北京四中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理

1、log N對(duì)與數(shù)log N【綱求1.掌握對(duì)數(shù)的概念、常用對(duì)數(shù)、數(shù)式與指數(shù)式互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式與自然對(duì)數(shù)； 2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和.3.正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；底 a 圖象的影響及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的作.4.通過對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形合的 思想方法；【識(shí)絡(luò)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)的概指對(duì)互化對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【點(diǎn)理考一對(duì)概及運(yùn)我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程遇到 2=4 的題時(shí)可憑經(jīng)驗(yàn)得到 x=2 解，而一旦出現(xiàn) 2 過的知識(shí)來解決，從而引入出一種新的運(yùn)算對(duì)數(shù)運(yùn).(一)對(duì)數(shù)概:=3 時(shí)，們就無法用已學(xué)1.如果aN ，那么數(shù) b 叫以 a 為底

2、的數(shù)，記作:log 其 a 叫對(duì)數(shù)的底數(shù)N 叫做. ab N 2.對(duì)數(shù)恒等式： N aN3.對(duì)數(shù) a 具有下列性質(zhì)： 和數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N ； 的數(shù)為 0，即log a；(3)底的對(duì)數(shù)等于 1，即log a a.(二)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以 10 為底對(duì)數(shù)叫做常對(duì)數(shù)，log10N簡(jiǎn)記 N.以 e 為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，log 簡(jiǎn)記 e.(三)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知對(duì)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn). 它們的關(guān)系可由下圖表示.由此可見 a，b，N 三字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變. (四)積、商、冪的對(duì)數(shù)已知 M N M 、N a(1)logM ；推廣：

3、 N N log log N 1 2 a 、 、 2 (2)logaM M log N a a；(3)log .(五)換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在 a0 1， M0 的前提下:(1)log M logaaMn n R令 log M=b， 則 a=M， (a)=M，即 an M ，即 logaMn，即:log M logaaMn.(2)log alog Mclog ac( c ，令 log M=b， 則有 a=M， 則有l(wèi)og c M 0, c ca a a a a a 即b a M ， 即 log Mclog ac，即log alog Mclog ac( c 當(dāng)然，細(xì)

4、心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)可由2)推出，但在解決某些問(又它的靈活性 而且由2)還可以得到一個(gè)重要結(jié):1 ( b b b.考二對(duì)函及圖、質(zhì)1.函數(shù) y=log x(a0，a1)叫做數(shù)函.2.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng) a1 時(shí)，隨 a 的大，對(duì)數(shù)函的圖像愈靠近 x 軸當(dāng) 時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨 a 增大而遠(yuǎn)離 軸.(圖 1)(1)對(duì)數(shù)函數(shù) y=log x(a01)定義域(，+)，值域?yàn)?R(2)對(duì)數(shù)函數(shù) y=log x(a01)圖像過(，0) (3)當(dāng) a1 時(shí)， log 0(0 x 當(dāng) 時(shí)，log x 0(0 【型題類一指式對(duì)式化其用例 1.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化(1)log 8 3；(2)log 9

5、；(3) ； 3 642 3 5 3 642 3 5 (4)54 625；(5)3 1 ；(6)3 16.【解析】 ；(2) ；(3)3 x；(4)log 625 45；(5)log313；(6) 16 1.4【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又解決 問題的重要手段舉反：【變式】求下列各式中 x 的值(1)log64x 23(2)log 6x(3)lg100=x (4)-ln e2 【解析】(1) 233)2342 )3116；(2)x6所 x x 6 )16(8)16(2316122；(3)10=100=10，是 x=2；(4)由 ，得 e2，即

6、e2所以 .類二對(duì)運(yùn)法的用 例 2.求值(1) log 9log 32 1 1 log 32 25 8 9(3)log log 34log 36)(4)(log 125+log 25+log 5)(log 8+log 4+log 2) 2 10【解析】原式= 3 25 2 3 9.(2)原式 2 5 log 5 log log 2 5(3)原式log 2234log 22) 2234log 2 2(4)原式(log 125+log 25+log 5)(log 8+log 4+log 2) 2 2 2 5 422 2 12 2 2 5 422 2 log 5)(3log 3133 5 5 2舉反

7、：【變式】已知： 3=a， log 7=b，求log 56=? 【解析】 3 32log 1a， 56 log 7 56 3 3 3 3 7 2 3 3 7 log 23 33b a ab 1 b a類三對(duì)函性的合用例 3.已知數(shù) x) x)（1）求函數(shù)f ( x)的值域）求f ( x)的單調(diào)性【解析】(1)由題得 2 x 0 時(shí)， x2 x 2 x (0,1 log x12 x) 1 12 函數(shù) x122 x的值域 (2)設(shè) 2 x(0 12函數(shù)u x2 x在0,1）上是增函數(shù)，在1,2）上是減函數(shù)。 是減函數(shù)12復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)f (- x12 x)2在0,1上是減函數(shù)在）上是增數(shù)。

8、 舉反：【變式】已知 f(log x)=a a 且 a1)，試判斷函數(shù) f(x)單調(diào).2 2 2 2 2 【解析】設(shè) t=log x(x， R).2 2 2 2 2 當(dāng) a1 時(shí)，t=log x 為函數(shù)， t t 則 0 x x ， f(t )-f(t a( x 1x ( 1a( x 2x ( 2a( x x x 1 2 1 x ( 1 2， 0 x 1， f(t )1 或 0a1， f(x)在 總是增函.例 函數(shù) y= (-x+2x+3)值域和單調(diào)區(qū)間12【解析】設(shè) t=-x+2x+3，則 t=-(x-1)+4. y= log t 減函數(shù)，且 00，即1x1)， 的面積為 S.(1)求 S=

9、f(a)的表達(dá)式； (2)求數(shù) f(a)的值域；(3) 判函數(shù) S=f(a)的單調(diào)性并予以證明(4) S2求 的值范圍【解析】依題意有 g(x)=log 并且 A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a， log a)， B(a+4， log (a+4) C(a+8 log (a+8) (a1). 1A 中 D 的坐標(biāo)為 log a+log (a+8)2 S=12|BD|42=4|BD|=4log (a+4)-2log (a+8). (2)把 S=f(a)變形得：( a 4) (a+4)-log a-log (a+8)=2log =2log (1+ ). a a由于 a1 時(shí)，+8a9， 11+16 25 ， a a 又函數(shù) y=log x 在(，+)上是增函數(shù)，16 25 02log (1+ )2log ，a a 9即 0S2log259.(3)S=f(a)在定義域1，