2023屆高三新高考數(shù)學(xué)試題一輪復(fù)習(xí)專題2.3基本不等式 教案講義 （Word解析版）

1、第 Page * MergeFormat 14 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 14 頁2.3 基本不等式課標要求考情分析核心素養(yǎng)1.了解基本不等式的證明過程;2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.新高考3年考題題 號考 點數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算邏輯推理2022()卷8利用基本不等式求最值，球的切接問題，棱錐的體積2022()卷12利用基本不等式求最值2021()卷5利用基本不等式求最值，橢圓的標準方程2020()卷12利用基本不等式求最值1.基本不等式:ab（1）基本不等式成立的條件：a0,b0（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.2.幾個重要的不等式（1）

2、a2+b2（3）ab（4）a以上不等號成立的條件均為a=b.3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0,b0，則a,b的算術(shù)平均數(shù)為a+b基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4.利用基本不等式求最值問題已知x0,（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值（2）如果和x+y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值p21.212.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一定，二證，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.3.在利用不等式求最值時，盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，則一定要保證等號成立的一致性.4.利用基本不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形，

3、配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式.1.【P48 T1】若x1，則4x+1+1x-1A. 6 B. 9 C. 4 D. 12.【P47 T4】如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過C點.已知AB=4米，AD=3米，設(shè)AN的長為xx3米.()要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？()求當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值.考點一利用基本不等式求最值【方法儲備】1.利用基本不等式解決條件最值問題的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值，主要有三種思路：2

4、.利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：（1）配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；（2）代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標；（3）拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.3.常數(shù)代換法求最值的步驟【特別提醒】利用兩次或多次基本不等式求最值時,一定要確保各次使用基本不等式時等號能同時成立,否則所求得的值不是最值.角度1 配湊法求最值【典例精講】例1.(2022湖北省聯(lián)考)已知ab，且ab=8，則a2A. 6 B. 8 C. 14 D. 16【名師點睛】配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵,利用配湊法求最值,主要是配湊成“和

5、為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.【靶向訓(xùn)練】 練1-1(2022福建省期末)已知t0，則y=t2-4t+1tA. -2B. 12C. 1D. 練1-2(2022河北省四校聯(lián)考.多選)已知xy1，則( )A. xy+1yx+4的最小值為9 B. “x23x-1”是“y3”的必要不充分條件角度2 常數(shù)代換法求最值【典例精講】例2.(2022湖北省期末)已知正數(shù)x，y滿足：1x+3y+2A.2+3B.2+23C.6例3.(2022吉林省期末)設(shè)a0，b1，若a+b=2，則【名師點睛】常數(shù)代換法主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求aax【靶向訓(xùn)練】 練1-3(2022湖北省孝感市期末)設(shè)x與y均

6、為正數(shù)，且3x+2+3y+2=1，則x+2y練1-4(2022廣東省湛江市期末.多選)下列結(jié)論正確的是()A. 當(dāng)x0時，x+1x2 B. 當(dāng)x0時，x2+5x2+4的最小值是2C. 當(dāng)x0，y0，滿足x2+2xy-2=0，則2x+y【名師點睛】當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時,通?？紤]利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數(shù)或積為常數(shù)”,最后利用基本不等式求最值.【靶向訓(xùn)練】 練1-5(2022江蘇省揚州市期末)已知正實數(shù)x，y滿足x+y=1，則x+2y+3xy的最小值為練1-6(2022江蘇省無錫市期末.多選)已知a0，b0，a+b2A. 3a-b的最大值為3B. ba的最大值為12C

7、. a+考點二利用基本不等式解決實際問題【方法儲備】利用基本不等式解決實際應(yīng)用題的基本思路:【典例精講】例5.(2022湖南省期末)物聯(lián)網(wǎng)(InternetofThings,IOT)是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能行使獨立功能的普通物體實現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò)其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境(家庭、辦公、工廠)等，具有十分廣闊的市場前景現(xiàn)有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費y1(單位：萬元)，倉庫到車站的距離x(單位：千米，x0)，其中y1與x+1成反比，每月庫存貨物費y2(單位：萬元)與x成正比；若在距離車站

8、9千米處建倉庫，則y1和【名師點睛】利用基本不等式求解實際問題時根據(jù)實際問題抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值【靶向訓(xùn)練】練2-2(2022廣東省揭陽市期末)習(xí)近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺16200元,第一年每臺設(shè)備的維修保養(yǎng)費用為1100元,以后每年增加400元,每臺充電樁每年可給公司收益8100元(1

9、)每臺充電樁第幾年開始獲利？(2)每臺充電樁在第幾年時，年平均利潤最大核心素養(yǎng)系列 數(shù)學(xué)運算、邏輯推理利用基本不等式解決恒成立或有解問題【方法儲備】恒成立問題:若fx在區(qū)間D上存在最小值，則不等式fxA在區(qū)間存在性問題:若fx在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在x使fx若fx在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在x使fx【典例精講】例6.( 2022江蘇省揚州市模擬)已知x0，y0，且2x+1y=1，若x+2y【名師點睛】分離參數(shù)是處理此類問題的首選方法，一般轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值或某個函數(shù)的最值問題。【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022北京市模擬)已知不等式(x+y)1x+ay9對任意正實數(shù)xA

10、. 2B. 4C. 6D. 8練3-2(2022河南省平頂山市模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2-3x+20的解集為x|xb()求a，b的值；()當(dāng)x0，y0且滿足ax+易錯點1忽略基本不等式取等條件例7.(2022廣東省模擬.多選)列說法正確的是()A. 若ab,c0，則a2cb,c0，則a3c1,得x-10， 4x+1+1x-1=4(x-1)+1x-1+524+5=9， 當(dāng)且僅當(dāng)4(x-1)=2.【解析】設(shè)AN的長為x米(x3)，ABCD是矩形，且AB=4米，AD=3米，DNAN=DCAM，|AM|=4xx-3,S矩形AMPN=|AN|AM|=4x2x-3(x3)，()由S矩形AMPN54,得

11、4x2x-354,x3,(2x-9)(x-9)0,3x9,AN長的取值范圍是(3,92)(9,+)【考點探究】例1.【解析】因為ab=8,所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=a-b+16a-b， 因為ab,所以 a-b0,所以a-b+練1-1.【解析】t0,則y=t2-4t+1t=t+1t-42t1t-4=-2， 當(dāng)且僅當(dāng)t=1t,即t=1時,練1-2.【解析】xy+1yx+4=5+4xy+yx5+24=9， 當(dāng)且僅當(dāng)4xy=yx,即 yx=2時,等號成立,但xy1,則yx2,所以選項A錯誤 若y3,則由xy1,得x3,所以x23x3x-1,則x23x-1 反之,由x23x-1不

12、能推出y3,故選項B正確 因為xy1， 所以x+y+4(x-1+y)xy-y=x+y+4y+4x-1=x-1+4x-1+y+4y+124+24+1=9， 當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=2時,等號成立，故x+y+4(x-1+y)xy-y的最小值為9,選項C正確 例2.【解析】因為1x+3y+2=1， 所以x+y=x+y+2-2=x+y+21x+3y+2-2=2+y+2例3.【解析】因為a0,b1,a+b=2， 則9a+1b-1=(9a+1b-1)練1-3.【解析】根據(jù)題意,x與y均為正數(shù),且3x+2+3y+2=1， 所以 x+2y=(x+2)+2(y+2)-6=(x+2)+2(y+2)3x+2+3y+2-

13、6 =3+6(y+2)x+2+3(x+2)y+23+26(y+2)x+2練1-4.【解析】對于選項A,當(dāng) x0時,x0,可得x當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號,結(jié)論成立,故A正確； 對于選項B,當(dāng)x0時,x2+44,可得x2+5x2+4=x2+4x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+42x2+41x2+4=2， 當(dāng)且僅當(dāng)x2+4=1x2+4時取等號， 但x2+42,等號取不到，因此x2+5x2+4的最小值不是2,故B錯誤； 對于選項C,因為x0， 則y=2x-1+2例4.【解析】由x2+2xy-2=0,得y=2-x22x=1x-x2,x(0,2) 所以2x+y=2x+1x-x2=練1-5.【解析】正實

14、數(shù)x,y滿足 x+y=1， y=1-x,x(0,1),x+2y+3xy=5-xx1-x， 令t=5-x(4,5)， 則x+2y+3xy=5-xx1-x練1-6.【解析】由a0,b0,a+b2=1,得a=1-b20,所以0a1,0b1， 根據(jù)0b1,所以3a-b31=3，故選項A錯誤； ba=1-aa1-a+a2=12,當(dāng)且僅當(dāng)1-a=a,即a=12時等號成立， 所以ba的最大值為12,故選項B正確； 因為b=1-a,所以a+b=所以1a+1當(dāng)且僅當(dāng)b2a+1=a+1b2,即a=0,b=1時等號成立,這與0a0，當(dāng)x=9時，y1=k9+1=2，y2=9m=7.2，解得k=20，m=0.8，所以y1=20 x+1，y