光子氣體與它的熱力學(xué)函數(shù)關(guān)系

1、Word格式目錄 TOC o 1-5 h z 1弓言1 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2熱輻射和平衡輻射1 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 3用能量均分定律討論熱輻射3 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 4熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式5 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 總分?jǐn)?shù)和內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式5 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 廣義作用力的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式6

2、 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式6 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 5光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)7 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 6結(jié)論8參考文獻(xiàn)9 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 致謝10完美整理Word格式光子氣體與它的熱力學(xué)函數(shù)關(guān)系摘 要：早在1900年，馬克斯普朗克解釋黑體輻射能量分布時(shí)作出量子 假設(shè)，物質(zhì)振子與輻射之間的能量交換是不連續(xù)的，一份一份的，每一分的能量 為

3、hv,1905年阿爾伯特愛因斯坦進(jìn)一步提出光除了波動(dòng)性之外還具有粒子性， 他指出電子輻射不僅在被發(fā)射吸收時(shí)以能量為hv的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種 形式以速度c在空間運(yùn)動(dòng)這種粒子稱之為光量子；普朗克和愛因斯坦的光量子理 論直到1924年康普頓成功地用光量子概念解釋了 光被物質(zhì)散射是波長(zhǎng)變化的 康普頓效應(yīng)，從而光量子概念被廣泛接受和應(yīng)用1926年正式名稱為光子。光子 不但具有能量，而且具有動(dòng)量，光子的靜止質(zhì)量為零。該文論述了光子氣體熱力學(xué)函數(shù)并根據(jù)光子氣體巨配分函數(shù)推導(dǎo)出熱力學(xué)函 數(shù)內(nèi)能、壓強(qiáng)、熵、蛤、自由能和吉布斯函數(shù)以及物態(tài)方程。關(guān)鍵詞：光子；熱輻射；巨配分函數(shù)；熵；壓強(qiáng)。完美整理Word格式

4、1引言早在1900年，馬克斯.普朗克解釋黑體輻射能量分布時(shí)作出量子假設(shè)，物質(zhì) 振子與輻射之間的能量交換是不連續(xù)的，一份一份的，每一分的能量為hv ,1905 年阿爾伯特.愛因斯坦進(jìn)一步提出光除了波動(dòng)性之外還具有粒子性，他指出電子 輻射不僅在被發(fā)射吸收時(shí)以能量為hv的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式以速度c 在空間運(yùn)動(dòng)這種粒子稱之為光量子；普朗克和愛因斯坦的光量子理論直到1924 年康普頓成功地用光量子概念解釋了 光被物質(zhì)散射是波長(zhǎng)變化的康普頓效 應(yīng)，從而光量子概念被廣泛接受和應(yīng)用1926年正式名稱為光子。光子不但具有 能量，而且具有動(dòng)量，光子的靜止質(zhì)量為零。近代物理理論研究表明，輻射除了 具有波動(dòng)

5、性質(zhì)外，還具有微粒性質(zhì)，輻射場(chǎng)可看成是有各種頻率的電磁波所組成， 也可以將其視為是光子的集合是光子氣體。光子氣體也普通氣體一樣按一定規(guī)律 分布（波色分布），但與普通氣體相比有著如下差異：（1）光子隨時(shí)在產(chǎn)生或漂滅， 故粒子數(shù)不能固定；（2）由于光子具有相同的速度（光速），故不存在速度分布； （3）普通氣體分子之間按速度的平衡分布，是通過(guò)分子之間相互碰撞與相互作 用機(jī)制實(shí)現(xiàn)的.而光子氣體中的光子彼此并不碰撞，其間的平衡分布，只在輻射 場(chǎng)中有某種能夠吸收和輻射光子的物體存在時(shí)才能建立起來(lái).在吸收或輻射過(guò)程 中，一種頻率的光子將轉(zhuǎn)變成另一種頻率的光子.正是光子氣體與普通氣體之間 的這些差異，從而導(dǎo)致

6、光子氣體具有與普通氣體不同的熱力學(xué)性質(zhì)和特征函數(shù)。2熱輻射和平衡輻射只要溫度不是絕對(duì)零度，任何物體的表面都會(huì)向外發(fā)射各種波長(zhǎng)的，頻譜為 連續(xù)的電磁波。溫度升高，物體在單位時(shí)間內(nèi)從單位面積表面上向外發(fā)射的輻射 總能量也之增加。一定時(shí)間內(nèi)輻射能量隨波長(zhǎng)的分布也與溫度有關(guān)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)愛 熱的固體會(huì)輻射電磁波，稱為熱輻射。一般情形下熱輻射的強(qiáng)度和強(qiáng)度按頻率的 分布與輻射體的溫度和性質(zhì)有關(guān)。如果輻射體對(duì)電磁波的吸收和輻射達(dá)到平衡， 熱輻射的特性將只取決于溫度，于熱輻射的其它特性無(wú)關(guān)，稱為平衡輻射。.考慮一個(gè)封閉的空窖，窖壁保持一定的溫度T。窖壁將不斷向空窖發(fā)射并吸 收電磁波，窖內(nèi)輻射場(chǎng)與窖壁達(dá)到平衡后，二

7、者具有共同的溫度，顯然空窖內(nèi)的 輻射就是平衡輻射。平衡輻射包含各種頻率，沿各個(gè)方向傳播的電磁波.這些電磁波的振幅和相位完美整理Word格式是無(wú)規(guī)的。有熱力學(xué)的一般論據(jù)可以證明，窖內(nèi)平衡輻射是空間均勻和各向同性 的。它的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度按頻率的分布只取決于溫度，與空窖的其它特性無(wú) 關(guān)。現(xiàn)在根據(jù)熱力學(xué)理論導(dǎo)出窖內(nèi)平衡輻射的熱力學(xué)函數(shù).這里要用到電磁理論 關(guān)于輻射壓強(qiáng)p與輻射能量密度U之間的關(guān)系：P = - U(2-1)3將窖內(nèi)平衡輻射看作熱力學(xué)系統(tǒng).選溫度T和體積v為狀態(tài)參量.由于空窖輻 射是均勻的，其內(nèi)能密度只是溫度T的函數(shù).空窖輻射的內(nèi)能U(T,V)可以表為利 用熱力學(xué)公式U(T, V )=

8、 u(T V(2-2)根據(jù)11P【一 P根據(jù)11P【一 P式可得VTdU = 4 udTT du uU -3 dT 3，即(2-3)積分可得(2-4)現(xiàn)在求出空窖輻射的熵，將式(2-3)的和式(2-1)的代入熱力學(xué)基本方程du + pdVdS -T積分可得S - 4 aT 3V(2-5)3式(2-5)中沒有積分常數(shù)，因?yàn)閂T3 - 0時(shí)不存在輻射場(chǎng)。吉布斯函數(shù)G - U - TS + V。將式(2-1),(2-3),(2-5)代入，可得平衡輻射 的吉布斯函數(shù)為零。G=0(2-6)統(tǒng)計(jì)物理可以導(dǎo)出平衡輻射的熱力學(xué)函數(shù).將看到式(2-6)是平衡輻射光子數(shù)不 守恒的。如果在窖壁開一小孔，電磁輻射將從

9、小孔射出.假設(shè)小孔足夠小，使窖內(nèi)輻射 場(chǎng)的平衡狀態(tài)不受顯著破壞。以Ju表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)小孔的單位面積向一側(cè)完美整理Word格式J = 1 cu uJ = 1 cu u 4(2-7)上式證明如下?？紤]在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)面積元dA向一側(cè)輻射的能量.如果投射到dA上的是一束傳播方向與dA的法線方向平行的平面電磁波，則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò) dA向一側(cè)輻射的能量為cudA。各向同性的輻射場(chǎng)包含各種傳播方向，因此傳播 方向在dQ立體角的輻射內(nèi)能密度將為3dg。單位時(shí)間內(nèi)，傳播方向在dQ立體4兀角內(nèi)，通過(guò)dA向一側(cè)輻射的能量為網(wǎng)& cos。dA，其中9與傳播方向與dA法線 4兀=1cudA4=1cudA4J dA

10、 =嘿 fsin 9 cos 9 d9 2f 的 J dA =這就證明了式（2-7）。將式（2-3）代入式（2-7），得J = c 6T 4 =gT 4（2-8）u4（2-8）稱為斯特藩一玻耳式斯曼定律。3用能量均分定律討論熱輻射我們根據(jù)能量均分定律討論平衡輻射問題。前面討論過(guò)這個(gè)問題，考慮一個(gè)封 閉的空窖原子不斷地向空窖發(fā)射并從空窖吸收電磁波，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，空窖 內(nèi)的電磁輻射與窖壁達(dá)到平衡，稱為平衡輻射，二者具有共同的溫度T。空窖內(nèi)的輻射場(chǎng)可以分解為無(wú)窮多個(gè)單色平面波的疊加.如果采用周期性邊 界條件，單色平面波的電場(chǎng)分量可表為E = E e i （k r-G）（3-1）0完美整理Word

11、格式f其中3是圓頻率，k是波矢，k的三個(gè)分量k , k , k的可能值為，2兀Sk = n , n = 0,1,2,2J k = n , n = 0,1,2,.（3-2）y L y y2兀k = n , n = 0,1,2, z L z zE 0有兩個(gè)偏振方向。這兩個(gè)偏振方向與垂直，并且相互垂直.單色平面波 的磁場(chǎng)分量也有相應(yīng)的表示。將式（3-2）代入波動(dòng)方程1 d 2V 2 E -E = 0（3-3）C 2 Q12可得，3與k間的關(guān)系：3 = ck（3-4）具有一定波矢k和一定偏振的單色平面波可以看作輻射場(chǎng)的一個(gè)自由度。應(yīng) 用不確定關(guān)系的方法求得在體積V內(nèi)，在dk dk dk的波矢范圍內(nèi)，輻

12、射場(chǎng)的自 由度數(shù)為Vdkdk，kz利用式（3-4）將k換為3，容易求出，在體積V內(nèi)，在 4九3-3 + d3的圓頻率范圍內(nèi)，輻射場(chǎng)的振動(dòng)自由度數(shù)為D (3) d 3 =3 2 d 3( 3-5)兀2 C 3根據(jù)能量均分定律，溫度為T時(shí)，每一振動(dòng)自由度得平均能量為7 = kT。所以在體積V內(nèi)，在d3范圍內(nèi)平均輻射的內(nèi)能為U d3 = D（3）kTd3 = 3 2kTd3（3-6）3兀 2 C 3這結(jié)果是瑞利和金斯得到的，稱為瑞利金斯公式.根據(jù)瑞利和金斯公式，在有限溫度下平衡輻射的總能量是發(fā)散的。U = f U d3 = J32kTd3 . 8（3-7）3 兀 2 C 3完美整理Word格式在前面

13、討論過(guò)，平衡輻射的能量與溫度的四次方成正比，是一個(gè)有限值:U =O T 4V（3-8）因此式（3-8）與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符.有式（3-8）還可以得出平衡輻射的定容熱容量 也是發(fā)散的結(jié)論.據(jù)此輻射場(chǎng)不可能與其它物體（例如窖壁）達(dá)到熱平衡，這是 與常識(shí)不符的.可以看出導(dǎo)致這個(gè)荒謬的根據(jù)原因是，根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)輻射場(chǎng) 具有無(wú)窮多個(gè)振動(dòng)自由度，而根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定律每個(gè)振動(dòng)自由度在溫 度為T時(shí)的平均能量為kT。由此可以看出，經(jīng)典物理存在根據(jù)刑的原則困難綜 上所示，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定律既得到一些與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果，又有許多結(jié)論 與實(shí)驗(yàn)不符。這些問題在量子理論中得到解決。4熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式4.1總分?jǐn)?shù)

14、和內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式系統(tǒng)的平均總分子數(shù)由下式給出： TOC o 1-5 h z N 立 a =2（4-1）ll e a+%1引入一個(gè)函數(shù)，名為巨配分函數(shù)，其定義為Z ：1E = HE =口1 e -a-% i（4-2）i l i取對(duì)數(shù)In己=-Z ln（1 -e-a-Psi）（4-3）i系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)N可通過(guò)In己表示為N = -ln 己（4-4）da內(nèi)能是系統(tǒng)中粒子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)總能量的統(tǒng)計(jì)平均值。所以（4-5）（4-6）8 3（4-5）（4-6）e a+P8 1 1系統(tǒng)的粒子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)總能量統(tǒng)計(jì)平均值U可通過(guò)ln己表示為U =-ln 己 dp完美整理Word格式廣義作用力的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式外界對(duì)系統(tǒng)的

15、廣義作用力Y是t4的統(tǒng)計(jì)平均值：， ay、洗y rn 洗Y二：a = -1l/ay 1/ e a+Ps 1 - 1 ay（4-7）可將Y可通過(guò)ln己表示為Y = -1 In 己 p ay（4-8）1 a上式的一個(gè)重要特例P = 1 ln己p a v（4-10）熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式由式（4-4）和式（4-6）以（4-10）及（3-8）的P (dU - Ydy+adN 戰(zhàn)芋)+：dy-P (d曹 n（4-11）注意上面引入的ln己是a,dy的函數(shù)，其全微分為a in 己 7 a in 己a ln 己 7d ln 二=d a + -d P +dyaaapay（4-12）故有 P (dU - Ydy + 0

16、- dN) = d (ln 己-a-p dM：=) Paaap（4-13）a 上式指出P是dU - Ydy + -dN的積分因子。在熱力學(xué)部分學(xué)過(guò)，對(duì)于開放系統(tǒng)PdU - Ydy + dN有積分因子1，使：PT1 , aT (dU - Ydy + pdN) = dS（4-14）完美整理Word格式比較可得1日P =,a =- kTkT(4-15)所以d 1n 己dd In 己、dS = kd(In二 一a P)Sa 郎(4-16)積分可得S比較可得1日P =,a =- kTkT(4-15)所以d 1n 己dd In 己、dS = kd(In二 一a P)Sa 郎(4-16)積分可得S二k（1n

17、 m-a警-p考)=k (ln 己+a N +p U)(4-17)將式（4-3）代入式（4-17），與是QF. D二n3!i a !(3 - a )!比較就可得S = k In Q(4-18)5光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)根據(jù)熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式推求光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)。對(duì)于光子氣體，巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)為In 己=-3 1n(1 - e -a-加/) = fs 21n(1 - e -Ph )l兀 2 c 30(5-1)引入變量x =。可將上式表為kT一 V 8 、1n n =-x2 1n(1 - e - x)兀 2C3(Ph)30（5-2）應(yīng)用分部積分方法:x 21n(1 -e - x) dx = -1

18、n(1 - e - x)1 f x 3 dx3 ex 10上式有第一項(xiàng)為零，因此VIn n =3兀 2c3(Ph)3X 3 dxex0-13兀 2C3(Ph)3兀4(6 x )=9045C3h3 (Ph)3（5-3）求得巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)后，根據(jù)式（4-6）和式（4-10）即可求出光子氣體的內(nèi)能和壓強(qiáng)。光子氣體的內(nèi)能為U 二 一三光子氣體的內(nèi)能為U 二 一三ln6二T 4那15C3h3(5-4)完美整理Word格式 TOC o 1-5 h z 光子氣體的壓強(qiáng)為 P = 1- - ln己=兀2卜4 T4(5-5)P d V45c3h3光子氣體的熵為S二k(ln巧泮)二k(lnH + PU)二害T3

19、(5-6)光子氣體的蛤?yàn)镠 = U + PV = % 2卜3V T4(5-7)45 c 3 h 3光子氣體的自由能為 F = U -TS =-K 2k4V T4(5-8)45c3h3光子氣體的吉布斯函數(shù)為 G = F + V = 0(5-9)6結(jié)論以上計(jì)算得知，光子氣體的內(nèi)能、壓強(qiáng)、熵、蛤和自由能都是溫度的函數(shù)， 因而與普通氣體一樣都具有熱力學(xué)特征，但吉布斯函數(shù)等于零，它們與普通氣體 有些差異。對(duì)于普通氣體，上述各熱力學(xué)量與溫度一次方成正比。而光子氣體的 內(nèi)能、壓強(qiáng)、蛤和自由能熱力學(xué)量卻與溫度的四次方成正比，光子氣體的熵與熱 力學(xué)量卻與溫度的三次方成正比，光子氣體的吉布斯函數(shù)與溫度無(wú)關(guān)。完美整理Word格式參考文獻(xiàn)1熊吟濤統(tǒng)計(jì)物理學(xué)M北京：人民教育出版社，1981年12月第一版，1982年6月。 王誠(chéng)泰統(tǒng)計(jì)物理學(xué)M北京：清華大學(xué)出版社，19