中學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)建模

1、中學(xué)數(shù)學(xué)建模論文輔導(dǎo)范中廣 鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系全國中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競賽河南賽區(qū) 2011-03-19主要內(nèi)容數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模案例學(xué)習(xí)論文形成 選題-身邊的數(shù)學(xué)論文寫作一種科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。 馬克思數(shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于它的概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的確定性，而且在于它的應(yīng)用的廣泛性。一 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型是以數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式、程序、圖形等為工具對(duì)現(xiàn)實(shí)問題或?qū)嶋H課題的本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略等。數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)建模一般并非現(xiàn)實(shí)問

2、題的直接翻版，它們的建立常常既需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問題有比較深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們能靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。這種應(yīng)用各種知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程被稱為數(shù)學(xué)建模。一 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的起源 數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)60和70年代進(jìn)入一些西方國家大學(xué)的，我國的幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂。經(jīng)過20多年的發(fā)展現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問題的能力開辟了一條有效的途徑。 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽最早是1985年在美國出現(xiàn)的，1989年在幾位從事數(shù)學(xué)建模教育的教師的組織和推動(dòng)下，我國幾所

3、大學(xué)的學(xué)生開始參加美國的競賽，而且積極性越來越高，近幾年參賽校數(shù)、隊(duì)數(shù)占到相當(dāng)大的比例?？梢哉f，數(shù)學(xué)建模競賽是在美國誕生、在中國開花、結(jié)果的。1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)組織舉辦了我國10城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽，74所院校的314隊(duì)參加。教育部領(lǐng)導(dǎo)及時(shí)發(fā)現(xiàn)、并扶植、培育了這一新生事物，決定從1994年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，每年一屆。十幾年來這項(xiàng)競賽的規(guī)模以平均年增長25%以上的速度發(fā)展。 數(shù)學(xué)建模的起源數(shù)學(xué)建模的意義 1、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力 2、訓(xùn)練快速獲取信息和資料的能力 3、鍛煉快速了解和掌握新知識(shí)的技能 4、培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和

4、團(tuán)隊(duì)合作精神 5、增強(qiáng)寫作技能和排版技術(shù) 6、榮獲國家級(jí)獎(jiǎng)勵(lì)有利于保送研究生 7、榮獲國際級(jí)獎(jiǎng)勵(lì)有利于申請(qǐng)出國留學(xué) 8、更重要的是訓(xùn)練人的邏輯思維和開放性思考方式 中學(xué)數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生的歷史背景社會(huì)上對(duì)造成學(xué)生應(yīng)用意識(shí)淡薄、應(yīng)用能力低下的數(shù)學(xué)現(xiàn)狀感到不滿；學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不大，缺少學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)展，迫切要求數(shù)學(xué)教育作出反應(yīng)。計(jì)算機(jī)在高速、智能、小型、價(jià)廉四個(gè)方面迅速發(fā)展，為數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了物質(zhì)基礎(chǔ)和可能性。中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的困難中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少，完成教學(xué)計(jì)劃尚不十分從容，還要應(yīng)付會(huì)考、高考，沒有時(shí)間搞建模；能適合中學(xué)生水平能結(jié)合課本教學(xué)內(nèi)容的建模問題不多，使得有心

5、嘗試者有“巧婦難為無米之炊”的感覺。在教學(xué)第一線的教師常常有較重教學(xué)負(fù)擔(dān)，他們對(duì)正常教學(xué)內(nèi)容比較熟悉，課外內(nèi)容相對(duì)陌生。而建模步驟中不僅要求有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還有涉及非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，除了數(shù)學(xué)方法和物理方法外，還經(jīng)常需要計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬、試算、檢驗(yàn)等，這不僅對(duì)學(xué)生，而且對(duì)教師都會(huì)遇到知識(shí)或方法上的困難。 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的問題模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的

6、數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模案例例1 三村短路問題 有三個(gè)村莊，由于條件所限，打算合建一所小學(xué)，并且共同修筑從小學(xué)到各村的道路。問應(yīng)該將小學(xué)的地址選在什么地方，才能使修筑的道路總長度最短呢？例1 三村短路問題 假設(shè)三個(gè)村莊的位置分別為A1、A2、A3，小學(xué)的位置為點(diǎn)P，則三村短路問題可敘述為： A1、A2、A3為平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，在平面上求一點(diǎn)P，使得它到這三個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最小。例1 三村短路問題解法一

7、在平面上建立直角坐標(biāo)系，設(shè)已知Ai坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3），所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，y）。則我們只需求二元函數(shù)Sf（x，y）的最小值點(diǎn)即可。例1 三村短路問題解法二（幾何方法）例1 三村短路問題解法三（物理方法）例2 雙層玻璃的功效在寒冷的北方， 許多住房的玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們的差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。2、室內(nèi)溫 度T1與戶外溫 度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系

8、數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時(shí)間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為Q ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式 Q=kT/d 解得：例2 雙層玻璃的功效dd室外T2室內(nèi)T1類似有 一般故記h=l/d并令f(h)= 例2 雙層玻璃的功效此函數(shù)的圖形為01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)例2 雙層玻璃的功效 一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。 一個(gè)

9、似乎很簡單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑是不是最好的策略？試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。 例3 雨中行走問題（一）建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度。 （二）模型假設(shè)及符號(hào)說明1、把人體視為長方體，身高h(yuǎn)米，寬度w米，厚度d米。淋雨總量用C升來記。2、降雨大小用降雨強(qiáng)度I厘米/時(shí)來描述， 降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上降下雨水的厚度。在這里可視其為一常量。3、風(fēng)速保持不變。4、你以

10、恒定的速度v米/秒跑完全程D米。 （三）模型建立與計(jì)算你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，則計(jì)算 得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。從而可以計(jì)算被淋的雨水總量為C=2.041升。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因是什么呢？三 數(shù)學(xué)應(yīng)用論文形成選題：問題的提出；了解背景知識(shí)，做初步分析；確定變量和參量，合理假設(shè)化簡并抓住關(guān)鍵，獲取數(shù)據(jù)（書籍，網(wǎng)絡(luò)，自己采集）；數(shù)據(jù)整理（去糙取精，規(guī)范化，量化） 建模：列數(shù)學(xué)式子，給定計(jì)算方法；模型求解；推理嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算準(zhǔn)確；檢驗(yàn)結(jié)論，誤差估計(jì)，

11、參數(shù)的靈敏性表述成文，給出問題解決方案全國中學(xué)生數(shù)理化能力大賽筆試：考察邏輯推理，計(jì)算的能力 數(shù)學(xué)小論文：運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和分析、想象能力探討或解決一個(gè)實(shí)際問題。論文是對(duì)某一實(shí)際問題的探討、研究，表述新的科學(xué)研究成果或創(chuàng)見的文章，是科學(xué)論文，它隸屬于論說文范疇。它不是感想，也不是調(diào)查報(bào)告。要求真實(shí)可靠，不是編的數(shù)學(xué)題。論文選題新穎，有意義，力所能及. 1.有價(jià)值真實(shí)問題2.有基礎(chǔ)善于觀察3.有特色發(fā)揮想象力4.有可行性仔細(xì)推敲難點(diǎn)：1 哪些實(shí)際問題可以使用數(shù)學(xué)2 如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題3 如何解決實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)問題例1下圖是兩種不同的鞋帶穿法，如果系上鞋帶以后兩排鞋眼是平行的，請(qǐng)判斷

12、，哪種穿法所需鞋帶的長度短一些？身邊的數(shù)學(xué)例 2 目前市場上銷售一種“雷達(dá)牌”蚊香，每盤蚊香如圖1所示，圖中標(biāo)有a，b數(shù)值(單位：毫米)，使用時(shí)拆成兩片，如圖所示b=106 a=119經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該蚊香的燃燒速度約為每小時(shí) 120 毫米請(qǐng)用近似的方法回答下列問題 （1）每一片蚊香大約可以燃燒多長時(shí)間； （2）根據(jù)市場需求請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)持續(xù)燃燒時(shí)間分別為4小時(shí)、8小時(shí)、10小時(shí)的蚊香，蚊香燃燒速度不變分別計(jì)算出它們的a值b=106 a=119例3.某地發(fā)行10萬張彩票，其中有100張能中獎(jiǎng)。這時(shí)如果隨機(jī)抽取一張，中獎(jiǎng)的概率為千分之一（100張/100000張=1/1000）。小王認(rèn)為買1000張彩票就

13、應(yīng)該能中獎(jiǎng)。但他買了1000張后卻沒有中獎(jiǎng)。他很不高興。他的一個(gè)朋友告訴他：買1000張彩票不中獎(jiǎng)的概率要大于36.4%，他很吃驚。這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？例4. 為促銷，甲商店宣布買100元的商品，返回顧客現(xiàn)金30元，乙商店宣布買100元商品送40元代金券。丙商店宣布買100元商品送30元代金券，循環(huán)。（代金券也反券）問哪一種促銷對(duì)顧客更合算？請(qǐng)說明理由。 例 5北京市出租車計(jì)價(jià)是如下規(guī)定的：行程在3公里以內(nèi)10元；大于等于3公里，每公里2元;總里程大于等于15公里的部分加收50%每半公里計(jì)一次價(jià)，不足半公里按半公里計(jì)，例如，當(dāng)行駛路程x(公里)滿足12x12.5時(shí)，按12.5公里計(jì)價(jià)；當(dāng)12.5x1

14、3時(shí)，按13公里計(jì)價(jià)途中時(shí)速低于12公里(稱為等候)時(shí)，每累計(jì)2.5分鐘加收1元，不足2.5分鐘不計(jì)，例如，累計(jì)時(shí)間t(分鐘)滿足5t7.5時(shí)，按5分鐘計(jì)價(jià)；7.5t10時(shí)，按7.5分鐘計(jì)價(jià)晚11點(diǎn)到次日早5點(diǎn)為夜間，夜間起價(jià)11元，上述其它金額均加收20%的費(fèi)用 (1) 如果無等候，白天乘出租車行駛28.8公里的費(fèi)用是多少？(2) 如果無等候，白天乘出租車行駛14.4公里下車，再換乘另一輛出租車行駛14.4公里的總費(fèi)用是多少?(3) 寫出白天乘出租車無等候行駛公里與應(yīng)付費(fèi)用y之間的函數(shù)關(guān)系式(4) 如果無等候，白天從上地工業(yè)園區(qū)乘出租車去41公里處的亦莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，直接乘車到達(dá)花多少錢？最省錢的乘車方案是什么？這個(gè)方案費(fèi)用是多少？四 論文寫作標(biāo)題 摘要關(guān)