復(fù)變函數(shù)與積分變換：1-2 平面點集的一般概念

1、1.2 平面點集的一般概念一、平面點集二、區(qū)域三、平面曲線一、平面點集1. 鄰域設(shè) 為復(fù)平面上的一點，定義dz0dz0(1) 稱點集 為 點的 鄰域；(2) 稱點集 為 點的 去心鄰域。內(nèi)點一、平面點集2. 內(nèi)點、外點與邊界點(1)內(nèi)點外點邊界點考慮某平面點集 G 以及某一點 ，(2)有外點(1)(2)有邊界點(1)不一定屬于 G ；在 中，(2)既有又有邊界G 的邊界點的全體稱為 G 的邊界。3. 開集與閉集開集如果 G 的每個點都是它的內(nèi)點，則稱 G 為開集。一、平面點集閉集如果 G 的邊界點全部都屬于 G ，則稱 G 為閉集。4. 有界集與無界集定義若存在 ，使得點集 G 包含在原點的

2、鄰域內(nèi)，則 G 稱為有界集，否則稱為非有界集或無界集。二、區(qū)域1. 區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域平面點集 D 稱為一個區(qū)域，如果它滿足下列兩個條件:(1) D 是一個開集；(2) D是連通的，閉區(qū)域區(qū)域 D 與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域, 記作 D。不連通的一條折線連接起來。即 D 中任何兩點都可以用完全屬于 D連通二、區(qū)域2. 有界區(qū)域與無界區(qū)域(顧名思義)3. 內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域（如何圍出面積最大的區(qū)域）定義一條“簡單閉曲線(?)”把整個復(fù)平面分成兩個區(qū)域，其中有界的一個稱為該簡單閉曲線的內(nèi)部(內(nèi)區(qū)域)，稱為該簡單閉曲線的外部(外區(qū)域)。4. 單連通域與多連通域定義設(shè) D 為區(qū)域，如果 D 內(nèi)的任何一條

3、簡單閉曲線的內(nèi)部仍屬于 D，則 D 稱為單連通域， 多連通域又可具體分為二連域、三連域、 。另一個否則稱為多連通域。A 省(二連域)(三連域)二、區(qū)域4. 單連通域與多連通域A 省(單連域)B 省(單連域)B 省(非區(qū)域)舉例(杜撰)飛地區(qū)域1- 2 + i閉區(qū)域(角形)區(qū)域xyONSzP(z)z規(guī)定: 北極N與一個模為無窮大的假想點對應(yīng)這個假想的點稱為“復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點” 記作.附：無窮遠(yuǎn)點及其鄰域(2)(3) 法則(1)無意義。無意義。 實部虛部是多少?問題 模與輻角是多少? 在復(fù)平面上對應(yīng)到哪一點？ 擴充復(fù)數(shù)域-引進一個“新”的數(shù): M 無窮遠(yuǎn)點的鄰域設(shè)實數(shù) M 0，定義(1) 包括無窮遠(yuǎn)點

4、在內(nèi)且滿足 的所有點的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點的鄰域。(2) 不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)且滿足 的所有點的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域，也可記為三、平面曲線1. 方程式 在直角平面上 在復(fù)平面上 如何相互轉(zhuǎn)換？(比較熟悉)(比較陌生)(1)(2)(建立方程)(理解方程)i- i(1)i- i(2)2i- 2(3)1- 12- 2(4)1- 1(5)三、平面曲線2. 參數(shù)式 在直角平面上 在復(fù)平面上例如考察以原點為圓心、以 R 為半徑的圓周的方程。(2) 在復(fù)平面上(1) 在直角平面上三、平面曲線3. 曲線的分類考慮曲線簡單曲線當(dāng) 時，簡單閉曲線簡單曲線且光滑曲線在區(qū)間 上，和 連續(xù)且簡單、不閉簡單、閉不簡單、閉不簡單、不閉三、平面曲線4. 有向曲線定義設(shè) C 為平面上一條給定的光滑(或分段光滑)曲線，指定 C 的兩個可能方向中的一個作為正向，則 C 為帶有方向的曲線，稱為有向曲線，仍記為 C。代表與 C 的方向相反(即 C 的負(fù)方向)的曲線。如果相應(yīng)地， 則區(qū)域區(qū)域三、平面曲線4. 有向曲線 簡單閉曲線的正向一般約定為：當(dāng)曲線上的點 P 順此方向沿曲線前進時, 區(qū)域邊界曲線的正向一般約定為：