圓錐曲線存在性問題

1、.圓錐曲線中的存在性問題一、基礎(chǔ)知識 1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時,通常先假定所求的要素點,線,圖形或是參數(shù)存在,并用代數(shù)形式進行表示。再結(jié)合題目條件進行分析,若能求出相應(yīng)的要素,則假設(shè)成立；否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替1點：坐標2直線：斜截式或點斜式通常以斜率為未知量3曲線：含有未知參數(shù)的曲線標準方程3、解決存在性問題的一些技巧：1特殊值點法：對于一些復(fù)雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。2核心變量的選?。阂驗榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素作為核心變量,其余變量

2、作為輔助變量,必要的時候消去。3核心變量的求法：直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素,并進行求解間接法：若無法直接求出要素,則可將核心變量參與到條件中,列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程組,運用方程思想求解。二、典型例題：例1：已知橢圓的離心率為,過右焦點的直線與相交于兩點,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,坐標原點到的距離為。 1求的值 2上是否存在點,使得當(dāng)繞旋轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的的坐標和的方程,若不存在,說明理由解：1則,依題意可得：,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r解得： 橢圓方程為：2設(shè), 當(dāng)斜率存在時,設(shè)聯(lián)立直線與橢圓方程： 消去可得：,整理可得： 因為在橢圓上當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)斜率不存在時,可知,

3、則不在橢圓上綜上所述：,或,例2：過橢圓的右焦點的直線交橢圓于兩點,為其左焦點,已知的周長為8,橢圓的離心率為1求橢圓的方程2是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且？若存在,求出該圓的方程；若不存在,請說明理由解：1由的周長可得：橢圓2假設(shè)滿足條件的圓為,依題意,若切線與橢圓相交,則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)若直線斜率存在,設(shè),與圓相切 即聯(lián)立方程：對任意的均成立將代入可得：存在符合條件的圓,其方程為：當(dāng)斜率不存在時,可知切線為若,則符合題意若,同理可得也符合條件綜上所述,圓的方程為：例3：已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左,右焦點分別為和1求橢圓的方程2設(shè)橢圓與軸負半軸交點為,過

4、點作斜率為的直線,交橢圓于兩點在之間,為中點,并設(shè)直線的斜率為證明：為定值是否存在實數(shù),使得？如果存在,求直線的方程；如果不存在,請說明理由解：1依題意可知：可得：橢圓方程為：,代入可得：橢圓方程為：2證明：設(shè),線段的中點設(shè)直線的方程為：,聯(lián)立方程：化為：由解得：且假設(shè)存在實數(shù),使得,則即因為在橢圓上,所以,矛盾所以不存在符合條件的直線例4：設(shè)為橢圓的右焦點,點在橢圓上,直線與以原點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切1求橢圓的方程2過點的直線與橢圓相交于兩點,過點且平行于的直線與橢圓交于另一點,問是否存在直線,使得四邊形的對角線互相平分？若存在,求出的方程；若不存在,說明理由解：1與圓相切

5、將代入橢圓方程可得：橢圓方程為：2由橢圓方程可得：設(shè)直線,則聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：同理：聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：因為四邊形的對角線互相平分四邊形為平行四邊形解得：存在直線時,四邊形的對角線互相平分例5：橢圓的左右焦點分別為,右頂點為,為橢圓上任意一點,且的最大值的取值范圍是,其中1求橢圓的離心率的取值范圍2設(shè)雙曲線以橢圓的焦點為頂點,頂點為焦點,是雙曲線在第一象限上任意一點,當(dāng)取得最小值時,試問是否存在常數(shù),使得恒成立？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由解：1設(shè)由可得：代入可得：2當(dāng)時,可得：雙曲線方程為,設(shè),當(dāng)軸時, 因為所以,下面證明對任意點均使得成立考慮由雙曲線方程,可

6、得：結(jié)論得證時,恒成立例6：如圖,橢圓的離心率是,過點的動直線與橢圓相交于兩點,當(dāng)直線平行于軸時,直線被橢圓截得的線段長為1求橢圓的方程2在平面直角坐標系中,是否存在與點不同的定點,使得對于任意直線,恒成立？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由解：1橢圓方程為由直線被橢圓截得的線段長為及橢圓的對稱性可得：點在橢圓上橢圓方程為2當(dāng)與軸平行時,由對稱性可得：即在的中垂線上,即位于軸上,設(shè)當(dāng)與軸垂直時,則可解得或不重合 下面判斷能否對任意直線均成立若直線的斜率存在,設(shè),聯(lián)立方程可得：由可想到角平分線公式,即只需證明平分只需證明因為在直線上,代入可得：聯(lián)立方程可得：成立平分由角平分線公式可得：例

7、7：橢圓的上頂點為,是上的一點,以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點1求橢圓的方程2動直線與橢圓有且只有一個公共點,問：在軸上是否存在兩個定點,它們到直線的距離之積等于1？若存在,求出這兩個定點的坐標；如果不存在,請說明理由解：由橢圓可知：為直徑的圓經(jīng)過由在橢圓上,代入橢圓方程可得：橢圓方程為2假設(shè)存在軸上兩定點,設(shè)直線 所以依題意：因為直線與橢圓相切,聯(lián)立方程：由直線與橢圓相切可知化簡可得：,代入可得：,依題意可得：無論為何值,等式均成立所以存在兩定點：例8：已知橢圓的左右焦點分別為,點是上任意一點,是坐標原點,設(shè)點的軌跡為1求點的軌跡的方程2若點滿足：,其中是上的點,且直線的斜率之積等于,是否存在

8、兩定點,使得為定值？若存在,求出定點的坐標；若不存在,請說明理由1設(shè)點的坐標為,點的坐標為,則由橢圓方程可得： 且代入到可得：2設(shè)點,設(shè)直線的斜率分別為,由已知可得：考慮是上的點 即的軌跡方程為,由定義可知,到橢圓焦點的距離和為定值為橢圓的焦點 所以存在定點例9：橢圓的焦點到直線的距離為,離心率為,拋物線的焦點與橢圓的焦點重合,斜率為的直線過的焦點與交于,與交于1求橢圓及拋物線的方程2是否存在常數(shù),使得為常數(shù)？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由解：1設(shè)的公共焦點為2設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立方程：直線與拋物線聯(lián)立方程：是焦點弦 若為常數(shù),則例10：如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,直線與軸

9、交于點,與橢圓交于兩點,當(dāng)直線垂直于軸且點為橢圓的右焦點時,弦的長為1求橢圓的方程2是否存在點,使得為定值？若存在,請求出點的坐標,并求出該定值；若不存在,請說明理由解：1依題意可得：當(dāng)與軸垂直且為右焦點時,為通徑2思路：本題若直接用用字母表示坐標并表示,則所求式子較為復(fù)雜,不易于計算定值與的坐標。因為要滿足所有直線,所以考慮先利用特殊情況求出點及定值,再取判定或證明該點在其它直線中能否使得為定值。解：2假設(shè)存在點,設(shè)若直線與軸重合,則若直線與軸垂直,則關(guān)于軸對稱設(shè),其中,代入橢圓方程可得：,可解得：若存在點,則。若,設(shè)設(shè),與橢圓聯(lián)立方程可得：,消去可得：,同理：代入可得：所以為定值,定值為若

10、,同理可得為定值綜上所述：存在點,使得為定值三、歷年好題精選1、已知中心在原點,焦點在坐標軸上的橢圓過點,離心率為,過直線上一點引橢圓的兩條切線,切點分別是1求橢圓的方程2若在橢圓上的任一點處的切線方程是,求證：直線恒過定點,并求出定點的坐標3是否存在實數(shù),使得恒成立？點為直線恒過的定點,若存在,求出的值；若不存在,請說明理由2、已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,是橢圓上的一點1求橢圓的方程2設(shè)分別是橢圓的左右頂點,是橢圓上異于的兩個動點,直線的斜率之積為,設(shè)與的面積分別為,請問：是否存在常數(shù),使得恒成立？若存在,求出的值,若不存在,請說明理由3、已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左,右焦點分別為

11、和1求橢圓的方程2設(shè)橢圓與軸負半軸交點為,過點作斜率為的直線,交橢圓于兩點在之間,為中點,并設(shè)直線的斜率為證明：為定值是否存在實數(shù),使得？如果存在,求直線的方程；如果不存在,請說明理由4、已知圓,定點,點為圓上的動點,點在上,點在上,且滿足1求點的軌跡的方程2過點作直線,與曲線交于兩點,是坐標原點,設(shè),是否存在這樣的直線,使得四邊形的對角線相等即？若存在,求出直線的方程；若不存在,試說明理由5、2014,XX已知雙曲線的兩條漸近線分別為,1求雙曲線的離心率2如圖,為坐標原點,動直線分別交直線于兩點分別在第一、四象限,且的面積恒為8,試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在,求

12、出雙曲線的方程；若不存在請說明理由習(xí)題答案：1、解析：1橢圓過點,再由可解得：橢圓方程為：2設(shè)切點坐標為,直線上一點,依題意可得：兩條切線方程為：,由切線均過可得：均在直線上因為兩點唯一確定一條直線,即過定點,即點的坐標為3聯(lián)立方程：,不妨設(shè),使得恒成立2、解析：1拋物線的焦點為依題意可知：橢圓方程為：2由1可得：,若直線斜率存在設(shè),到直線的距離到直線的距離聯(lián)立方程：*,代入到*可得：或當(dāng)時,交點與重合,不符題意,代入到可得：,即3、解：1依題意可知：可得：橢圓方程為：,代入可得：橢圓方程為：2證明：設(shè),線段的中點設(shè)直線的方程為：,聯(lián)立方程：化為：由解得：且假設(shè)存在實數(shù),使得,則即因為在橢圓上,所以,矛盾所以不存在符合條件的直線4、解析：1由可得為的中點,且為的中垂線點的軌跡是以為焦點的橢圓,其半長軸長為,半焦距軌跡方程為：2因為 四邊形為平行四邊形若,則四邊形為