向量組等價(jià)線性相關(guān)性

1、關(guān)于向量組等價(jià)線性相關(guān)性第1頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四存在非零列向量 及非零行向量 ， 使得而 中至少有一個(gè)元素非零 又積的秩不超過(guò)因子矩陣的秩21、設(shè)A為 矩陣,證明 有解 有解 已證第2頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四1、或表示方法：求出方程組的解作組合系數(shù)矩陣表示形式：復(fù)習(xí)：向量、向量組的線性表示向量用向量組的線性表示問題歸結(jié)為線性方程組解的問題！第3頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四表示系數(shù)為列！2、向量組用向量組的線性表示問題歸結(jié)為矩陣方程解的問題！第4頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四

2、線性表示, m=s時(shí)系數(shù)矩陣為方陣！表示系數(shù)為行！任何向量組可由單位向量組表示！能由向量組A線性表示第5頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四能互相線性表示，則稱向量組A與向量組B等價(jià).等價(jià)的充要條件（p84定理 2推論）4、向量組與向量組等價(jià)定義（p83)向量組的等價(jià)關(guān)系具有: 自反性、對(duì)稱性、傳遞性！則向量組E與向量組A等價(jià) ？第6頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四例2(p86)設(shè)證明證所以第7頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四向量組A與向量組B等價(jià)反之不一定！ 等價(jià)的必要條件 向量組與單位向量組等價(jià)的條件能由向量組A線性表示與

3、向量組等價(jià)？第8頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四即B的行的向量組可由A的行的向量組線性表示， 所以，A的行的向量組可由B的行的向量組線性表示。重要但AB 不能保證A與B的行向量組或列向量組等價(jià)向量組的等價(jià)與矩陣的等價(jià)同理，A B A的列組與B的列組等價(jià). 思考第9頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四但AB 不能保證A與B的行向量組或列向量組等價(jià)其標(biāo)準(zhǔn)型但但其列、行組都不等價(jià)思考B與PA的列向量組等價(jià)，B與AQ的行向量組等價(jià)B與A的列向量組等價(jià)，B與A的行向量組等價(jià)例：所以第10頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四若組A組B,矩陣一

4、般不成立！A,B不一定同型！同型組A可用組B表示組B可用組A表示反之含向量個(gè)數(shù)相等的同維數(shù)的向量組等價(jià)時(shí)矩陣等價(jià)！m=l 情況下A與B列滿秩可逆！P70例9的結(jié)果A、B列滿秩時(shí)，系數(shù)矩陣可逆第11頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四這時(shí)，組A與組B同解方程組A 方程組B 線性方程組的等價(jià) 設(shè)有方程組組B的每個(gè)方程都是方程組A的線性組合！（即B 中方程皆由A中方程經(jīng)線性運(yùn)算得到）方程組A和方程組B能互相線性表示！方程組B能由方程組A的線性表示 B的增廣 矩陣的行向量組 可由A的增廣矩陣的行向量組線性表示.故這時(shí)，組A的解也是組B的解方程組A的線性組合：由A中方程經(jīng)線性運(yùn)算得到

5、的方程！（用矩陣解決方程組的深層依據(jù)）方程組B能由方程組A線性表示：方程組B與方程組A等價(jià)（互推）：第12頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四？對(duì)齊次線性方程組有同樣結(jié)論A與B行等價(jià)是從而，方程組Ax=o與Bx=o同解反之，第13頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四第14頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四向量組矩陣線性方程組行向量組為行構(gòu)成矩陣列向量組為列構(gòu)成矩陣矩陣的一行（列）元素構(gòu)成一個(gè)行（列）向量矩陣的全部行（列）向量構(gòu)成行（列）向量組一個(gè)方程的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成行向量一個(gè)未知數(shù)的系數(shù) 構(gòu)成列向量系數(shù)矩陣、增廣矩陣對(duì)應(yīng)行（列）向

6、量組向量組A與B等價(jià)方程組等價(jià)（同解）向量組線性組合方程組線性組合矩陣的乘法向量組由向量組表示方程組由方程組表示矩陣的初等變換向量由向量組表示方程組有解矩陣的初等變換矩陣的行或列等價(jià)第15頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四C的列向量組可由A的列向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是B C的行向量組可由B的行向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是A兩個(gè)方程組等價(jià)（同解）B是矩陣方程AX=C 的解A是 矩陣方程 YB=C 的解表示系數(shù)？表示系數(shù)？ 常數(shù)項(xiàng)列向量可由未知數(shù)的系數(shù)列向量組線性表示增廣矩陣與系數(shù)矩陣的列向量組等價(jià)方程組 有解第16頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四

7、本節(jié)重點(diǎn)掌握 向量、向量組、向量組的線性組合、向量由向量組線性表示、向量組等價(jià)概念，判定條件，方法，形式 重 在 理 解 !第17頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四引入設(shè)有向量組A:零向量可由A線性表示，2 向量組的線性相關(guān)性一定有：表示系數(shù)全為0我們關(guān)心的是：是否還有一組（m個(gè)）不全為零的數(shù)使得：至少一個(gè)不為0這兩者的本質(zhì)不同是什么呢？也就是對(duì)與向量組A：僅有組合系數(shù)全為零時(shí)其線性組合為零向量？也有組合系數(shù)不全為零時(shí)其線性組合為零向量？ 本質(zhì)上的不同對(duì)向量組而言至關(guān)重要！第18頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四或曰線性相關(guān)。若有一組不全為零的數(shù)使得

8、：比如至少有則能用其它m-1個(gè)向量線性表示，至少一個(gè)不為0這樣我們就說(shuō)向量 之間有了實(shí)實(shí)在在的線性關(guān)系，即向量組 中，至少有一個(gè)向量若僅有組合系數(shù)全為零時(shí)其線性組合為零向量，則組中任何向量都不能用其它向量線性表示即只有向量 之間沒有線性關(guān)系或曰線性無(wú)關(guān)。第19頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四k 0 則它線性相關(guān); 線性無(wú)關(guān).線性相關(guān) .基本結(jié)果：定義4（p87)(1) 當(dāng)向量組只含一個(gè)向量時(shí), 若該向量是非零向量, (2) 兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是其對(duì)應(yīng)分量成比例 .線性無(wú)關(guān) .0則它線性無(wú)關(guān) .共線若該向量是零向量,(4 ) n 維單位坐標(biāo)向量組(P.88 例4，

9、待證)?當(dāng)且僅當(dāng) k i 都為零時(shí), ()式成立1(3) 含有零向量的向量組 線性相關(guān) .當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 成立 成立第20頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四相關(guān)性條件線性無(wú)關(guān)只有零解 R(A)= m線性方程組向量組A:向量組A:線性方程組向量組構(gòu)成的（列）矩陣 R(A) m有非零解 矩陣方程矩陣方程判定一個(gè)向量組的線性相關(guān)性是重要的！用定義，用條件！第21頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四定理4（p88）向量組 R(A) m向量組 R(A)= m其中是向量組構(gòu)成的（列）矩陣 溝通了向量組線性相關(guān)性與矩陣的秩之間的聯(lián)系!m為向量組中向量的個(gè)數(shù) R(A)

10、 = n它們所構(gòu)方陣 A可逆（非奇異）。n 個(gè) n 維向量A可逆 A 構(gòu)成的向量組（行或列）線性無(wú)關(guān)特別的 任意 n 個(gè) n 維向量線性相關(guān) R(A) n. 它們所構(gòu)方陣 A不可逆（奇異） m=n 時(shí)可用|A|是否為零 判斷第22頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四例5（p88）判定向量組的線性相關(guān)性.解是坐標(biāo)已知的向量構(gòu)成的向量組，用判定條件(TH4)線性相關(guān)！或：是三個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組，用矩陣的可逆性判別A不可逆，從而線性相關(guān)第23頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四用定義判定相關(guān)性證(P.88 例4)線性無(wú)關(guān) . n 維單位坐標(biāo)向量組法一：用條

11、件法二：用定義 令則R（E）=n線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) 線性無(wú)關(guān)即第24頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四例6（p88）證一用定義即只有 (1) 設(shè)出所討論向量組的零組合式； 用定義證明向量組相關(guān)性(2) 由條件從(1)找出組合系數(shù)所滿足的方程組；(3) 由此方程組有無(wú)非零解判定出其線性相關(guān)性 . 用方程組解的定理第25頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四證二用條件證明令向量組不具體（坐標(biāo)沒有給出），將向量組轉(zhuǎn)化為矩陣 表達(dá)系數(shù)作列兩種方法的思路分析（p89)尋求線性表示的矩陣表達(dá)形式！第26頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四基本結(jié)論

12、結(jié)論也成立稱組A是組B的一個(gè)部分組整體與部分的相關(guān)性的聯(lián)系 線性無(wú)關(guān)的向量組中 在一個(gè)向量組中, 若有一個(gè)部分向量組線性相關(guān)， 則整個(gè)向量組也必定線性相關(guān) . 意即：任何有限個(gè)向量構(gòu)成的的部分向量組都 線性無(wú)關(guān) .證明 （P89用定理4證明，自閱 ) 定理5 (P89) (1)第27頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)55分，星期四 n m 時(shí), m個(gè)n 維向量構(gòu)成的mn矩陣的秩 定理5 (P89) (2) 必 n m ， n m 時(shí), m個(gè)n 維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān). 特別的，n+1 個(gè)n 維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān). 定理5 (P89) (3)則向量b必能由向量組線性表示，且表示式是惟一的.方程個(gè)數(shù) 向量維數(shù)時(shí)，向量組線性相關(guān)聯(lián)系到方程組向量用向量組表示惟一的充分條件（也是充分必要條件