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1、第八章 常微分方程 在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對客觀事物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性進(jìn)行研究,往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系,但根據(jù)問題的性質(zhì),常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式,這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。微分方程又分為常微分方程和偏微分方程,本章討論的是前者。第八章 常微分方程 在力學(xué)、物理學(xué)及工程技 主 要 內(nèi) 容8.1 常微分方程的基本概念8.2 一階微分方程8.3 可降階的高階微分方程8.4 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)8.5 二階常系數(shù)線性微分方程8.6 一階差分方程 主 要 內(nèi) 容8.1 常微分一、問題的提出二、微分方程的基本概念三、小結(jié) 8.1 微分方程的基本概念一、問題的提出
2、二、微分方程的基本概念三、小結(jié) 8.1 一、問題的提出解一、問題的提出解解解代入條件后知故開始制動(dòng)到列車完全停住共需代入條件后知故開始制動(dòng)到列車完全停住共需1.微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、微分方程的基本概念未知函數(shù)可以不出現(xiàn),但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。1.微分方程:例實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程,稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程,稱為偏微分方程。分類1: 常微分方程, 偏常微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程,稱為常微分方程。未知函數(shù)為多
3、元 例常微分方程偏微分方程 例常微分方程偏微分方程微分方程的階:指微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù).一階微分方程分類2:一階微分方程,高階微分方程高階(n2)微分方程微分方程的階:指微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最一階微分方程分類 若一個(gè)方程對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的,且不含這些變量的乘積項(xiàng),則稱該方程為線性方程。 否則,稱之為非線性方程。分類3: 線性與非線性微分方程. 若一個(gè)方程對未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次 一階線性二階線性一階非線性一階線性二階線性一階非線性n階線性微分方程的一般形式:n階線性微分方程的一般形式:2.微分方程的解:指代入微分方程能使方程成為恒等
4、式的函數(shù). 2.微分方程的解:微分方程的解的分類:(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.微分方程的解的分類:(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù)3. 積分曲線(解的幾何意義)常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線。如3. 積分曲線(解的幾何意義)常微分方程解的幾何圖形稱為它的過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.4. 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定解解8-1常微分方程的基本概念課件微分方程;微分方
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