人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《角的平分線的性質(zhì)》例題與講解

1、12.3角的均分線的性質(zhì)1角的均分線的性質(zhì)內(nèi)容角的均分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等書寫格式以以下圖，點(diǎn)P在AOB的角均分線上，PDOA，PEOB，PDPE.談重點(diǎn)角均分線的性質(zhì)的理解和應(yīng)用(1)使用角的均分線的性質(zhì)有兩個(gè)條件：點(diǎn)在角的均分線上；過(guò)這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段結(jié)論是：這點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等角的均分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個(gè)三角形全等若是已知一個(gè)點(diǎn)在角的均分線上，常作出該點(diǎn)到角兩邊的垂線段，運(yùn)用性質(zhì)獲取兩線段相等【例1】如圖，在ABC中，C90，ABC的均分線BD交AC于點(diǎn)D.若CD2cm，則點(diǎn)D到直線AB的距離是_cm.解析：因?yàn)辄c(diǎn)D在

2、ABC的角均分線上，因此點(diǎn)離，即點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長(zhǎng)答案：22角的均分線的判斷D到直線AB的距離等于點(diǎn)D到直線BC的距內(nèi)容角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的均分線上書寫格式以以下圖，PDOA，PEOB，PDPE，點(diǎn)P在AOB的角均分線上作用運(yùn)用角的均分線的判斷，能夠證明兩個(gè)角相等和一條射線是角的均分線警誤區(qū)角的均分線的性質(zhì)和判斷適用的條件在運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)和判準(zhǔn)時(shí)，常常錯(cuò)誤地將一線段看作“距離”，主要原因是不能夠正確理解角均分線的性質(zhì)和判斷，因此在運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)和判準(zhǔn)時(shí)，必然要注意“距離”必定有垂直的條件【例2】以以下圖，BECF，BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，BF

3、和CE交于點(diǎn)D，求證：AD均分BAC.證明：BFAC，ABCE，DEBDFC90.在BDE和CDF中，DEBDFC，BDECDF，BECF，BDECDF(AAS)DEDF.又BFAC，ABCE，AD均分BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的均分線上)3運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)解決實(shí)責(zé)問(wèn)題運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的均分線以及角均分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離在運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)解決實(shí)責(zé)問(wèn)題時(shí)，題目中常常出現(xiàn)求到某個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的地址，只要作出角的均分線即可運(yùn)用角均分線的性質(zhì)解決實(shí)責(zé)問(wèn)題時(shí)，必然要把實(shí)責(zé)問(wèn)題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，而且要求的點(diǎn)是到兩線的距離相等，常常確

4、定兩線夾角的均分線上的點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，這是在解決實(shí)責(zé)問(wèn)題中常用的方法4運(yùn)用角的均分線的判斷解決實(shí)責(zé)問(wèn)題在實(shí)責(zé)問(wèn)題中，若是出現(xiàn)了某個(gè)地址到某些線的距離相等，常先把實(shí)責(zé)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的均分線)爾后依照已知某點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的均分線的判斷獲取角的均分線來(lái)解決問(wèn)題解技巧巧用角的均分線的性質(zhì)和判斷解決問(wèn)題能依照已知條件聯(lián)想到角的均分線的性質(zhì)或判斷是解決問(wèn)題的重點(diǎn)找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)就是已知條件中有點(diǎn)到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點(diǎn)5綜合運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)和判斷解決實(shí)責(zé)問(wèn)題角的均分線的性質(zhì)和判斷的關(guān)系以下：對(duì)于角的均分線的

5、性質(zhì)和判斷，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時(shí)不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依照，判斷是證明兩角相等的依照析規(guī)律構(gòu)造角的均分線的模型證明線段相等當(dāng)有角均分線時(shí)，常過(guò)角均分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，依照角均分線的性質(zhì)得線段相等同樣，欲證明某射線為角均分線時(shí)，只要過(guò)其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可【例3】如圖，某考古隊(duì)為進(jìn)行研究，搜尋一座古城原址依照資料記錄，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m依照這些資料，考古隊(duì)很快找到了這座古城的原址你能運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)在圖中合理地標(biāo)出古城原址的地址嗎？請(qǐng)你試一試(比率尺為

6、1100000)解：如圖作法：(1)以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交兩河岸于，兩點(diǎn)，分別以，B為圓ABA1心，以大于2AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，過(guò)C，O作射線CO.(2)按比率尺計(jì)算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長(zhǎng)為半徑畫弧交CO于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求【例4】以以下圖，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過(guò)街天橋AB的距離相等的點(diǎn)P處此時(shí)，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請(qǐng)問(wèn)民警在凝望可疑分子從A處走到B處時(shí)，他的視線轉(zhuǎn)過(guò)了多大角度？解：連接PA，PB.點(diǎn)P到BE，AF，AB的距離相等，11PA，PB分別是FAB，EBA的角均分線，即PBA2

7、EBA，PAB2FAB.BEAF，EBAFAB180.1PBAPAB2(EBAFAB)90.APB180(PBAPAB)1809090，即民警的視線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為90.【例5】如圖，AP，CP分別是ABC的外角MAC與NCA的均分線，它們訂交于點(diǎn)P，PDBM于點(diǎn)D，PFBN于點(diǎn)F，求證：BP為MBN的均分線解析：要證BP為的均分線，只要證，而，為外角均分線，故可過(guò)點(diǎn)PMBNPDPFAPCP作PEAC于點(diǎn)E，依照角均分線的性質(zhì)有PDPE，PFPE，因此PFPD.因此BP為MBN的均分線證明：過(guò)點(diǎn)P作PEAC于點(diǎn)E.AP，CP分別是MAC與NCA的均分線，PDBM于點(diǎn)D，PFBN于點(diǎn)F，PDPE，P

8、FPE(角均分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)PDPF.又PDBM于點(diǎn)D，PFBN于點(diǎn)F，點(diǎn)P在MBN的均分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的均分線上)BP為MBN的均分線6運(yùn)用角的均分線的性質(zhì)和判斷解決研究型問(wèn)題在實(shí)責(zé)問(wèn)題中，確定地址(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫(kù)等)的問(wèn)題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來(lái)解決特別是涉及作圖研究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的均分線上”的應(yīng)用是搜尋角的均分線的一種比較簡(jiǎn)單的方法三角形有三條角均分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，而且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角均分線的交點(diǎn)，第三條角均分線必然過(guò)此交點(diǎn)三角形兩個(gè)外角的均分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線距離相等4【例6】以以下圖所示，三條公路l1，l商場(chǎng)，要求這個(gè)商場(chǎng)到三條公路的距離相等，2，l3兩兩訂交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來(lái)嗎？解：三角形的三條角均分線的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離相等；ACB，ABC的外角平分線交于一點(diǎn)，利用角的均分線的性質(zhì)和判判定理，能夠獲取此點(diǎn)也在CAB的均分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有角均分線的交點(diǎn)，因此滿足條件的點(diǎn)共有BAC，BCA的外角均分線的