多剛體系統(tǒng)建模

1、附錄：多層隔振系統(tǒng)建模研究劉永明：多層隔振系統(tǒng)多向沖擊響應(yīng)研究，第二章）本章根據(jù)彈性支承剛體系統(tǒng)的空間特點提出了一般形式的多剛體振動系統(tǒng)三維振動模型，指出了系統(tǒng)局部坐標(biāo)描述和總體坐標(biāo)描述之間存在LG變換，并且給出了多層隔 振系統(tǒng)分別在局部坐標(biāo)描述下系統(tǒng)剛度矩陣的LG變換公式和在總體坐標(biāo)描述下系統(tǒng)運 動變量的LG變換公式。2-1 多層隔振系統(tǒng)的力學(xué)模型2-1-1 剛體廣義坐標(biāo)及主慣性坐標(biāo)系在描述彈性支承剛體的運動時，通常選擇剛體的重心直角坐標(biāo)和歐拉角作為廣義坐標(biāo)，當(dāng)微幅振動時，歐拉角屮,0，申可簡化為繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角0 ,0 ,0，用向量來表 123示，即為x二（x ,x ,x ,0 ,0 ,0）

2、T，這樣，當(dāng)參考坐標(biāo)系取剛體重心為原點，坐標(biāo)軸 123123平行于剛體主慣性軸時（參見圖2-1），該坐標(biāo)系稱為主慣性坐標(biāo)系，則該剛體的振動微分方程為圖 2-1 剛體的廣義坐標(biāo)和主慣性坐標(biāo)系圖 2-1 剛體的廣義坐標(biāo)和主慣性坐標(biāo)系Fig.2-1 Generalized coordinates and principal inertial system of a rigmX+ cX+ kx = f(2-1)其中m為質(zhì)量矩陣，c為阻尼矩陣，k為剛度矩陣，f為激振力。剛體的平衡位置為x = 0。2-1-2 系統(tǒng)各元件的動力參數(shù)矩陣表達式彈性支承剛體振動系統(tǒng)質(zhì)量、彈簧和阻尼元件的各動力參數(shù)矩陣分別為：1

3、、質(zhì)量矩陣剛體的質(zhì)量參數(shù)由質(zhì)量矩陣m表達：m = diag(m,m,m,J,J,J)(2-2)為一對角陣，式中m為剛體的質(zhì)量，Ji，J2，J3分別為該剛體繞坐標(biāo)軸Ox1，Ox2,Ox3的 轉(zhuǎn)動慣量；2、彈性元件剛度矩陣剛體支承彈性元件的動力參數(shù)由剛度矩陣表達：k = t rkr Tt ti i i i i i=1其中k = diag(k ,k ,k ,k ,k ,k )(2-4)ixj x, xj 呼嚀 F為第i (i = l,2,，Ns )個彈性支承元件的剛度系數(shù)矩陣，是一個對角陣。Ns為彈性支 承元件的總數(shù)。每一個彈性元件都有三個互相垂直的剛度主軸，這三個剛度主軸構(gòu)成了 彈性元件自身坐標(biāo)系

4、，主軸方向分別為 k ,k ,k ，參見圖2-2。矩陣中的元素x1i x2i x3ik ,k ,k 分別為彈性元件沿其剛度主軸的往復(fù)剛度系數(shù)， k ,k ,k 分別為繞其 x】i x2i xj財丐 0 3i剛度主軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)。圖2-2 彈性元件的剛度主軸和剛度系數(shù)Fig.2-2 Stiffness principal axis and stiffness coefficients of an elas圖2-2 彈性元件的剛度主軸和剛度系數(shù)Fig.2-2 Stiffness principal axis and stiffness coefficients of an elast =i0d

5、t =i0d = cii-bi-ci0aibi-ai0(2-6)(2-5)為第i個彈性元件的平移變換矩陣(從彈性元件自身坐標(biāo)系變換到剛體的主慣性坐標(biāo) 系)，其中為彈性元件安裝點坐標(biāo)矩陣，安裝點坐標(biāo)為(ai,bi,ci)。另外r =為為第i個彈性元件的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其中cosa1icosp1icosy1ir =cosacospcosy(2-8)i2i2i2icosa3icosp3icosy3i為彈性元件角位置矩陣，這里a，卩,a，卩,a ,卩,共9個角為彈性1i 1i 1i 2i 2i 2i 3i 3i 3i元件三根剛度主軸與剛體主慣性坐標(biāo)系坐標(biāo)軸之間的夾角， 參見圖2-3。圖中k ,k ,k分

6、別為標(biāo)號為i的彈簧（與剛體r相聯(lián)接）的剛度主軸，其主軸方向分別為 x1i x2i x3i1， 2， 3。x2x2and axis of princ ipal ine3、阻尼矩陣在考慮剛體彈性支承的粘性阻尼情況下，可將每個支承視為彈性元件與阻尼元件的并聯(lián)組合，這樣，與彈性元件相類似，每個阻尼元件可以有 6個粘性阻尼系數(shù)，其中 3個往復(fù)阻尼系數(shù)， 3個扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)。于是阻尼元件的動力參數(shù)矩陣為：c = st rcrTt ti i i i i i=1其中c = diag(c ,c ,c ,c ,c ,c )(2-10)ixxj xj 呼丐丐為一對角陣，其余符號意義與彈性元件相同。2-1-3 多層隔振

7、系統(tǒng)的力學(xué)模型多層隔振系統(tǒng)一般可簡化為具有彈性支承的、由n個剛體復(fù)合組成的振動系統(tǒng)，這 些剛體之間的關(guān)系可以是串聯(lián)，也可以是并聯(lián)。設(shè)系統(tǒng)具有n-s個需要隔離的機組，s 個中間質(zhì)量(稱為中間基座或浮筏)。該系統(tǒng)的運動微分方程可以在局部相對主慣性坐 標(biāo)系(Ox x x，,O x x x，,O x x x等等，即系統(tǒng)中各剛體相對于基1 11 12 13r r1 r 2 r 3n n1 n2 n3礎(chǔ)的局部坐標(biāo)系，參見圖2 -4 。在本文中若無特殊說明，各坐標(biāo)系均采用左手系)中描 述。圖2-4中 r= 1， 2，,n 為剛體編號， O 為局部坐標(biāo)原點， O x ,O x ,O xr r r1 r r2

8、r r3 為彼此相互垂直的坐標(biāo)軸。選用主慣性坐標(biāo)系即取剛體的重心為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸平行 于剛體的慣性主軸。圖2-4中還設(shè)置了總體坐標(biāo)系0 XXX ，總體坐標(biāo)系固定在基0 r1 r2 r3礎(chǔ)上，可以放在任意位置處?？傮w坐標(biāo)系用來確定各剛體重心的位置和各個減震器安裝 點的位置，此外還用來確定各個沖擊響應(yīng)測量點的位置。這樣，在如此定義的局部坐標(biāo) 系中各剛體的廣義坐標(biāo)向量可以由剛體重心坐標(biāo)x ,x ,x以及歐拉角e ,9 ，屮r1 r2 r3 r1 r2 r3所組成。當(dāng)微幅振動時，歐拉角e ,9，屮 轉(zhuǎn)化為繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角9 ,9 ,9，因此r1 r2 r3 r1 r2 r3在局部坐標(biāo)系中各剛體的廣義坐

9、標(biāo)向量可表示為：x = (x ,x ,x ,9 ,9 ,9)T(2-11)r 1 2 3 1 2 3 r其中r為剛體的編號，r=1,2,n, n是系統(tǒng)中剛體的總個數(shù)，x ,x ,x為剛體r重心在1 2 3三個方向上的線位移，腳標(biāo)1, 2, 3分別代表垂向、縱向和橫向；而9 ,9 ,9為剛體分123別繞坐標(biāo)軸 0 x ,0 x ,0 x 的角位移，腳標(biāo)1, 2, 3分別代表繞垂向軸 0 x 、繞r r1 r r2 r r3r r1縱向軸0 x 和繞橫向軸0 x 的轉(zhuǎn)動。設(shè)基礎(chǔ)(編號為0) 的絕對加速度沖擊激勵為r r2r r3y = (y ,y ,y ,0,0,0)t(2-12)01230于是當(dāng)

10、不計阻尼時(阻尼矩陣以后引入)系統(tǒng)線性運動微分方程組為unit 1rigid bodys+1X(S+1)1,j rigid body s+2 卜 e eunit 2 X(S+2)1(S+1)1OX(S+1)2OS+1evVS+2e(S+2)2(S+2)1(S+1) 2X(S+1)3floating raftrigid body s,eS+2)unit 1rigid bodys+1X(S+1)1,j rigid body s+2 卜 e eunit 2 X(S+2)1(S+1)1OX(S+1)2OS+1evVS+2e(S+2)2(S+2)1(S+1) 2X(S+1)3floating raftr

11、igid body s,eS+2)X (S+2)3(S+1)3ebaserigid bodyX(S+2)2冊Xe4eunit n-s rigid body n食辜X二 11 e舍e12v .JO& xOrX12s 3floating raftrigid body 1y13here the first index is rigid body the second index is direction nuXrI圖2-4 多層隔振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.2-4 Mechanical model of multi-stage isolatm x + k x 一 k xk x = -m y11 1 11

12、1 12 2 1n n 11 0(2-13)m x 一 k x + k xk x = -m y(2-13)22 2 21 1 22 2 2n n 22 0m x 一 k x 一 k x 一+k x =-m ynn n n1 1 n2 2 nn n nn 0其中m = dia(m ,m ,m , J ,J ,J )(2-14)rr r r r r1 r2 r3為一質(zhì)量對角陣，這里m為第r個剛體的質(zhì)量，J ,J ,J分別為該剛體繞坐標(biāo)軸rr1 r2 r3O X ,O X ,O X 回轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量(質(zhì)量慣性矩)，而r r1 r r2 r r3k =rstrkrTtT(2-15)rsi r i r i

13、 i s i si = 1為剛度矩陣，這里N為與剛體r、s相聯(lián)接的彈簧(減震器)個數(shù)，其中rsk = diag(k ,k ,k ,k ,k ,k )(2-16)ix1i x2i x3i e1i e 2i e3i為第r個剛體上第i個彈簧(i為與剛體r、s相聯(lián)接的彈簧標(biāo)號，i=1,2,N )的剛度系數(shù)rs矩陣，它與彈簧安裝點坐標(biāo)無關(guān)，為一對角線矩陣，對角線元素為該方向上的彈簧剛度系數(shù)，即每一彈簧具有三個線性剛叭,碁，碁系數(shù)，三個扭轉(zhuǎn)剛度k護%系數(shù)；而titirir為第r個剛體上第i個彈簧的局部坐標(biāo)平移變換矩陣，其中I為單位矩陣，而0d = c0d = ciri-bi-c0aib-a0r(2-18)

14、為彈簧安裝點局部位置坐標(biāo)矩陣，這里a ,b ,c分別代表第i個彈簧在局部坐標(biāo)系中垂i i i向、縱向和橫向的位置，其本身具有正負(fù)號，取坐標(biāo)軸箭頭方向為正；而rirrirrir00rir(2-19)(2-20)為第r個剛體上第i個彈簧的局部坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其中(2-20)cos a1ircos B1ircos y1irr =ircos a2ircosB2ircos y2ircos a3ircosB3ircos y3ir這里a 1ir卩l(xiāng)irY 1ir，Q 2irP M 2ir，Q3ir，3ir共9個角為彈簧三根剛度主軸與局部坐標(biāo)系坐標(biāo)軸之間的夾角。從式（2-15）（2-20）可以看出，系統(tǒng)的剛

15、度矩陣的表達式與坐標(biāo)系選擇有關(guān)，因 此剛度矩陣的變換是多剛體振動系統(tǒng)力學(xué)建模的重要問題。2-2、局部坐標(biāo)描述和剛度矩陣的LG變換在描述多層隔振系統(tǒng)的運動微分方程時，特別是當(dāng)系統(tǒng)中剛體數(shù)目較多時，為了使 用計算機進行動力學(xué)分析計算，必須將系統(tǒng)的各動力特性參數(shù)統(tǒng)一描述，以便計算機形 成整個系統(tǒng)的動力參數(shù)矩陣。系統(tǒng)的位移、各個動力參數(shù)矩陣作為物理量來說是不會變 的，但其表達形式則與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。根據(jù)實際需要，可以用兩種方法來描述，一種是局部坐標(biāo)描述，另一種是總體坐標(biāo)描述，這兩種描述方法工程上都有應(yīng)用。為此，對應(yīng)于不同的描述方法，需要對系統(tǒng)運動微分方程式(2-13)進行變換。 當(dāng)多剛體振動系統(tǒng)采用

16、局部坐標(biāo)描述時，由于各彈性支承的位置必須用總體坐標(biāo)統(tǒng)一確定，故剛度矩陣一般均在總體坐標(biāo)下寫出，因此對式(2-13)進行變換主要就是對 系統(tǒng)的剛度矩陣進行變換。2-2-1 剛度矩陣的變換設(shè)彈簧i在剛體r上安裝點總體坐標(biāo)為(A ,B ,C ),這里A ,B ,C分別表示彈簧 i i i i i i安裝點在總體坐標(biāo)系中沿X ,X ,X 方向的坐標(biāo)值，剛體r重心總體坐標(biāo)位置為r1 r2 r3rrr(A ,B ,C ),則可定義安裝點總體坐標(biāo)矩陣D ： irrrD =-CD =-Ci0ABi-A0(2-21)剛體重心總體坐標(biāo)矩陣為D :rD =r0CD =r0Cr-Br-Cr0ArBr-Ar0(2-22

17、)1i，a2i的九個夾角，a ，P1i，a2i的九個夾角，a ，P，丫./ ,a ，P，丫 ，a ，P，丫為局部坐標(biāo)系坐標(biāo)軸與總體坐標(biāo)1r 1r 1r 2r 2r 2r 3r 3r 3r系坐標(biāo)軸的九個夾角，這些夾角類似于圖2-3中的情況。詳見下表 表 2-1kki2ki3o xr r1o xr r2o xr r3OXaaaaaa0r11i2i3i1r2r3rOXpppppp0r21i2i3i1r2r3rOXYYYYYY0r31i2i3i1r2r3r現(xiàn)設(shè)T為彈簧i對于總體坐標(biāo)系的平移變換矩陣:TI0TI0T 為局部坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的平移變換矩陣： rTr0_ I(2-24)叫為彈簧i剛度主軸對

18、于總體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣:Ri(2-25)其中costlicofiiicoyliTr0_ I(2-24)叫為彈簧i剛度主軸對于總體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣:Ri(2-25)其中costlicofiiicoylir=comc o sficoyi2i2i2icost3ic o sfi3icoy3i(2-26)R 為局部坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣， rRr(2-27)其中cotlrcosfilrc o sylrr=cotcosfic o syr2rcot3r2r cosfi3r2r c o sy3r(2-28)這樣，式（2-13）中采用局部坐標(biāo)描述的剛度矩陣可以看作經(jīng)過兩次變換：一次是從彈簧i變

19、換到總體坐標(biāo)系，變換矩陣為T R = TR，第二次是從總體坐標(biāo)系反變換到 i ii局部坐標(biāo)系r （或s），變換矩陣為（T R ）-1 = TR -1，經(jīng)此兩次變換后剛度矩陣的 r rr值保持不變，于是k = (T R )-i(T R )k (T R )t(T R )-trsr ri i i i i s si=1TR-i(見TRrik TRT )TR-Ti isi=i=TR-iK TR-tr rs s其中K=級TR k TRt（2-30）rsi i ii=1具有明確的物理意義，即把彈性元件與系統(tǒng)坐標(biāo)系描述無關(guān)的自身動力特性參數(shù)矩陣ki變換到總體坐標(biāo)系，因此K rs稱為系統(tǒng)在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣。

20、由式（2-29），可得系統(tǒng)局部坐標(biāo)系的剛度矩陣與總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣之間的 關(guān)系為k = TR-iK TR-t（2-31）rsr rs s其中TR-T為對剛體s的變換矩陣，其對耦變換矩陣為（TR - t）t = TR-1。srr2-2-2 LG 變換由于在多剛體振動系統(tǒng)的運動描述和坐標(biāo)變換中，變換 TR-T 具有特別重要的意r義，因此稱變換TR-t為“LG變換”（這個變換是由于從局部（Local）坐標(biāo)到總體 r（Global）坐標(biāo)的變換引起的，故如此稱之）。在局部坐標(biāo)描述中，LG變換使得局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣可以變換為總體坐標(biāo)系下 的剛度矩陣，從而可以使用計算機自動生成系統(tǒng)的剛度矩陣，這對于

21、剛體數(shù)目較多的系 統(tǒng)的動力學(xué)分析來說是非常重要的、也是必要的前提條件。不僅在局部坐標(biāo)描述中，而 且在總體坐標(biāo)描述中（下一節(jié)討論）LG變換也是非常重要的概念。2-2-3 局部坐標(biāo)系下系統(tǒng)統(tǒng)一形式的運動方程系統(tǒng)的運動微分方程式（2-13）中的第一式（其余類推）可以表達為m x + TR-iK TR-tx 一 TR-iK TR-tx 一11 1 1 11 1 1 1 12 2 2 （2-32）一 TR-iK TR-tx =-m y1 1n n n 11 0 x = (xT ,xT,xT)T,1 2 n(2-34)y =(y：,：, y：)T(2-34)m = diag(m ,m，,m)11 22 n

22、n=m1100=m1100m2200_ 00mnnK11-K1212-K _1n1nK=TR-111-K-K-K21221n-K-KKn1n2nn其中TR-T =dia(gTR-T, TR-T,12,TR- t)nTR - t(2-35)(2-36)(2-37)為系統(tǒng)的LG變換矩陣。一般情況下，彈性支承（減震器）中存在阻尼?？紤]到工程實 際情況，進一步引入比例阻尼矩陣C：(2-38)C = am + pK(2-38)式中a，卩是比例系數(shù)。比例阻尼的引入并不影響將要對系統(tǒng)進行的模態(tài)分析。則系統(tǒng)在局部坐標(biāo)系下統(tǒng)一形式的運動微分方程為m x + Cx + Kx =-m y（2-39）2-3總體坐標(biāo)描

23、述和運動變量的LG變換在總體坐標(biāo)描述時，系統(tǒng)的運動變量采用總體坐標(biāo)下的廣義坐標(biāo)向量，各動力參數(shù)矩陣采用總體坐標(biāo)下的形式，為此必須將系統(tǒng)運動微分方程式（2-13）變換到總體坐標(biāo)系，故牽涉到的變換不僅是剛度矩陣的變換，而且還有運動變量的變換、質(zhì)量矩陣的變2-3-1 總體坐標(biāo)描述總體坐標(biāo)下剛體r的廣義坐標(biāo)向量Xr與局部坐標(biāo)下的廣義坐標(biāo)向量xr之間的關(guān)系為X廣x+ L（2-40）其中X = （X ,X ,X ,& ,O ,0）T,而L = （A ,B ,C ,a ,卩,y ）T 為t=or r1 r2 r 3 r1 r2 r3r r r r r r r時剛體r在總體坐標(biāo)系中的廣義坐標(biāo)向量。系統(tǒng)的剛度矩

24、陣仍按（2-31）求出。將（2-31）和（2-40）式代入（2-13）式中，對第一式進行變換，其余可類推：m X + TR-iK TR-t（X -L ）-TR-iK TR-t（X11 1 1 11 1 1 1 1 12 2 2-L）TR-iK TR-t（X -L ） = -m y TOC o 1-5 h z 2iinnnnii 0（2-41）用TR】左乘上式，并整理，可得TRm X + K TR-tX -K TR-tXi ii iiiiii222-K TR-tX = K TR-tL -K TR-tL -（2-42）innniiiii222-K TR -tL - TR m yinnni ii 0

25、上式關(guān)于運動變量X的系數(shù)矩陣已不是對稱陣，并且方程右面出現(xiàn)了常數(shù)項。 r2-3-2運動變量的LG變換注意到M = TR m TRt（2-43）rrr rr r就是剛體r在總體坐標(biāo)系下寫出的質(zhì)量矩陣（此時出現(xiàn)了慣性耦合）。如果將TR - TX rr看作微分方程的運動變量，則式（2-42）已變換到了總體坐標(biāo)系，只是微分方程中出現(xiàn)了一個重要的變換：運動變量已不是X，而是關(guān)于X的一個線性變換，艮PLG變換。 rr為此對（2-13）中各式左乘對應(yīng)的TR，并作如下變量代換（LG變換）rZ = TR - TX TOC o 1-5 h z rrr TR - T = T-tR - TrrrL = TR -tLZ rrr將Z視為系統(tǒng)的運動變量，這樣方程(2-13)可以轉(zhuǎn)化為用總體坐標(biāo)Z描述的形rr式。于是可得M Z + K Z - K Z -區(qū)Z=11 1 11 1 12 2