電動力學第三章靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解

1、第三章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解13.1 靜電場分析3.2 導電媒質中的恒定電場分析3.3 恒定磁場的分析3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理3.5 鏡像法3.6 分離變量法 靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 23.1 靜電場分析 學習內容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量 3.1.5 靜電力32. 邊界條件微分形式：本構關系：1. 基本方程積分形式：或若分界面上不存

2、在面電荷，即S0，則或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件4介質2介質1 在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的邊界條件為 或 場矢量的折射關系 導體表面的邊界條件5由即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù) 稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義3.1.2 電位函數(shù)62. 電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位： 故得點電荷的電位：線電荷的電位：73. 電位差兩端點乘 ，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q 點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位

3、處； 電位差也稱為電壓，可用U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。P、Q 兩點間的電位差電場力做的功8 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義； 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點； 同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即9 例 3.1.1 求電偶極子的電位. 解 在球坐標系

4、中用二項式展開，由于，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。+q電偶極子zodq10將 和 代入上式，解得E線方程為 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線電場線電偶極子的場圖電場線微分方程：等位線方程：11 解 選定均勻電場空間中的一點o為坐標原點，而任意點P 的位置矢量為r，則若選擇點o為電位參考點，即 ，則 在球坐標系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有 在圓柱面坐標系中，取 與x軸方向一致，即 ，而 ，故 例3.1.2 求均勻電場的電位分布。12xyzL-L 解 采用圓柱面坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與 無關

5、。在帶電線上位于 處的線元 ，它到點 的距離 ，則 例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。13 在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為 當 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參考點，則有14在均勻介質中，有5. 電位的微分方程在無源區(qū)域，標量泊松方程拉普拉斯方程156. 靜電位的邊界條件 設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離l0時 若介質分界面上無自由電荷，即

6、導體表面上電位的邊界條件：由 和媒質2媒質1 常數(shù)，16 例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。 解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板17利用邊界條件，有 處，最后得 處， 處，所以由此解得18電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功

7、能的復雜 電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率； 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容19 電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電荷能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即1. 電容 孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（q）的導 體組成的電容器，其電容為 電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質 的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無關。20 (1) 假定兩導體上分別帶電荷+q 和 -q ； (2) 計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的步驟： (4) 求比值 ，即得出所求電容。

8、(3) 由 ，求出兩導體間的電位差；21 解：設內導體的電荷為q，則由高斯定理可求得內外導體間的電場同心導體間的電壓球形電容器的電容當 時， 例3.1.4 同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容22 例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D a，求傳輸線單位長度的電容。 解 :設兩導線單位長度帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為兩導線間的電位差故單位長度的電容為23

9、例3.1.6 同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為b，內外導體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。內外導體間的電位差 解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和 ，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線24 在多導體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導體作為電容器的兩個電極，設在這兩個電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為 ，則比值 稱為這兩個導體間的等效電容。（4）等效電容如圖所示，有三個部分電容導線 1 和 2 間的等效電容為導線 1 和大地間的等效電容為導線 2 和大地間的等效電容為12大地大地上空的平行雙導線25 如果充電過程進行得足

10、夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。3.1.4 靜電場的能量 261. 靜電場的能量 設系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為q、電位為 。 (01) 當增加為(+ d)時，外電源做功為: (q d)。 對從0

11、到 1 積分，即得到外電源所做的總功為 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量We ，即 對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場能量為27故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，則有 第i個導體所帶的電荷 第i個導體的電位式中：282. 電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。電場能量密度：電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間對于線性、各向同性介質，則有29由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內，當閉合面S無限擴大

12、時，則有故 推證：0S30 例3.1.7 半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。 解： 方法一，利用 計算 根據(jù)高斯定理求得電場強度 故31 方法二：利用 計算 先求出電位分布 故32 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。 虛位移法：假設第i個帶電導體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關系為其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量

13、。 具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電導體的電荷不變。3.1.5 靜電力331. 各帶電導體的電位不變 此時，各帶電導體應分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此2. 各帶電導體的電荷不變式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。 不變q不變34例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極板面積為lb，板間距離為d，用一塊介質片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應，求介質片所受的靜電力。所以電容器內的電場能量為由 可求得介

14、質片受到的靜電力為 解 平行板電容器的電容為部分填充介質的平行板電容器dbU0lx由于0，所以介質片所受到的力有將其拉進電容器的趨勢35 此題也可用式 來計算q不變設極板上保持總電荷q不變，則由此可得由于同樣得到363.2 導電媒質中的恒定電場分析 由JE 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1）恒定電場可以存在導體內部。 （2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。

15、 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。 373.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件1. 基本方程 恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式： 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度 線性各向同性導電媒質的本構關系 恒定電場的電位函數(shù)由若媒質是均勻的，則 均勻導電媒質中沒有體分布電荷382. 恒定電場的邊界條件媒質2媒質1 場矢量的邊界條件即即 導電媒質分界面上的電荷面密度場矢量的折射關系39 電位的邊界條件 恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面， 因而導體表面不是等位面； 說明：40媒質2媒質1 如21、且290

16、，則10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質1為理想介質，即10，則 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即導體中 的電流和電場與分界面平行。媒質2媒質1媒質2媒質1413.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。42恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區(qū)域） 本構關系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒

17、定電場43 例3.2.1一個有兩層介質的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質面分界面上的自由電荷密度。 解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z方向。44 例3.2.2 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為c，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數(shù)為1和2 、電導率為 1和2 。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上的自由電荷面密度。外導體內導體介質2介質145 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由 可得電流密度介質中的電場： 解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所

18、以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為I，由求出電流密度 的表達式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。46故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為由于于是得到47 （2）由 可得，介質1內表面的電荷面密度為介質2外表面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為48 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。 漏電流與電壓之比為漏電導，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3 漏電導49(1) 假定兩電極間的電流為I； 計算兩電極間的電流密度 矢量J； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導。 計算電導的方法一： 計算電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E; (4) 由 J = E 得到J; (5) 由 ，求出兩導體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導。 計算電導的方法三：靜電比擬法：50 例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a、b，長度為l ，其間媒質的電導率為、介電常數(shù)為。解：直接用恒定電場的計算方法電導絕緣電阻則設由內導體流向外導體的電流為I。51方程通解為 例3.2