量子力學(xué)初步

1、量子力學(xué)初步1. 設(shè)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為中(r,t),則 w *表示；中(r, t)須滿足的條件是 ； 其歸一化條件是將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)增大D倍，則粒子在空間的分布概率將.(填入：增大D2倍、增大2D倍、增大D 倍或不變)粒子在一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)勢阱寬度為。，其波函數(shù)為中 G )= ：Nsin*(0 x h可得光子的x坐標(biāo)的不確定量至少為粒子做一維運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為T（ x ）=1人式中人0，粒子出現(xiàn)的概率最大的位置為x =.量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)是指這種效應(yīng)是微觀粒子 的表現(xiàn).一維無限深方勢阱中，已知?jiǎng)葳鍖挾葹閍，應(yīng)用測不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)勢阱中 質(zhì)量為m的粒子的零點(diǎn)能量為.按照普朗

2、克能量子假說，頻率為v的諧振子的能量只能為；而從量子力學(xué)得出，諧振子的能量只能為.頻率為V的一維線性諧振子的量子力學(xué) 解，其能量由下式給 出：，其中最低的量子態(tài)能量為，稱為“零點(diǎn) 能”.根據(jù)量子力學(xué)，粒子能透入勢能大于其總能量的勢壘，當(dāng)勢壘加寬時(shí)， 貫穿系數(shù)；當(dāng)勢壘變高時(shí)，貫穿系數(shù).(填入：變大、變 小或不變)寫出以下算符表達(dá)式： p = ； H = ；人L =.y與p的對易關(guān)系f,p 等于.試求出一維無限深方勢阱中粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)七G)sin學(xué)( =1,2,3, .)的歸一化形式.式中a為勢阱寬度.利用不確定關(guān)系式AxAp 2們 估算在直徑為d = 10-14 m的核內(nèi)的質(zhì)子最 小動(dòng)能的數(shù)量

3、級.質(zhì)子的質(zhì)量m=1.67x10-27 kg，普朗克常量龍=6.63x10-34J0已知粒子處于寬度為a的一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為中G)=sin呸，n = 1,2,3, .試計(jì)算n=1時(shí)，在x1=a/4 一 x2=3a/4區(qū)間找到粒子的概率.一維無限深方勢阱中的粒子，其波函數(shù)在邊界處為零，這種定態(tài)物質(zhì)波 相當(dāng)于兩段固定的弦中的駐波，因而勢阱的寬度a必須等于德布羅意波半波 長的整數(shù)倍。試?yán)眠@一條件求出能量量子化公式n 8ma 218.一彈簧振子，振子質(zhì)量m = 10-3 kg，彈簧的勁度系數(shù)km=10 Nm-1.設(shè)它作簡諧振動(dòng)的能量等于kT般為玻爾茲曼常量，T=300 K.試按量子力學(xué)

4、結(jié)果計(jì)算此振子的量子數(shù)，并說明在此情況下振子的能量實(shí)際上可以看作是連續(xù)變化的. 般=1.38x10-23 J.K-1，龍=6.63x10-34js一粒子被限制在相距為l的兩個(gè)不可穿透的壁之間，如下圖.描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)為甲=cx(l - x),其中c為待定常量.求在031區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒子的概率.威爾遜云室是一個(gè)充滿過飽和蒸汽的容器。射入的高速電子使氣體分子 或原子電離成離子。以離子為中心過飽和蒸汽凝結(jié)成小液滴，在強(qiáng)光照射下， 可看到一條白亮的帶狀痕跡，即粒子的軌跡。徑跡的線度是10-4cm，云室中 的電子動(dòng)能等于108 eV。討論威爾遜云室中的電子是否可以看成經(jīng)典粒子？粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)

5、動(dòng)，其波函數(shù)為W (x)= Rsin nX ,(0 x a) n V a v aW (x ) = 0, (x a )試計(jì)算動(dòng)量和動(dòng)能的平均值.22.諧振子的歸一化的波函數(shù)為w(x)=gx)+ 土+巳。其中，(X)是歸一化的諧振子的定態(tài)波函數(shù)。求：c和能量的可能取值，以及平均 n能量E。23. 氫原子的直徑約10-10 m，求原子中電子速度的不確定量。按照經(jīng)典力學(xué)，認(rèn)為電子圍繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，它的速度是多少？結(jié)果說明什么問題?答案1.粒子在時(shí)刻在a, y, z）處出現(xiàn)的概率密度單值、有限、連續(xù)jjj R 2dxdydz = 12.小變3.a2.小變3.a/6, a/2, 5a/64.1.06x

6、10-24 (或 4.1.06x10-24 (或 6.63x10-24 或 0.53x10-24 或 3.32x10-24)參考解:根據(jù)AyAp h或AyAp h或AyAp 1力或AyAp 1 h，可得以上答 yy 2y 25.6.7.250 cm1人微觀粒子能量E小于勢壘U5.6.7.250 cm1人微觀粒子能量E小于勢壘U0時(shí)，粒子有一定的幾率貫穿勢壘的現(xiàn)象波動(dòng)性8.2ma 29.nhn=1, 2,n=0, 1, 2, 10.n=0, 1, 2, 10.1床 h211.變小變小12. - 12. - dxV 2 + U 2m13. ih 14.解：所謂歸一化就是讓找到粒子的概率在可能找到的

7、所有區(qū)域內(nèi)進(jìn)行積分，并使之等于io。,即= i以里，我們的I司題是要j AzsiruxAx = 1 a o即aM /(nnxnna/a = 1所以A = J2/a于是，得到歸一化的波函數(shù)中 G)= J2/q sin 竺 (n = 1,2,3, )a解：由不確定關(guān)系A(chǔ)xAp hX得A/? /z/Ax = hldXp最小值為/z/d時(shí)，p |的最小值數(shù)量級)也為h/d ,應(yīng)用動(dòng)能與動(dòng)量的經(jīng)典關(guān)系E =2/(2秫) K艮口E = P2 /(2m) = h2 /(2mJ2)= 1.3 x IO-12 Jmin3彳4 2 3彳4 2 . nx .J sin 2dxa aq/43fv * (加(面二1 1

8、q/4=(+ 1) = + = 0.818 TOC o 1-5 h z 7i 22 n 17.解：據(jù)已知條件1 =泌/2又據(jù)德布羅意公式X = hlg得g=h/X無限深勢阱中粒子的能量為E =22即m) = m j= j2mE (3由、式解得2mE 由、式解得2mE =/人 2以代入得 2mE =2% n 2 n 4a 2h 2所以n 2所以8ma 2kT 1n =hv kT 1n =hv 22兀kT1= 3.92 x 10112相鄰能級間隔hv = 1.055 x 10-32J此能量間隔與振子能量kT比較，hv11R = kT n 3.92 x 1011實(shí)在太小了，因此振子的能量可以看作是連

9、續(xù)改變的解：由波函數(shù)的性質(zhì)得J T |2 dx =10即jc 2 x 2(/-x)2dx =10由此解得C 2 = 30/15, C =再077 /12設(shè)在011區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)該粒子的概率為尸，則3,，,17|2 dx = J 30 x2(/-x)2/15dx = 81020.解：Ax 10-4 cm , E = 108 eV電子的平均動(dòng)量為:p = %：2mE x 1.8 x 10-23 kg- m/s力AP =x 10-28 kg- m/s p2 Ax可見，在威爾遜云室中，電子坐標(biāo)和動(dòng)量的取值基本上可以認(rèn)為是確定的，可以使用軌道的概念.21.解：動(dòng)量算符為八 dp = -in xdx故，動(dòng)量的

10、平均值為(x )dx np - fv *(x)p V (x)dx = J(x )dx nxnx nn2方 f .(-isin Ia k a )0nn x A a .sindx(nn x Adx-i (判sin (牛 Acos0動(dòng)能算符為- p 2力 2 a 2T 2m2m dx 2fv *fv *(x)TV (x)dx -fv * (x)故，T -nn(x )dx 村2n 2 x x 2ma 222.解：由歸一化條件得：疝+ & +IC2- 1 解得：c -根據(jù)諧振子波函數(shù)的表達(dá)式，可知能量E的可能值為：E0、E2、E3因?yàn)?所以:則：157.所以:則：157.E = h ； E = h ； E = h0 22 23 2.-加 + | 可2.5 加+L ：-|2.7 成22| 2 2-2hv23.解：由不確定關(guān)系A(chǔ)pAx - mAvAx 方/2估計(jì)，有-0.6 x 106 m/s. -0.6 x 106 m/sAv 2mAx2 x 9.1 x 10-31