材料力學(xué)第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析-強(qiáng)度理論

1、應(yīng)力狀態(tài)的概念二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法二向應(yīng)力狀態(tài)分析-n圖解法三向應(yīng)力狀態(tài)廣義胡克定律四種常用強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度理論第七章 應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論27. 1 應(yīng)力狀態(tài)概述1 問題的提出 低碳鋼和鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn) 低碳鋼的拉伸實(shí)驗(yàn) 鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)問題：為什么低碳鋼拉伸時(shí)會(huì)出現(xiàn) 45 滑移線？3 低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn) 低碳鋼的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn) 鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)問題：為什么鑄鐵扭轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)沿 45 螺旋面斷開？所以，不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。 橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。橫力彎曲2 應(yīng)力的三個(gè)重要概

2、念 直桿拉伸應(yīng)力分析結(jié)果表明：即使同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。 直桿拉伸 應(yīng)力狀態(tài)的概念過一點(diǎn)的不同方向面上的應(yīng)力的集合，稱為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。3 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述 單元體 單元體的邊長(zhǎng) dx, dy, dz 均為無窮小量； 單元體的特點(diǎn) 單元體的每一個(gè)面上，應(yīng)力均勻分布； 單元體中相互平行的兩個(gè)面上，應(yīng)力相同。4 主應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)的分類主單元體:各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體312231主平面: 切應(yīng)力為零的截面主應(yīng)力: 主面上的正應(yīng)力12 說明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體, 三個(gè)相互垂直的面均為主平面, 三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為1 ,2 , 3 且規(guī)

3、定按代數(shù)值大小的順序來排列, 即3應(yīng)力狀態(tài)的分類 1.空間應(yīng)力狀態(tài) :三個(gè)主應(yīng)力1 ,2 ,3 均不等于零2.平面應(yīng)力狀態(tài): 三個(gè)主應(yīng)力1 ,2 ,3 中有兩個(gè)不等于零3.單向應(yīng)力狀態(tài): 三個(gè)主應(yīng)力 1 ,2 ,3 中只有一個(gè)不等于零312231221111例題 1 畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體. 54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333alSF例題 2 畫出如圖所示梁 危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)單元體 xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213pDyz 薄壁圓筒的橫截面面積pDnn（1

4、）沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為Fmmnn7. 2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例1 二向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)直徑平面（2）假想用一直徑平面將圓筒截分為二,并取下半環(huán)為研究對(duì)象pyFNFNd可以看出：軸向應(yīng)力 是環(huán)向應(yīng)力的一半。對(duì)于薄壁圓筒，有：所以，可以忽略內(nèi)表面受到的內(nèi)壓p和外表面受到的大氣壓強(qiáng)，近似作為二向應(yīng)力狀態(tài)處理。2 三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例 滾珠軸承例 3 (書例7.1)已知：蒸汽鍋爐，t=10mm, D=1m, p=3MPa 。解：求：三個(gè)主應(yīng)力。前面已得到20例 4 (書例7.2)已知：球形容器，t , D, p 。解：求：容器壁內(nèi)的應(yīng)力。取研究對(duì)象如圖。與薄壁圓

5、筒的情況類似，有：所以：7. 3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析 解析法 一、應(yīng)力狀態(tài)分析在已知過一點(diǎn)的某些截面上的應(yīng)力時(shí)，求出過該點(diǎn)的任一截面上的應(yīng)力，從而求出主應(yīng)力和主平面。 二向應(yīng)力狀態(tài)的表示 切應(yīng)力的下標(biāo)作用面的法線切應(yīng)力的方向 正負(fù)號(hào)規(guī)定 正應(yīng)力拉為正壓為負(fù)23 切應(yīng)力使單元體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。 截面的方向角由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到截面的外法線n的正向的角為正;反之為負(fù)。yx平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示 .單元體上有x ,xy 和 y , yxxxyzyxyyxxyxyyx二、斜截面上的應(yīng)力1.截面法 假想地沿斜截面 e-f 將單元體截開,留下左邊部分的單體元 eaf 作為研究對(duì)象xyax

6、xyxxyefnefaxxyyxyn 設(shè)斜截面的面積為dA , a-e的面積為dAcos, a-f 的面積為dAsinefaxxyyxynefadAdAsindAcos2.任意斜截面上的應(yīng)力 對(duì)研究對(duì)象列 n和 t 方向的平衡方程得t利用三角函數(shù)公式并注意到 化簡(jiǎn)得 正應(yīng)力的不變量截面上的正應(yīng)力為: +90 截面上的正應(yīng)力為:任意兩個(gè)互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù).三、最大正應(yīng)力及方位確定正應(yīng)力極值設(shè)0 時(shí)，上式值為零，即即0 時(shí)，切應(yīng)力為零 由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力（主應(yīng)力）所在平面。 所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：1 2 3四

7、、最大切應(yīng)力及方位1.最大切應(yīng)力的方位 令 1 和 1+90確定兩個(gè)互相垂直的平面,一個(gè)是最大切應(yīng)力所在的平面,另一個(gè)是最小切應(yīng)力所在的平面.2.最大切應(yīng)力 將1和 1+90代入公式 得到max和min 比較和可見試求（1） 斜面上的應(yīng)力； （2）主應(yīng)力、主平面； （3）繪出主應(yīng)力單元體。例題5：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。 已知解：（1） 斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入 表達(dá)式可知主應(yīng)力 方向：主應(yīng)力 方向：（3）主應(yīng)力單元體：38例 6 (書例7.4)已知： 圓軸受扭轉(zhuǎn)。解：求：應(yīng)力狀態(tài)及分析鑄鐵件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。 最大切應(yīng)力 取單元體ABCD純切應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力

8、主方向或40 主應(yīng)力 主方向或 主應(yīng)力排序 鑄鐵件破壞現(xiàn)象例 7 (書例7.5)已知: A點(diǎn)應(yīng)力 = -70MPa, = 50MPa。解：求：A點(diǎn)主應(yīng)力和主平面，及其它點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 A點(diǎn)單元體 取x軸向上為正 主應(yīng)力 主方向或44單向拉伸 其它幾點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)單向壓縮純剪切主拉應(yīng)力1跡線 主應(yīng)力跡線主壓應(yīng)力3跡線 7-4 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法一、莫爾圓 將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫為把上面兩式等號(hào)兩邊平方,然后相加便可消去,得 因?yàn)閤 ,y ,xy 皆為已知量,所以上式是一個(gè)以,為變量的圓周方程.當(dāng)斜截面隨方位角 變化時(shí),其上的應(yīng)力 , 在 - 直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓. 1.圓心的坐標(biāo) 2

9、.圓的半徑 此圓習(xí)慣上稱為 應(yīng)力圓,或稱為莫爾圓 （1）建 - 坐標(biāo)系,選定比例尺二、應(yīng)力圓作法1.步驟xyxxyxxyyyDxyO （2）量取OA= xAD = xy得D點(diǎn)xyxxyxxyxAOB= y （3）量取BD= yx得D點(diǎn)yByxD （4）連接 DD兩點(diǎn)的直線與 軸相交于C 點(diǎn) （5）以C為圓心, CD 為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C （1）該圓的圓心C點(diǎn)到 坐標(biāo)原點(diǎn)的 距離為 （2）該圓半徑為DxyOxAyByxDC2.證明應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體面上的應(yīng)力的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1) 點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力;(2) 基準(zhǔn)相當(dāng)D點(diǎn)和x

10、面是基準(zhǔn);(3) 轉(zhuǎn)向一致半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；(4) 角度成雙半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。三、應(yīng)力圓的應(yīng)用 1.求單元體上任一截面上的應(yīng)力 從應(yīng)力圓的半徑 CD 按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2得到半徑CE.圓周上 E 點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力.DxyOxAyByxDC20FE2xyaxxyxxyefn 證明： （1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:單元體某一面上的應(yīng)力,必對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo).說 明AB （2）夾角關(guān)系:圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍.兩者的轉(zhuǎn)向一致.2OCBA2.求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置（1）主應(yīng)力數(shù)值 A1 和

11、 B1 兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),其橫坐標(biāo) 為主應(yīng)力 1,2 12DxyOxAyByxDC20FE2B1A120DxyOxAyByxDC12A1B1（2）主平面方位 由 CD順時(shí)針轉(zhuǎn) 20 到CA1 所以單元體上從 x 軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 0 （負(fù)值）即到 1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線 0 確定后,1 對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定3.求最大切應(yīng)力 G1和G2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力 20DxyOxAyByxDC12A1B1G1G2 因?yàn)樽畲?、最小切?yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑sxsxADtsodacxyy45xbeBE 單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓245245BEsatatasaxytsodacbe245245sxsx

12、BEotstta (0,t )d(0,-t )ADbec245245satsatBE 純切應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓例 8 (書例7.6)已知：x =80MPa, y =-40MPa, xy = -60MPa,yx = 60MPa 。解：求：用應(yīng)力圓求主應(yīng)力和主方向作應(yīng)力圓:由D點(diǎn)由D點(diǎn)畫出應(yīng)力圓62 圓心坐標(biāo) 半徑 主平面從D點(diǎn)(x軸)逆時(shí)針轉(zhuǎn)45至A1點(diǎn)，E由幾何關(guān)系O例題9 從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示, x = -1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , （1）繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓 （2）確定此單元體在 =30和 =-40兩斜面上的

13、應(yīng)力.xyxy解: （1） 畫應(yīng)力圓 量取OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2,定出 D點(diǎn);ACB OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D點(diǎn). (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2) 以DD為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓. 將半徑 CD 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 2 = 60到半徑 CE, E 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = 30斜截面上的應(yīng)力。（2）確定 = 30斜截面上的應(yīng)力E60（3）確定 = - 40斜截面上的應(yīng)力 將半徑 CD順時(shí)針轉(zhuǎn) 2 = 80到半徑 CF, F 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = - 40斜截面上的應(yīng)力.F80ADCBOD 3040 403030= - 0.

14、36MPa30= - 0.68MPa40= - 0.26MPa-40= - 0.95MPa例題10 兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示,梁的橫截面尺寸示于圖中.試?yán)L出截面C上a , b兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓,并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kNm解:（1）首先計(jì)算支反力, 并作出 梁的剪力圖和彎矩圖 Mmax = MC = 80 kNm FSmax =FC左 = 200 kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）橫截面 C上a 點(diǎn)的應(yīng)力為 a點(diǎn)的單元體如圖所示axxxyyx 由 x , xy

15、定出D 點(diǎn)由y , yx 定出D點(diǎn) 以DD為直徑作應(yīng)力圓OC（3）做應(yīng)力圓 x =122.5MPa, xy =64.6MPa y=0, xy =-64.6MPaAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)DA113A2 A1,A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表 a 點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力1 和3 A1 點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單元體上 1所在的主平面 axxxyyx01312015152709zab（4）橫截面 C上b點(diǎn)的應(yīng)力 b點(diǎn)的單元體如圖所示bxx b 點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為 1所在的主平面就是 x 平面, 即梁的橫截面Cbxx(136.5 , 0)D(0 , 0)D1 已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1, 2

16、, 3 利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力.一、 空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力7-5 三向應(yīng)力狀態(tài)分析31223113 首先研究與其中一個(gè)主平面 （例如主應(yīng)力3 所在的平面）垂直的斜截面上的應(yīng)力122 用截面法,沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分,取左下部分為研究對(duì)象21 主應(yīng)力 3 所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力,因而該斜面上的應(yīng)力 , 與3 無關(guān), 只由主應(yīng)力1 , 2 決定 與3 垂直的斜截面上的應(yīng)力可由 1 , 2 作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示123321 該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與3 垂直的所有斜截面上的應(yīng)力 A1O2B 與主應(yīng)力 2 所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力, 可用

17、由1 ,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示C3 與主應(yīng)力所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力 , 可用由2 ,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示 該截面上應(yīng)力 和 對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影內(nèi) abc 截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面abc12123A1O2BC3結(jié)論 三個(gè)應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力 該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力（指代數(shù)值）應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo)1A1O2BC3 最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑 最大切應(yīng)力所在的截面與 2 所在的主平面垂直,并與1和3所在的主平面成45角.例題11 單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓, 并求

18、出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.解: 該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力 因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z 無關(guān), 依據(jù) x截面和y 截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓. 求另外兩個(gè)主應(yīng)力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 由 x , xy 定出 D 點(diǎn)由 y , yx 定出 D 點(diǎn) 以 DD為直徑作應(yīng)力圓 A1,A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個(gè)主應(yīng)力 1 和 3 A1A2DODC13 1 =46MPa 3 =-26MPa 該單元體的三個(gè)主應(yīng)力 1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa 根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓817. 6 位移與應(yīng)變分量 任一方向的應(yīng)變比較7.

19、7 平面應(yīng)變狀態(tài)分析82 主要結(jié)論 主應(yīng)變方向與主應(yīng)力方向相同 主應(yīng)變 e1、e2、e3與主應(yīng)力 s1、s2、s3一一對(duì)應(yīng) 與應(yīng)力圓類似，存在應(yīng)變圓，與應(yīng)力圓有相同的特點(diǎn)，不同點(diǎn)是g 的坐標(biāo)有系數(shù) 1/21. 基本變形時(shí)的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律 7-8 廣義胡克定律一、各向同性材料的廣義胡克定律2、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法=+可看作是三組單向應(yīng)力狀態(tài)和三組純剪切的組合。用疊加原理的條件：(1) 各向同性材料；(2) 小變形；(3) 變形在線彈性范圍內(nèi)。 在 x ,y ,z同時(shí)存在時(shí), x 方向的線應(yīng)變x為 同理,在 x ,y ,z同時(shí)存在時(shí), y ,

20、 z 方向的線應(yīng)變?yōu)?在 xy,yz,zx 三個(gè)面內(nèi)的切應(yīng)變?yōu)樯鲜椒Q為廣義胡克定律 沿x,y,z軸的線應(yīng)變 在xy,yz,zx面上的角應(yīng)變 對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài) （假設(shè)z = 0,xz= 0,yz= 0）xyzxyxyyxxyxyyx3.主應(yīng)力-主應(yīng)變的關(guān)系 二向應(yīng)力狀態(tài)下 設(shè) 3 = 0 已知 1,2,3; 1,2,3為主應(yīng)變從前三式中可解出三個(gè)主應(yīng)力二、各向同性材料的體積應(yīng)變123a1a2a3 構(gòu)件每單位體積的體積變化, 稱為體積應(yīng)變用q表示. 各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變 如圖所示的單元體,三個(gè)邊長(zhǎng)為 dx , dy , dz 變形后的邊長(zhǎng)分別為 變形后單元體的體積為dx(1+,dy

21、(1+2 ,dz(1+3 V1=dx(1+ dy(1+2 dz(1+3 體積應(yīng)變?yōu)?.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變 即在小變形下,切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變.2.三向等值應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變 三個(gè)主應(yīng)力為 單元體的體積應(yīng)變mmm 這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同mmm123dxdydz 單元體的三個(gè)主應(yīng)變?yōu)?如果變形前單元體的三個(gè)棱邊成某種比例,由于三個(gè)棱邊應(yīng)變相同,則變形后的三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度仍保持這種比例. 所以在三向等值應(yīng)力m的作用下,單元體變形后的形狀和變形前的相似,稱這樣的單元體是形狀不變的. 在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變 x ,y ,z 有關(guān),仿照上述推導(dǎo)有

22、在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下, 各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與通過該點(diǎn)的任意三個(gè)相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比, 而與切應(yīng)力無關(guān).例 12 已知: 受扭圓軸，d, E, , 測(cè)得 45 。解：求：外加扭矩的值。在測(cè)點(diǎn)取單元體 純切應(yīng)力狀態(tài)切應(yīng)力為要求出45方向的應(yīng)變，需先求出 45方向的應(yīng)力。45方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向由廣義胡克定律 測(cè)扭矩的方法例13 (書例7.9)已知: 孔: d1=50.01mm柱: d2=50mm, P=300kN, 鋼塊不變形。E=200GPa, =0.3。解：求：圓柱的主應(yīng)力。 柱受到的壓應(yīng)力徑向的應(yīng)變由廣義胡克定律可得圓柱的主應(yīng)力為： 7-9 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度一

23、、應(yīng)變能密度的定義二、應(yīng)變能密度的計(jì)算公式 1.單向應(yīng)力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為 物體在單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能. 將廣義胡克定律代入上式, 經(jīng)整理得 用vd 表示與單元體形狀改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度,稱為畸變能密度 用vV 表示單元體體積改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度,稱為體積改變能密度2.三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí),單元體的應(yīng)變能密度為應(yīng)變能密度v等于兩部分之和(a)1 2 3(b)m m m=(1+ 2+ 3)/3代之以m 圖（a）所示單元體的三個(gè)主應(yīng)力不相等,因而,變形后既發(fā)生體積改變也發(fā)生形狀改變. 圖（b）所示單元體的三個(gè)主應(yīng)力相等,因而,變形后的形狀與原來的形狀相似,即只發(fā)生體

24、積改變而無形狀改變.圖 b 所示單元體的體積改變比能密度a單元體的比能為a所示單元體的體積改變比能 空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的 畸變能密度(a)1 2 3例 14 (書例7.10)已知: 純剪切應(yīng)力狀態(tài)。解：求：導(dǎo)出E, G, 之間的關(guān)系。第3章已求出純剪切時(shí) 用本節(jié)公式求純剪時(shí)的應(yīng)變能純剪切時(shí)（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）桿件基本變形下的強(qiáng)度條件7-10 四種常用強(qiáng)度理論滿足是否強(qiáng)度就沒有問題了？ （2）材料的許用應(yīng)力,是通過拉（壓）試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)而得,即根據(jù)相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果建立

25、的強(qiáng)度條件. 上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)（1）危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài); 基本觀點(diǎn) 構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí),不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜,其破壞形式總不外乎幾種類型,而同一類型的破壞則可能是某一個(gè)共同因素所引起的. 根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的一些現(xiàn)象與形式 ,進(jìn)行分析,提出破壞原因的假說.在這些假說的基礎(chǔ)上,可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果 , 來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件.強(qiáng)度理論的概念引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式 (1) 脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直

26、于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論 (2) 塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力 極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得 無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)力達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞拉應(yīng)力數(shù)值。 斷裂條件強(qiáng)度條件最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)2. 最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 無論材料處于什么

27、應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變 極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）斷裂條件即 無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。3. 最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論） 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力 極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服條件強(qiáng)度條件最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。局限性： 2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1、未考慮 的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論） 無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。4. 形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論） 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能 形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服條件強(qiáng)度條件形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）實(shí)驗(yàn)表明：