2022屆高中數(shù)學(xué)微專(zhuān)題02充分條件與必要條件練習(xí)含解析

1、PAGE 10 -微專(zhuān)題02 充分條件與必要條件一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：（1）對(duì)于兩個(gè)條件，如果命題“若則”是真命題，則稱(chēng)條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱(chēng)條件是條件的充分條件；稱(chēng)條件是條件的必要條件2、對(duì)于兩個(gè)條件而言，往往以其中一個(gè)條件為主角，考慮另一個(gè)條件與它的關(guān)系，這種關(guān)系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時(shí)既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個(gè)條件之間可能的充分必要關(guān)系：（1）能推出，但推不出，則稱(chēng)是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱(chēng)是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱(chēng)是的充要條件，也稱(chēng)等價(jià)（4）推不出，

2、且推不出，則稱(chēng)是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個(gè)條件的充分必要關(guān)系（1）通過(guò)命題手段，將兩個(gè)條件用“若，則”組成命題，通過(guò)判斷命題的真假來(lái)判斷出條件能否相互推出，進(jìn)而確定充分必要關(guān)系。例如，構(gòu)造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語(yǔ)的含義并定性的判斷關(guān)系 充分：可從日常用語(yǔ)中的“充分”來(lái)理解，比如“小明對(duì)明天的考試做了充分的準(zhǔn)備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類(lèi)似的含義，是指僅由就可以得到結(jié)論，而不需要再添加任何說(shuō)明與補(bǔ)充。以上題為

3、例，對(duì)于條件，不需再做任何說(shuō)明或添加任何條件，就可以得到所以可以說(shuō)對(duì)是“充分的”，而反觀對(duì)，由，要想得到，還要補(bǔ)充一個(gè)前提：不能取，那既然還要補(bǔ)充，則說(shuō)明是“不充分的” 必要：也可從日常用語(yǔ)中的“必要”來(lái)理解，比如“心臟是人的一個(gè)必要器官”，何謂“必要”？沒(méi)有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒(méi)有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒(méi)它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果不成立，那么必然不為1，但是僅靠想得到也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要更多的補(bǔ)充條件，所以?xún)H僅是“必要的”（3）運(yùn)用集合作為工具 先看一個(gè)問(wèn)題：已知 ,那么條件“”是“”的什么條件？ 由可得到：，且推不出，所以

4、“”是“”充分不必要條件。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題可以看出，如果兩個(gè)集合存在包含關(guān)系，那么其對(duì)應(yīng)條件之間也存在特定的充分必要關(guān)系。在求解時(shí)可以將滿足條件的元素構(gòu)成對(duì)應(yīng)集合，判斷出兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而就可確定條件間的關(guān)系了。相關(guān)結(jié)論如下： ：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件 ：是的充分條件 ：是的充要條件 此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時(shí)，不管是判斷充分必要關(guān)系還是利用關(guān)系解參數(shù)范圍，都可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的包含問(wèn)題，進(jìn)而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為所以，進(jìn)而判斷出是的充分不必要條件5、關(guān)于“”的充分必要關(guān)系：可從命題的角度進(jìn)行判斷。例如：是的充分不

5、必要條件，則命題“若，則”為真命題，根據(jù)四類(lèi)命題的真假關(guān)系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（ ）A. 充要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對(duì)應(yīng)集合。，解得：，即；或，即。所以，進(jìn)而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（ ）A. 充要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：本題若覺(jué)得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個(gè)條件入手推出其等價(jià)條件，再進(jìn)行判斷，比如“”等價(jià)于，所以只需判斷與的關(guān)系即可。根據(jù)的

6、單調(diào)性可得：如果，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說(shuō)明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說(shuō)：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價(jià)條件（充要條件），再進(jìn)行判斷即可（2）在推中，因?yàn)槭菞l件，表達(dá)式成立要求，但是在推中，是條件，且對(duì)取值沒(méi)有特殊要求，所以，那么作為結(jié)論的就不一定有意義了。在涉及到變量取值時(shí)要首先分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論。作為條件的一方默認(rèn)式子有意義，所以會(huì)對(duì)變量取值有一定的影響。例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值范圍是_思路：設(shè)，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，利用數(shù)軸可而判斷出 答案： 例4：下面四個(gè)條件中，使成立的

7、充分而不必要的條件是（ ）A. B. C. D. 思路：求的充分不必要條件，則這個(gè)條件能夠推出，且不能被推出。可以考慮驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)。A選項(xiàng)可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以A符合條件。對(duì)于B，C兩個(gè)選項(xiàng)均不能推出A，所以直接否定。而D選項(xiàng)雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學(xué)高二期中考試）設(shè)集合，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：先解出兩個(gè)解集：，的解集與的取值有關(guān)：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過(guò)數(shù)軸觀察區(qū)間可得的取值為多個(gè)（比如）

8、，所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對(duì)于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：如果是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則中位于軸下方的部分沿軸對(duì)稱(chēng)翻上來(lái)，恰好圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，但的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路一：可以考慮利用特殊值來(lái)進(jìn)行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無(wú)法得到右邊

9、。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運(yùn)用集合的思想，將視為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則條件所對(duì)應(yīng)的集合為，作出兩個(gè)集合在坐標(biāo)系中的區(qū)域，觀察兩個(gè)區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設(shè)條件：實(shí)數(shù)滿足；條件：實(shí)數(shù)滿足且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_思路：本題如果先將，寫(xiě)出，再利用條件關(guān)系運(yùn)算，盡管可行，但，容易書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤。所以?xún)?yōu)先考慮使用原條件?！笆堑谋匾怀浞謼l件”等價(jià)于“是的必要不充分條件”，而為兩個(gè)不等式，所以考慮求出解集再利用集合關(guān)系求解。解：設(shè)，可解得：， 設(shè)可解得：， 是的必要不充分條件 是的必要不充分條件 答案：

10、例9：數(shù)列滿足，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：當(dāng)時(shí)，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果成等差數(shù)列，則 成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無(wú)法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案: A例10：設(shè)，則是的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件思路：因?yàn)?，所以。故由可得，即，?duì)于能否推出，可

11、考慮尋找各自等價(jià)條件：，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設(shè)為向量，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增

12、數(shù)列”的( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 6、（2015，福建）“對(duì)任意的，”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽(yáng)一模，5）在中，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件8、（2014 湖北黃岡月考，4）已知條件，條件：直線與圓相切，則是的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件

13、C充要條件 D既不充分又不必要條件9、(2014陜西五校二模，1）命題且滿足.命題且滿足.則是的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件10、（2015北京理科）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是直線且則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對(duì)任意”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件習(xí)題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來(lái)看，滿足條件的取值范圍是或，所以可知“”是“”的必要不充分條件2、答案：C解析：的夾角為，從而等價(jià)于3、答案：C解析：由不等式性質(zhì)可知：，則即，反之若，則即4、答案：D解析：若的項(xiàng)均為負(fù)項(xiàng)，則“”，“為遞增數(shù)列”之間無(wú)法相互推出，所以?xún)蓷l件既不充分也不必要5、答案：B解析：，因?yàn)?，由?shù)軸可得：即可6、答案：B解析：左側(cè)條件中恒成立不等式可化為，設(shè)，可知，所以若為減函數(shù)，則一定有成立?？紤]，由可得：，故時(shí)，成立，所以為減函數(shù)， 成立。所以使不等式恒成立的的范圍包含，而，故“對(duì)任意的，”是“”的必要不充分條件7、答案：B解析：由正弦定理可得：，所以或，均滿足題意，由兩條