第九周講義1數(shù)列一般概念

1、PAGE PAGE 11課 題第九講：數(shù)列的一般概念教學(xué)目的明確數(shù)列的定義，遞推公式的概念和前n項(xiàng)和的概念教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)列的一般概念一、復(fù)習(xí)回顧思考并回答問(wèn)題： 函數(shù)的定義二、講授新課1、概念引入請(qǐng)同學(xué)們觀察下面的例子，看看它們有什么共同特點(diǎn)：（課本p5）食品罐頭從上到下排列成七層的罐頭數(shù)依次為：3，6，9，12，15，18，21延齡草、野玫瑰、大波斯菊、金盞花、紫宛花、雛菊花的花瓣數(shù)從少到多依次排成一列數(shù)：3，5，8，13，21，34的不足近似值按精確度要求從低到高排成一列數(shù)：1，1.7，1.73，1.732，1.7320,1.73205,-2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪 依次排成

2、一列數(shù)：-2，4，-8，16，無(wú)窮多個(gè)1排成一列數(shù)：1，1，1，1，1，謝爾賓斯基三角形中白色三角形的個(gè)數(shù)，按面積大小，從大到小依次排列成的一列數(shù)：1，3，9，27，81，依次按計(jì)算器出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)：0.098,0.264,0.085,0.956由學(xué)生回答上面各例子的共同特點(diǎn)：它們均是一列數(shù)，它們是有一定次序的，由此引出數(shù)列及有關(guān)定義：1、定義：按一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)叫做數(shù)列其中，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第3項(xiàng),第項(xiàng) 數(shù)列的一般形式可以寫成: 簡(jiǎn)記作2、函數(shù)觀點(diǎn)：數(shù)列可以看作以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到

3、大的 順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值3、數(shù)列的分類： 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 （如數(shù)列、）無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列 （如數(shù)列、）4、數(shù)列的通項(xiàng)：如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 啟發(fā)學(xué)生練習(xí)找上面各數(shù)列的通項(xiàng)公式： 數(shù)列 ： 數(shù)列： 數(shù)列： （常數(shù)數(shù)列） 數(shù)列： 指出（由學(xué)生思考得到）數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定都能由觀察法寫出（如數(shù)列）；數(shù)列并不都有通項(xiàng)公式（如數(shù)列、）；由數(shù)列的有限項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式不一定唯一 （如數(shù)列的通項(xiàng)還可以寫為： 5、數(shù)列的圖像：請(qǐng)同學(xué)練習(xí)畫出數(shù)列的圖像，得出其特點(diǎn)：數(shù)列的圖像都是一群孤立的點(diǎn)2、例題精析例1：根據(jù)下面的通

4、項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)： （1） ；（2） 解：（1）前5項(xiàng)分別為： （2）前5項(xiàng)分別為：說(shuō)明由數(shù)列通項(xiàng)公式的定義可知，只要將通項(xiàng)公式中依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項(xiàng).例2：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它前面的4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1，5，9，13；（2）（3）解：（1）（2）（3） 說(shuō)明：認(rèn)真觀察各數(shù)列所給出的項(xiàng)，尋求各項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，歸納其規(guī)律，抽象出其通項(xiàng)公式.例3：觀察下列數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（補(bǔ)充題）（1）（2）9，99，999，9999， （3） （4）2，0，2，0，2，0，解：（1）（2）（3） 可寫成 （4）2=1+1，0=1-1

5、（或，或） 說(shuō)明 本例的（2）-（4）說(shuō)明了對(duì)數(shù)列項(xiàng)的一般分拆變形技巧例4、根據(jù)圖7-5中的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式 ：（課本）解：說(shuō)明 本類“圖形分析”題，解題關(guān)鍵在于正確把握?qǐng)D形依次演變的規(guī)律，再依點(diǎn)數(shù)寫出它的通項(xiàng)公式變式練習(xí)：1、已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式：解：據(jù)題意可知： 2、已知數(shù)列中，3），試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)解：由已知得 3、已知， 寫出前5項(xiàng)，并猜想 法一： ，觀察可得 法二：由 即 知識(shí)點(diǎn)二 數(shù)列的遞推公式一、情景引入 1觀察 . 2思考 在數(shù)列中，項(xiàng)與項(xiàng)之間有什么關(guān)系？說(shuō)明： 或 3討論

6、 由此，數(shù)列也可以用下面的公式表示： 或 二、學(xué)習(xí)新課 1概念辨析 如果已知數(shù)列的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法. 2例題分析 例1.根據(jù)下列遞推公式寫出數(shù)列的前4項(xiàng)：（1）（2）解：（1）由題意知： 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)依次為1，3，7，15. （2）由題意知： 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)依次為100，-85，100，-85.說(shuō)明 已知數(shù)列的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），利用遞推公式可以依次求出數(shù)列以后的項(xiàng).例2根據(jù)圖7-5中的框圖，建立所打印數(shù)列的遞推公式，并寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).解：由圖7-5可知，數(shù)列的首項(xiàng)為3，從第二

7、項(xiàng)起數(shù)列中的每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)與前一項(xiàng)減1所得的差之積，即利用上述遞推公式，計(jì)算可得到數(shù)列的前5項(xiàng)依次為3，6，30，870，756030.說(shuō)明 解答本例的關(guān)鍵是要讀懂框圖，框圖呈現(xiàn)的是算法程序，該程序就是遞推關(guān)系.3問(wèn)題拓展例1.解：由題意知： 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)依次為1，1，2，3.說(shuō)明 由遞推公式給出的數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列.斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250），意大利數(shù)學(xué)家，他在1202年所著的計(jì)算之書中，提出的“兔子問(wèn)題”所用的數(shù)列被后人稱為斐波那契數(shù)列.斐波那契的兔子問(wèn)題：假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每個(gè)月都會(huì)生下一對(duì)兔子那么，由一對(duì)初生兔子開(kāi)始，

8、12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？用記號(hào)“”表示初生的幼兔，“”表示成熟的兔子，則有下圖 得到前七項(xiàng)：1，1，2，3，5，8，13 進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和.下面給出證明： 設(shè)表示第n個(gè)月的兔子數(shù)，表示第n個(gè)月幼兔，表示第n個(gè)月的成熟兔，則： 由題意有： ，證畢.1到12個(gè)月的兔子數(shù)依序是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，243. 12個(gè)月后共有243對(duì)兔子.例3.已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由給出.（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）利用上面的數(shù)列，通過(guò)公式構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（3）繼續(xù)計(jì)算數(shù)列的第6項(xiàng)到第10項(xiàng)，你

9、發(fā)現(xiàn)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間有怎樣的關(guān)系.解：由遞推關(guān)系：（1）數(shù)列的前5項(xiàng)依次為：1，2，3，5，8（2）數(shù)列的前5項(xiàng)依次為：.（3）數(shù)列的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)依次為：.觀察1：，.于是，數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間具有：.觀察2：，.于是，數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間具有：.說(shuō)明（1）題是利用遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)；（2）題是構(gòu)造一個(gè)數(shù)列寫出部分項(xiàng)；（3）題是通過(guò)觀察部分項(xiàng)，猜想遞推關(guān)系式.例4.根據(jù)框圖，建立所打印數(shù)列的遞推公式，并寫出數(shù)列的前5項(xiàng).解：根據(jù)框圖，數(shù)列的遞推公式為數(shù)列的前5項(xiàng)依次為：.說(shuō)明 閱讀框圖，正確理解框圖中的賦值語(yǔ)句，準(zhǔn)確把握遞推信息，是解此類題的關(guān)鍵.變式練習(xí)：1根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫

10、出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN). 解：(1) 0, 1, 4, 9, 16, (n1);(2) 1, , , ;(3) 31+2, 71+2, 191+2, 551+2, 1631+2, 123;四、課堂小結(jié)1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念，要注意數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別，數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的，而數(shù)集中的元素沒(méi)有次序；2、本節(jié)課的難點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式，要會(huì)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的一些項(xiàng)由觀察法寫出一些簡(jiǎn)單數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式五、課后作業(yè)1書面作業(yè)：課本習(xí)題 A組 習(xí)題1.52思考題：（補(bǔ)充題及

11、備選題）有下面四個(gè)結(jié)論,正確的是（）數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的； 每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù) 在直角坐標(biāo)系中，數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn) A、 B、 C、 D、 若一數(shù)列為：，則是這個(gè)數(shù)列的（）A、第6項(xiàng) B 、第7項(xiàng) C、第8項(xiàng) D、第9項(xiàng)數(shù)列7，9，11，13， 2n-1 中，項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（）A、 B 、 C、 D、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，它的前四項(xiàng)依次為_(kāi)解：前四項(xiàng)依次為：試分別給出滿足下列條件的無(wú)窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1）對(duì)一切正整數(shù)n， （2）對(duì)一切正整數(shù)n，解：（）（不唯一）（）等（不唯一）寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 （）（）3，8，15，24，35，（3）（4）0，0.3,0.33,0.333,0.3333,（5）1，0，-1，0，1，0，-1，0，（6），；（7），；解：（）；（）（）（）（）根據(jù)下面的圖像及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式： 解：以中間點(diǎn)為參照點(diǎn)，把增加的點(diǎn)作為方向點(diǎn)來(lái)分析，有： 第1個(gè)圖形有一個(gè)方向，點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)；第2個(gè)圖形有2個(gè)方向，點(diǎn)數(shù)為1+21=3點(diǎn)； 第3個(gè)圖形有3個(gè)方向，點(diǎn)數(shù)為1+32=7點(diǎn)；第4個(gè)圖形有4個(gè)方向，點(diǎn)數(shù)為1+43=13點(diǎn)； 第n個(gè)圖形有n個(gè)方向，點(diǎn)數(shù)點(diǎn) 8、下列解析式中不是數(shù)列，的通項(xiàng)公式的是（ ）A. B. C. D. 9、數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）A