x)叫奇函數(shù)（oddfunction）.x，都有2奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，反之亦真.由此，可由函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性，也可由函數(shù)的奇偶性作函數(shù)的圖象.3鑒識方法：先察看定義域可否關于原點對稱，再用比較法、計算和差、比商法等鑒識f(x)f(x)的關系；（1）奇函數(shù)f(x)1(f(x)0)；f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)（2）

2、偶函數(shù)fxfxfxfxfx01fx0.fx4函數(shù)奇偶性的幾個性質：（1）奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，在判斷函數(shù)奇偶性時，應先察看函數(shù)的定義域；（2）奇偶性是函數(shù)的整體性質，對定義域內任意一個x都必定成立；（3）若奇函數(shù)fx在原點有意義，則f00；4）依照奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；5）在公共的定義域內：兩個奇（偶）函數(shù)的和與差仍是奇（偶）函數(shù)；兩個奇（偶）函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)；（6）函數(shù)fx與函數(shù)1有相同的奇偶性.fx5奇偶性與單調性：（1）奇函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間b,a,a,b上有相同的單調

3、性；（2）偶函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間b,a,a,b上有相反的單調性.【典例精講】種類一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷以下函數(shù)的奇偶性：（1）fxx22x；（2）fx1x2x21；（3）fxaxbaxbab0；11（4）fxx；2x12x2x1,xx22x3,x0，（5）f(x)0，x0，2x1,x（6）f(x)0,x0；2x3,x0.x2變式判斷以下函數(shù)的奇偶性：4511(1)f(x)=x；(2)f(x)=x；(3)f(x)=x+x2；(4)f(x)=x2.（5）f(x)x32x（6）f(x)2x44x2（）yaxb(a0,b0)（8）yx(k0)7xkx2例2已知fx是R上的奇函數(shù)，且當x0時

4、，fxx32x21，求fx的表達式。種類二函數(shù)奇偶性的簡單應用例3（1）設函數(shù)f(x)=(x1)(xa)為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；x（2）設函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，若f(2)+f(1)3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2)的值；（3）已知fx是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)g(x)1,求fx與g(x)的解析式。x1變式（1）設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)=2x2x，則f(1).（2）已知f(x)為奇函數(shù)，g(x)f(x)9,g(2)3,則f(2)（3）已知yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1，若g(x)f(x)2，則g(1)。種類三函數(shù)性質的綜合應用例4(1

5、)奇函數(shù)f(x)在b,a上為增函數(shù)，試解析它在(a,b上的單調性(a0)。(2)已知奇函數(shù)f(x)在單調區(qū)間7,3上有最大值f(5)2，則f(x)在3,7上的最值是。(3)已知偶函數(shù)f(x)在單調區(qū)間7,3上有最大值f(5)2，則f(x)在3,7上的最值是。例5定義在R上的函數(shù)fx滿足fxyfxfy,且對任意x,yR,都成立。證明:函數(shù)fx是奇函數(shù)；(2)若是xR,f(x)0,并且f(1)1,試求f(x)在區(qū)間2,6上的最值。2【課堂練習】1.函數(shù)yx|x|px，xR是（）A偶函數(shù)B奇函數(shù)C不擁有奇偶函數(shù)D與p有關2.若奇函數(shù)f(x)在3,7上是增函數(shù)，且最小值是1，則它在7,3上是（）A.增

6、函數(shù)且最小值是1B.增函數(shù)且最大值是1C.減函數(shù)且最大值是1D.減函數(shù)且最小值是13若函數(shù)fxx1xa為偶函數(shù)，則a()（A）2（B）1（C）1（D）24.已知fx1是偶函數(shù),則函數(shù)yf2x的圖象的對稱軸是()A.x1B.x1C.x1x1D.225.設奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5,若當x0,5時,f(x)的圖象以下列圖,則不等式f(x)0的解是.6.已知函數(shù)f(x)ax5bx3cx1，f(2)1，求f(2)?！舅枷胪卣埂?.定義在1,1上的函數(shù)fx滿足fxyfxfy,且對任意x,y1,1,當xy0fxfy。時,都有0y證明:函數(shù)fx是奇函數(shù)；(2)用函數(shù)的單調性定義判斷并證明函數(shù)fx在1,1

7、上的單調性?！菊n外作業(yè)】1已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x0時，f(x)x(1x)；當x0時，f(x)等于（）A.x(1x)B.x(1x)C.x(1x)D.x(1x)2.關于定義域是R的任意奇函數(shù)f(x)都有（）A.f(x)f(x)0B.f(x)f(x)0C.f(x)f(x)0D.f(x)f(x)03若f(x)m21x2m1xn2為奇函數(shù)，則m,n的值為（）A.m1,n2B.m1,n2C.m1,n2D.m1,nR4.已知f(x)的定義域為xRx0，且滿足2f(x)f(1)x，則f(x)的表達式為x_.5.若f(x)m1x26mx2是偶函數(shù)，則f(0),f(1),f(2)的大小序次是_.6.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在(0,)是增函數(shù)，且f(1)0，則f(x1)0的解集為.7若關于一的確數(shù)x,y，都有f(xy)f(x)f(y).