2022屆高中數(shù)學微專題02充分條件與必要條件練習含解析

1、PAGE 10 -微專題02 充分條件與必要條件一、基礎知識1、定義：（1）對于兩個條件，如果命題“若則”是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件2、對于兩個條件而言，往往以其中一個條件為主角，考慮另一個條件與它的關系，這種關系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個條件之間可能的充分必要關系：（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價（4）推不出，

2、且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個條件的充分必要關系（1）通過命題手段，將兩個條件用“若，則”組成命題，通過判斷命題的真假來判斷出條件能否相互推出，進而確定充分必要關系。例如，構造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性的判斷關系 充分：可從日常用語中的“充分”來理解，比如“小明對明天的考試做了充分的準備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由就可以得到結論，而不需要再添加任何說明與補充。以上題為

3、例，對于條件，不需再做任何說明或添加任何條件，就可以得到所以可以說對是“充分的”，而反觀對，由，要想得到，還要補充一個前提：不能取，那既然還要補充，則說明是“不充分的” 必要：也可從日常用語中的“必要”來理解，比如“心臟是人的一個必要器官”，何謂“必要”？沒有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果不成立，那么必然不為1，但是僅靠想得到也是遠遠不夠的，還需要更多的補充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運用集合作為工具 先看一個問題：已知 ,那么條件“”是“”的什么條件？ 由可得到：，且推不出，所以

4、“”是“”充分不必要條件。通過這個問題可以看出，如果兩個集合存在包含關系，那么其對應條件之間也存在特定的充分必要關系。在求解時可以將滿足條件的元素構成對應集合，判斷出兩個集合間的包含關系，進而就可確定條件間的關系了。相關結論如下： ：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件 ：是的充分條件 ：是的充要條件 此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時，不管是判斷充分必要關系還是利用關系解參數(shù)范圍，都可將問題轉化為集合的包含問題，進而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為所以，進而判斷出是的充分不必要條件5、關于“”的充分必要關系：可從命題的角度進行判斷。例如：是的充分不

5、必要條件，則命題“若，則”為真命題，根據(jù)四類命題的真假關系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（ ）A. 充要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對應集合。，解得：，即；或，即。所以，進而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（ ）A. 充要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：本題若覺得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個條件入手推出其等價條件，再進行判斷，比如“”等價于，所以只需判斷與的關系即可。根據(jù)的

6、單調性可得：如果，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價條件（充要條件），再進行判斷即可（2）在推中，因為是條件，表達式成立要求，但是在推中，是條件，且對取值沒有特殊要求，所以，那么作為結論的就不一定有意義了。在涉及到變量取值時要首先分清誰是條件，誰是結論。作為條件的一方默認式子有意義，所以會對變量取值有一定的影響。例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值范圍是_思路：設，因為是的充分不必要條件，所以，利用數(shù)軸可而判斷出 答案： 例4：下面四個條件中，使成立的

7、充分而不必要的條件是（ ）A. B. C. D. 思路：求的充分不必要條件，則這個條件能夠推出，且不能被推出?？梢钥紤]驗證四個選項。A選項可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以A符合條件。對于B，C兩個選項均不能推出A，所以直接否定。而D選項雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學高二期中考試）設集合，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：先解出兩個解集：，的解集與的取值有關：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過數(shù)軸觀察區(qū)間可得的取值為多個（比如）

8、，所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對于函數(shù)，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：如果是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，則中位于軸下方的部分沿軸對稱翻上來，恰好圖像關于軸對稱，但的圖象關于軸對稱未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路一：可以考慮利用特殊值來進行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無法得到右邊

9、。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運用集合的思想，將視為一個點的坐標，則條件所對應的集合為，作出兩個集合在坐標系中的區(qū)域，觀察兩個區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設條件：實數(shù)滿足；條件：實數(shù)滿足且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_思路：本題如果先將，寫出，再利用條件關系運算，盡管可行，但，容易書寫錯誤。所以優(yōu)先考慮使用原條件?！笆堑谋匾怀浞謼l件”等價于“是的必要不充分條件”，而為兩個不等式，所以考慮求出解集再利用集合關系求解。解：設，可解得：， 設可解得：， 是的必要不充分條件 是的必要不充分條件 答案：

10、例9：數(shù)列滿足，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：當時，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果成等差數(shù)列，則 成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經(jīng)檢驗，時，利用數(shù)學歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案: A例10：設，則是的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：因為，所以。故由可得，即，對于能否推出，可

11、考慮尋找各自等價條件：，通過數(shù)形結合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設為向量，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增

12、數(shù)列”的( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 6、（2015，福建）“對任意的，”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽一模，5）在中，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件8、（2014 湖北黃岡月考，4）已知條件，條件：直線與圓相切，則是的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件

13、C充要條件 D既不充分又不必要條件9、(2014陜西五校二模，1）命題且滿足.命題且滿足.則是的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件10、（2015北京理科）設是兩個不同的平面，是直線且則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對任意”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件習題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來看，滿足條件的取值范圍是或，所以可知“”是“”的必要不充分條件2、答案：C解析：的夾角為，從而等價于3、答案：C解析：由不等式性質可知：，則即，反之若，則即4、答案：D解析：若的項均為負項，則“”，“為遞增數(shù)列”之間無法相互推出，所以兩條件既不充分也不必要5、答案：B解析：，因為，由數(shù)軸可得：即可6、答案：B解析：左側條件中恒成立不等式可化為，設，可知，所以若為減函數(shù)，則一定有成立?？紤]，由可得：，故時，成立，所以為減函數(shù)， 成立。所以使不等式恒成立的的范圍包含，而，故“對任意的，”是“”的必要不充分條件7、答案：B解析：由正弦定理可得：，所以或，均滿足題意，由兩條