勾股定理與圖形變換

1、勾股定理與圖形變換勾股定理與圖形變換13/13勾股定理與圖形變換勾股定理專題（勾股定理與圖形變換）例1、（2002?泰州）如右圖，折疊矩形的一邊AD，點D落在BC邊上點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC的長是3cm考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)專題：數(shù)形結(jié)合解析：利用勾股定理易得BF的長，也就求得了CF的長，進而依照CEF是直角三角形利用勾股定理可得CE的長解答：解：由折疊可得AD=AF=10cm，DE=EF，又AB=8cm，在RtABF中，依照勾股定理得：BF=22AF-AB=6（cm），F(xiàn)C=BC-BF=10-6=4（cm），CE2+CF2=EF2，CE2+4

2、2=（8-CE）2，解得CE=3cm，故答案為3議論：觀察折疊問題；利用勾股定理求解是解決此題的基本思路；求得FC的長是解決此題的打破點練習(xí)：在RtABc中，C=90度，AC=6，BC=8，D，E分別為斜邊AB和直角邊CB上的點，把ABC沿著直線DE折疊，極點B的對應(yīng)點為F如圖，若是點F與A重合，求CE的長如圖，若是F點落在直角邊AC的中點上，求CE的長AA(F)DFDBCBCEE例2：以下列圖：是一段樓梯，高BC是3m，斜邊AC是5m，若是在樓梯上鋪地毯，那么最少需要地毯（）A5mB6mC7mD8m考點：勾股定理解析：先依照直角三角形的性質(zhì)求出AB的長，再依照樓梯高為BC的高=3m，樓梯的寬

3、的和即為AB的長，再把AB、BC的長相加即可AB=22AC-BC=52-32=4m，若是在樓梯上鋪地毯，那么最少需要地毯為AB+BC=7米應(yīng)選C議論：此題觀察的是勾股定理，解答此題的重點是找出樓梯的高和寬與直角三角形兩直角邊的等量關(guān)系練習(xí)1、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食品請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？考點：勾股定理的應(yīng)用解析：此類題目只需要將其張開即可直觀的得出解題思路將臺階張開獲取的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，即是矩形的對

4、角線，利用勾股定理即可解出答案解答：解：將臺階張開，以以下列圖，因為AC=33+13=12，BC=5，因此AB2=AC2+BC2=169，因此AB=13（cm），因此螞蟻爬行的最短線路為13cm答：螞蟻爬行的最短線路為13cm2、如圖，在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為7米考點：勾股定理的應(yīng)用；平移的性質(zhì)專題：應(yīng)用題解析：當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，依照勾股定理求得水平寬度，爾后求得地毯的長度即可解答：解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度=52-32=4，地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度最少是3+4=7米故

5、答案為7議論：此題觀察了勾股定理的知識，與實質(zhì)生活相聯(lián)系，加深了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性議論：此題觀察的是利用勾股定理解直角三角形和圖形的張開的問題例3、有一個長為12cm，寬4cm，高3cm的長方形鐵盒，在其內(nèi)部要放一根筆直的鐵絲，則鐵絲最長是13cm考點：勾股定理的應(yīng)用解析：此題依照題目中所給的信息，可以構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可解答：解：鐵絲的長為122+42+32=144+16+9=13cm議論：此題觀察正確運用勾股定理擅長觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的重點練習(xí)：如圖：一個長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm的長方體盒子能容下的最長木棒長為（）A11cmB12cmC1

6、3cmD14cm考點：勾股定理的應(yīng)用解析：第一利用勾股定理計算出BC的長，再利用勾股定理計算出AB的長即可解答：解：側(cè)面對角線BC2=32+42=52，CB=5m，AC=12m，AB=122+52=13（m），空木箱能放的最大長度為13m，應(yīng)選：C議論：此題主要觀察了勾股定理的應(yīng)用，重點是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和必然等于斜邊長的平方4、已知A、B兩個農(nóng)村的坐標分別為（2，2），（7，4），一輛汽車（看作點P）在x軸上行駛試確定以下情況下汽車（點P）的位置：1）求直線AB的解析式，且確定汽車行駛到什么點時到A、B兩村距離之差最大？2）汽車行駛到什么點時，到A、

7、B兩村距離相等？考點：一次函數(shù)綜合題；兩點間的距離公式專題：應(yīng)用題解析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，當汽車行駛到直線AB上時，到A，B兩村的距離之差最大，即可求得點的坐標；（2）此題即為求線段AB的中垂線與x軸的交點依照兩點之間的距離公式即可求解解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b依照題意得：7k+b42k+b2，解得：k25b65，則直線AB的解析式是y=25x+65在解析式中，令y=0，解得：x=-3即當汽車執(zhí)行到（-3，0）時，到A、B兩村距離之差最大2）設(shè)汽車行駛到（x，0）點時，到A、B兩村距離相等依照題意得：（7-x）2+16=（x-2）2+4解得：x

8、=5.7故所求點的坐標是（5.7，0）議論：此題主要觀察了兩點之間的距離公式，正確理解所求的點滿足的條件是解決此題的關(guān)例4、如圖，在長方體上有一只螞蟻從項點A出發(fā)，要爬行到極點B去找食品，一只長方體的長、寬、高分別為4、1、2，若是螞蟻走的是最短路徑，你能畫出螞蟻走的路線嗎？考點：平面張開-最短路徑問題；勾股定理專題：計算題解析：分為兩種情況：如圖1依照勾股定理求出AB長，如圖2依照勾股定理求出AB長，得出圖1時最短，畫出即可解答：解：線段AB的長就是螞蟻走的最短距離，分為兩種情況：如圖1：AC=4，BC=2+1=3，C=90，由勾股定理得：AB=5；如圖2：AC=4+1=5，BC=2，C=9

9、0，在ABC中，由勾股定理得：AB=295，沿圖1路線走時最短，即能畫出螞蟻走的最短路線：如圖從A到C再到B議論：此題觀察了勾股定理，最短路線問題的應(yīng)用，重點是能求出吻合條件的最短路線的長，題目比較好，但是一道比較簡單出錯的題目練習(xí)1、如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（）A13cmB12cmC10cmD8cm考點：平面張開-最短路徑問題專題：老例題型解析：要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體張開，爾后利用兩點之間線段最短解答解答：解：以以下列圖所示：長方體的底面邊長分別為2cm

10、和4cm，高為5cmPA=4+2+4+2=12（cm），QA=5cm，PQ=PA2+AQ2=13cm應(yīng)選A議論：此題主要觀察兩點之間線段最短，以及如何把立體圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形，難度一般2、以下列圖，圓柱形玻璃容器的高為18cm，底面周長為24cm，在外側(cè)距下底1cm的點A處有一小螞蟻，它在與自己相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距張口1cm的點B處發(fā)現(xiàn)一點點食品碎屑請問：螞蟻爬到食品處的近來路線是多長？考點：平面張開-最短路徑問題解析：第一畫出圓柱的側(cè)面張開圖，進而獲取AC=12cm，BC=18-2=16cm，再利用勾股定理計算出AB長即可解答：解：將圓柱的側(cè)面張開，小螞蟻到達目的地的近來距離為線段A

11、B的長由勾股定理，AB2=AC2+BC2=122+（18-1-1）2=400，AB=20cm議論：此題主要觀察了平面張開-最短路徑問題，先依照題意把立體圖形張開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑一般情況是兩點之間，線段最短在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題3（2011?廣安）如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=23BC一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（）A(4+C365D7cmB5cmcm)cm考點：平面張開-最短路徑問題解析：第一畫出圓柱的側(cè)面張開圖，依照高BC=6cm，PC=23BC，求出PC=236=

12、4cm，在RtACP中，依照勾股定理求出AP的長解答：解：側(cè)面張開圖以下列圖，圓柱的底面周長為6cm，AC=3cm，PC=23BC，PC=236=4cm，在RtACP中，222，AP=AC+CPAP=32+42=5應(yīng)選B4、華羅庚爺爺說：數(shù)學(xué)是我國人民所擅長的學(xué)科請同學(xué)們求解九章算術(shù)中的一個古代問題：“今有木長二丈，圍之三尺，葛生其下，纏木七周，上與木齊問葛長幾何？”白話譯文：如圖，有圓柱形木棍直立地面，高20尺，圓柱底面周長3尺葛藤生于圓柱底部A點，等距離圍繞圓柱七周，恰好子長到圓柱上底面的B點問葛藤的長度是多少尺？考點：平面張開-最短路徑問題；勾股定理的應(yīng)用解析：這種立體圖形求最短路徑問題

13、，可以張開成為平面內(nèi)的問題解決，張開后可轉(zhuǎn)變以下列圖，因此是個直角三角形求斜邊的問題，依照勾股定理可求出解答：解：如圖，一條直角邊（即木棍的高）長20尺，另一條直角邊長73=21（尺），因此葛藤長202+212=29（尺）答：葛藤長29尺議論：此題觀察了平面張開最短路徑問題，重點是把立體圖形展成平面圖形，此題是展成平面圖形后為直角三：此題主要觀察了平面張開圖，以及勾股定理的應(yīng)用，做題的重點是畫出圓柱的側(cè)面張開圖例5、如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的花銷為每千米3萬，請

14、你在河流CD上選擇水廠的地址M，使鋪設(shè)水管的花銷最節(jié)約，并求出總花銷是多少？考點：軸對稱-最短路線問題專題：計算題；作圖題解析：此題的重點是確定點M的地址，需要第一作點A的對稱點A，連接點B和點A，交l于點M，M即所求作的點依照軸對稱的性質(zhì)，知：MA+MB=AB依照勾股定理即可求解解答：解：作A關(guān)于CD的對稱點A，連接AB與CD，交點為M，點M即為所求作的點則可得：DK=AC=AC=10千米，BK=BD+DK=40千米，AM+BM=AB=302+402=50千米，總花銷為503=150萬元議論：此類題的重點在于可以確定點M的地址，再運用勾股定理即可求解練習(xí)：如圖，A，B是筆直公路l同側(cè)的兩個農(nóng)

15、村，且兩個農(nóng)村到公路的距離分別是300m和500m，兩農(nóng)村之間的距離為d（已知d2=400000m2），現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小，問最小值是多少？考點：軸對稱-最短路線問題；勾股定理的應(yīng)用解析：作點B關(guān)于公路l的對稱點B，連接AB交公路于點C，則點C即是所求的?？空镜牡刂?，利用勾股定理求出AB即可得出兩村到停靠站的距離之和解答：解：作點B關(guān)于公路l的對稱點B，連接AB交公路于點C，此時滿足?？空镜絻纱逯途嚯x最小，此時的距離之和=CA+CB=CA+CB=AB作ADBB于點D，則CB+CA=CB+CA=AB，由題意得，AB2=d2=400000m2，DB=BE-D

16、E=BE-AF=200m，DB=DE+EB=800m，在RTADB中，AD2=AB2-BD2=400000-40000=360000，在RTADB中，AB=，22AD+DB=1000米答：?？空窘ㄔ邳cC出使得兩村到?？空镜木嚯x之和最小，最小值為1000米議論：此題觀察了利用軸對稱搜尋最短路徑的知識，作出點B關(guān)于l的對稱點B，爾后利用兩點之間線段最短的知識即可得出答案，別的要注意解直角三角形的應(yīng)用2013?東營）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正幸好容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離

17、為2、（2013?東營）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正幸好容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為m（容器厚度忽略不計）類題：如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1.6m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正幸好容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為。2513m（容器厚度忽略不計）考點：平面張開-最短路徑問題解析：將容器側(cè)面張開，建立A關(guān)于EC的對稱點A，依照兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求解答：解：如圖：高為1.2m，底面周長為1.6m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正幸好容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，AD=0.8m，BD=1.2m，將容器側(cè)面張開，作A關(guān)于EC的對稱點A，連接AB交EC于F，則AB即為最短距離，AB=22AD+BD=082+122=2513（m）故答案為：2513議論：此題觀察了平面張開最短路徑問題，將圖形張開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理