2022年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列2-1第1課時等差數(shù)列的通項(xiàng)公式課件人教A版選擇性必修第二冊

1、內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)合作探究 釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用.3.掌握等差數(shù)列的判定方法.4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,提升邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)一、等差數(shù)列的概念【問題思考】1.觀察下面幾組數(shù)列:0,5,10,15,20,25,;9,6,3,0,-3,-6,;2,2,2,2,2,2,.(1)每個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別是幾?提示:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別是5,-3,0.(2)每個數(shù)列中,相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系分別是什么?提示:分別是an+1-an=5,an+1-an=-3,an+

2、1-an=0.(3)這幾個數(shù)列都有什么共同特點(diǎn)?提示:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是同一個常數(shù).2.填空:一般地,如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母 d 表示.符號語言: an+1-an=d (d為常數(shù),nN*).二、等差中項(xiàng)【問題思考】1.如果三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,那么它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?提示:因?yàn)锳-a=b-A,所以a+b=2A.2.填空:(1)由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A= a+b

3、 .3.做一做:方程x2+6x+1=0的兩根的等差中項(xiàng)為()A.1B.6C.-6D.-3解析:設(shè)方程的兩根為x1,x2,則x1+x2=-6,答案:D 三、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【問題思考】1.已知等差數(shù)列1,3,5,7,你能歸納出它的通項(xiàng)公式嗎?怎樣表示?提示:能.an=2n-1.2.在等差數(shù)列an中,能不能用a1與d表示an呢?怎樣表示?提示:能.an-a1=(n-1)d,移項(xiàng)可得an=a1+(n-1)d.3.填空:首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= a1+(n-1)d .4.做一做:已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=4,公差d=-2,則通項(xiàng)公式an=()A.4-2nB.2n-4C.

4、6-2nD.2n-6解析:an=a1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=-2n+6.答案:C四、從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列an【問題思考】1.觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)?提示:等差數(shù)列an的第n項(xiàng)an是一次函數(shù)f(x)=dx+(a1-d)當(dāng)x=n時的函數(shù)值,即an=f(n).2.填空:若數(shù)列an是等差數(shù)列,首項(xiàng)為a1,公差為d,則an=f(n)=a1+(n-1)d =nd+(a1-d).(1)點(diǎn)(n,an)落在直線 y=dx+a1-d 上;(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1,其函數(shù)值增加 d ;(3)若d0,則數(shù)列an是遞增數(shù)列;若d0(n2),所以數(shù)列an是公差為2

5、的遞增等差數(shù)列.故選A.答案:A(2)判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列,并給出證明.an=4-2n;an=n2+n.解:是等差數(shù)列.證明如下:當(dāng)nN*時,an+1-an=4-2(n+1)-(4-2n)=4-2n-2-4+2n=-2(常數(shù)),故an是等差數(shù)列,且公差為-2.不是等差數(shù)列.證明如下:因?yàn)閍1=2,a2=6,a3=12,所以a2-a1a3-a2,所以an不是等差數(shù)列.反思感悟 1.給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式,要判斷是否為等差數(shù)列可以用定義法,也可以直接看通項(xiàng)公式是否為an=kn+b(k,b為常數(shù),nN*)的形式,若符合此形式,則為等差數(shù)列,否則不是.2.定義是判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的重要依據(jù)

6、,要證明一個數(shù)列為等差數(shù)列,可用an+1-an=d(常數(shù))(nN*)或它的等價命題,但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需舉出反例.【變式訓(xùn)練1】 (1)(多選題)下列通項(xiàng)公式所表示的數(shù)列中,是等差數(shù)列的是()A.an=2B.an=8-3nC.an=log37nD.an=n2-3n解析:由等差數(shù)列的定義可知,A項(xiàng)中的數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列;B項(xiàng)中的數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列;C項(xiàng)中的數(shù)列是公差為log37的等差數(shù)列;D項(xiàng)中的數(shù)列,由通項(xiàng)公式知,a1=-2,a2=-2,a3=0,而a2-a1a3-a2,所以該數(shù)列不是等差數(shù)列.答案:ABC(2)判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列.5,8,11,3n+2

7、,;1,1,1,1,;-3,-2,-1,1,2,3,4,.解:根據(jù)等差數(shù)列的定義可知,該數(shù)列是首項(xiàng)為5,公差為3的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列的定義可知,該數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為0的等差數(shù)列.由于1-(-1)2-1,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.探究二等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例2】 (1)已知an為等差數(shù)列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,則a5=()A.1B.2C.3D.6解析:an為等差數(shù)列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,設(shè)其公差為d,a5=a1+4d=-10+12=2.答案:B(2)在等差數(shù)列an中,已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d. 故這個等差數(shù)列的首項(xiàng)是-2,公差是3.反思

8、感悟 1.在等差數(shù)列an中,若已知am=a,an=b,一般列出關(guān)于a1,d的方程組 求出a1,d,從而確定該數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中有四個量a1,d,n,an,求解過程中反映了“知三求一”的方程思想.在本例(2)中將條件改為“a1=2,a5=10,an=32”,求n的值.解:根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a5=a1+4d,得10=2+4d,解得d=2.故an=a1+(n-1)d,代入解得n=16.【變式訓(xùn)練2】 在等差數(shù)列an中,a5=9,且2a3=a2+6,則a1=()A.-3B.-2C.0D.1解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,故a1=-3.答案:A探究三等差中項(xiàng)及其應(yīng)

9、用【例3】 (1)已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次是x-1,x+1,2x+3,則其通項(xiàng)公式為()A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1解析:x-1,x+1,2x+3是等差數(shù)列的前三項(xiàng),2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,d=2,an=-1+2(n-1)=2n-3,故選B.答案:B(2)已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的,且它們的和為18,平方和為116,求這三個數(shù).解法一:設(shè)這三個數(shù)為a,b,c,且abc,故這三個數(shù)是4,6,8.解法二:設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d,由得a=6.代入,得d=2.因?yàn)樵摂?shù)列是遞增的,所

10、以d=-2舍去.故這三個數(shù)為4,6,8.反思感悟 等差中項(xiàng)的應(yīng)用策略(1)求兩個數(shù)x,y的等差中項(xiàng)A,即根據(jù)等差中項(xiàng)的定義,得A= .(2)當(dāng)三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列,且和為定值時,可設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d列方程組求解,也可采用對稱的設(shè)法,三個數(shù)時,設(shè)a-d,a,a+d;四個數(shù)時,設(shè)a-3d,a-d,a+d,a+3d.利用和為定值先求出其中某個未知量,再進(jìn)一步解題.(2)若lg a,lg b,lg c成等差數(shù)列,則 2lg b=lg a+lg c=lg ac,即b2=ac.答案:(1)A(2)B【易錯辨析】 對等差數(shù)列的定義理解不透致錯【典例】 若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=10+lg 2n(nN

11、*),求證:數(shù)列an為等差數(shù)列.錯解:因?yàn)閍n=10+lg 2n=10+nlg 2,所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2,所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,則a2-a1=a3-a2,故數(shù)列an為等差數(shù)列.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:a3-a2=a2-a1=常數(shù),不能滿足等差數(shù)列的定義中“從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)”的要求.正解:因?yàn)閍n=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2

12、)=lg 2(nN*).所以數(shù)列an為等差數(shù)列.防范措施 定義是判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的重要依據(jù),要證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列,即證對任意nN*,都有an+1-an=d (常數(shù)).【變式訓(xùn)練】 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=4n-1,nN*.(1)求log2a2,log2a3;(2)求證:數(shù)列l(wèi)og2an是等差數(shù)列.(1)解:log2a2=log24=2,log2a3=log216=4.(2)證明:log2an=log24n-1=(n-1)log24=2n-2,log2an+1=2(n+1)-2=2n.log2an+1-log2an=2n-(2n-2)=2.又log2a1=log240=0,

13、數(shù)列l(wèi)og2an是首項(xiàng)為0,公差為2的等差數(shù)列.隨堂練習(xí)1.在數(shù)列an中,a1=1,an+1=an+1,則a2 020等于()A.2 019B.2 020C.2 038D.2 040解析:由an+1-an=1,知an為等差數(shù)列且d=1.a1=1,an=a1+(n-1)d=n,a2 020=2 020.答案:B2.在等差數(shù)列an中,a2+a3=1+a4,a5=9,則a8=()A.14B.15C.16D.17解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a2+a3=1+a4,a5=9,2a1+3d=1+a1+3d,a1+4d=9.聯(lián)立解得a1=1,d=2.a8=1+72=15.答案:B3.若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5,則m與n的等差中項(xiàng)是.解析:由m和2n的等差中項(xiàng)為4,則