三角恒等變換的常用技

1、三角恒等變換的常用技巧在不改變結(jié)果的前提下，運(yùn)用基本公式及結(jié)論，從角、名、次方面入手，把一個(gè)三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)比較簡單、便于研究的形式，這種變形叫做三角恒等變換三角恒等變換的常見變換技巧歸納如下：題型一：常值代換(特別是“1”的代換)【知識(shí)】,.兀1二sm2+cos2a=tan二sec2a-tan2a二csc2a-cot2a.4【鞏固與應(yīng)用】若xg(匹,5)，則ul-sinx可化為()D22A.2sin(+)B.92cos(+)C.2cos()D.、：2sin()24242424已知tana=72，求值：2sin2asinacosa+cos2a.題型二：公式變形【知識(shí)】tanatan卩二(1

2、tanatan卩)tan(a土卩).【鞏固與應(yīng)用】-化簡：tanlOtan20+tan20tan60+tanlOtan60.(1)已知A+B二兀:4,求證：。(1+tanA)(1+tanB)二2;(2)化簡：(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45).題型三：升次降次知識(shí)】2sin2a2sin2a二1一cos2a,2cos2a二1+cos2a,cos2a一sima二cos2a,2sinacosa=sin2a.4sin3a二3sinasin3a,4cos3a二cos3a+3cosa.上面公式正用降次，反用升次.鞏固與應(yīng)用】1若一2*a乎，則嚴(yán)嚴(yán)的值是()A.asin2B

3、.acos2C.sinaD.acos22求值：2求值：cos4sm4=883求值：sin220+cos250+sin20cos50.408、理7)3sin702cos210A.12B.、運(yùn)：2C.2D.圾255.(07理4)已矢口sina-丘5，貝Usin4a一cos4a的值為A.15B.35C.156.求函數(shù)y二sinx(sinxcosx)的單調(diào)區(qū)間。增kn+,kn+，減kn,kn+L88JL88D.35kgZ7.已知cos(n4+x)二35，17n12x7n-4，求亠沁的值。結(jié)果負(fù)1tanx8.已知函數(shù)f（x）二2cosxsinx+fsin2x+sinxcosx1)求：函數(shù)f(x)的最大值

4、及最小值；求：函數(shù)f(x)的最小正同期、單調(diào)遞增區(qū)間；該函數(shù)圖像可由y=sin2x圖像作怎樣變化而得到。題型四：公式活用【知識(shí)】公式正用、公式逆用、公式變形后使用【鞏固與應(yīng)用】求值：tanlOtan20+tan20tan60+tan60tanlO二_1_已知0為第三象限角，且sin43+cos43=-,那么sin20等于（A）9A.皿3B.2込：3C.23D.233.在ABC中，若sinAsinB+cosAcosB+sinAcosB+cosAsinB=2,則厶ABC為等腰直角三角形TOC o 1-5 h z函數(shù)y=sin2x一cos2x+2的最小正周期是（）CA.4兀B.2兀C.nD.n：2（

5、06全國II理10）若f（sinx）二3cos2x，則f（cosx）等于CA.3cos2xB.32sin2xC.3+cos2xD.3+2sin2x1兀3兀（07理12）已知sin0+cos0=一，且匚0，則cos20的值是524題型五：弦切互化知識(shí)】能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的公式有：sina能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的公式有：sinatana=cosa1一cos2asin2atana=sin2a1+cos2a鞏固與應(yīng)用】1sin20TOC o 1-5 h z求值：(tan5-)=-2tan51+cos200oo求值：sin50(1+S3tan10)=3已知tan(45+a3已知tan(45+a)=12，則cos2a1+-+

6、tan2acos2a4求值5求證-4求值5求證-4cos10tan10sin2x(1tanx2一tanx：2)=4cos2x.-46.若sin3+cos0=，貝Vtan3+=-42tan3題型六：輔助角變換知識(shí)】輔助角公式:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+p)(其證明附后)2推論:sinx土cosx=邊sin(x土中)；3sinx土cosx=2sin(x土牛);sinxv3cosx=2sin(x3)；cosxsinx=i：2cos(x,；3cosxsinx=2cos(x)；cosx3sinx=2cos(xf)3利用公式上昱聰tan(x+-)及上匹=tan(仝-x)引入.1一tan

7、x41+tanx4鞏固與應(yīng)用】1.函數(shù)y0)個(gè)單位，所得的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱則m的最小正值是()DAD3函數(shù)y=si*2x-亦2x的最小正周期為sin2x+cos2x4.求函數(shù)y=sinx-(sinx-cosx)的單調(diào)區(qū)間.當(dāng)一兀x時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx+、：3cosx的值（D）22A.最大值是1,最小值是-1B.最大值是1最小值是-12C.最大值是2最小值是-2D.最大值是2最小值是-1與y=2sinx+cosx的周期、振幅都相同的函數(shù)是（A）A.sinxy=B.y=2sinxC.cosxD.y=sinxcosx題型七：角的和差拆分變換知識(shí)】1A.sinxy=B.y=2sinxC.cosx

8、D.y=sinxcosx題型七：角的和差拆分變換知識(shí)】1.原則：化未知為已知.2拆分技巧：再如10。=30。-20。.IIIIII女口2a=(a+0)+(a0);(+w)=+(a),(+a)=(a),424326=(a+0)0=(a0)+0=等.3半角與倍角的相對(duì)性：如a是2a的半角，同時(shí)也是纟的倍角；-是a的半角，同時(shí)也是纟的224倍角；【鞏固與應(yīng)用】312例已知sin（2a-0）=5，sin一五，且ae(n)一2,0J，求sina的值.1.(06理13)3I已知a,Be(,I),43sin(a+B)=5訕專）=12，則cos（a+中）=2.(08理17)3.(07理11)（冗、（1）求的s

9、inx值；（2）求sin2x+的值.(I3I已知cos(x一亍=彳若cos(a+B)=1，cos(aB)=5，貝Vtana-tanB=xe4.(08理5)已知cos(a)+sina=3，則sin(a+7n)的值是656A.-2逐5BA.-2逐5B.2盡5C.-45D.455.（08春理6）化簡：+a)+6.（08理15）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角a、0，它們的終邊別與單位圓相交于a、b兩點(diǎn).已知A、B的橫坐標(biāo)分別為運(yùn)10、2后：5.求tan(a+B)的值;求a+2P的值.7己知0a20s皿=I，co心)=-5，則sinp7Ab.0或nC.25D土248sin7Ab.0或

10、nC.25D土248sin7+cos15sin8的值等于(cos7。sin15sin8。2+IB.29設(shè)sin(a+2P)=3sina，貝9=tanPC.2_、汽2一石D.210.A.13182-,tan=,那么tanf兀1a+的值是（B54J4I4J322C.1322D.318已知tan(a+B)二)B.已知aJ3是銳角，cosa已知aJ3是銳角，cosa=45,tan(a-0)=13，求cos卩的值。cos0題型八：和積互化（不要求）知識(shí)】1.積化和差公式和差化積公式和sinx土cosx積sinx-cosx互化.2.3.鞏固與應(yīng)用】1.A.如果01.A.如果0g(0,丄),sin0cos0

11、=2B.蟲22一，則cos20為（2C.土亙2D.2.口/n-t2.口/n-t-1-/I已矢口sina+cosa=2（0,兀）那么tana的值是A.BA.B.-3D.3.3.化簡：cos?A+cos2(互+A)+cos2(互一A)334.已知x是第二象限角，且sinx+cosx=4.已知x是第二象限角，且sinx+cosx=a（|a1）,求下列各式的值:1)tanxcotx；2)1-sinx+1+sinx1一cosx1+cosx5.已知tana,tanp是方程x2+2x-4=0的兩根，求cos2十cos平的值.sin2a+sin2p6.已知三角形ABC中的三個(gè)角A,B,C滿足A+C=2B,+=

12、二2.求cos上C的值。cosAcosCcosB2解法（I）：由題設(shè)條件B=60。,A+C=120。cos60。cA+c2coscos60。cA+c2cos2=-22+=-2、込:.cosA+cosC=-22cosAcosC將=品0。=cos（A+C）=-22-cos人將=品0。=cos（A+C）=-22cos人f=2一2cos（A一C）A一C.由cos（A一C）=2cos2一1.4朽cos2_+2cos2（2cos上匸-込）（2込2-AY+3）=020cos化+3豐0.（2cos上匸-込）（2込2-2解法（n）：因?yàn)榻夥ǎ╪）：因?yàn)锽=60。，A+C=120:.A=:.A=60+a,C=60

13、a故+cosA+cosCcos（60+a）cos（60一a）cosa-込cos2a一cos4cosacosa-込cos2a一cos4cosa111J3+1肓13.cosa一sinacosa+sinacos2a一匚sin2a222244cosa3=224込cos2a+2cosa一3、E=0cos2a-4（2丫2cosa+3）（2cosa一-2）=0/.cosa=（cosa豐AC.cos一2cosa3cos2a一-42附錄一起點(diǎn)公式的證明兩角和余弦公式的推導(dǎo)兩角和正弦公式的推導(dǎo)3半角公式tana=sina=1一cosa的推導(dǎo)21+cosasina4.輔助角的推導(dǎo)及其推論asinx+asinx+bc

14、osx=；a2+b2sin（x+申）,tan申=；abcosx+asinx=%a2+b2cos（x-y）tany=b由asinx+bcosx的系數(shù)a,b可得點(diǎn)P（a,b）（一定要注意a與b順序），射線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）可作為某個(gè)角的終邊，設(shè)為申，于是有:、-a2角的終邊，設(shè)為申，于是有:、-a2+b2sin申所以asinx+bcosx=b其中，申叫做輔助角，它所在象限取決于點(diǎn)P(a,b)所在象限，它的一個(gè)函數(shù)值為：tan=-a推論：TOC o 1-5 h zsinx士cosx=、2sin(x)；-3sinx土cosx=2sin(x土)；sinx-：3cosx=2sin(x土)；463cosx

15、sinx2cos(x)；v3cosxsinx=2cos(x)；cosx士*3sinx=2cos(x)463口訣：正余化正，加減不變，余正化余，加減顛倒，前6后3.5.+附錄二些常用的結(jié)果1（cosasinacosa）2=1sin2asinsina+cosa1+tana,k=tan（a+sina-cosa1-tana4sina-cosatana-1,k、=tan（a-）.sina+cosatana+1431tana31tana+tana2sin2a1tanatana2cos2asin2a附錄三萬能公式sina=2tana2“a1+tan2cosa=atan22“a1+tan221-tana=2tan-2“a1-tan21已知旦=%3+1，求sin2x的值.1-tanx附錄四半角公式.acosasin2=2a1+cosacos2=2a11.acosasin2=2a1+cosacos2=2tan=（符號(hào)由半角終邊位置決定）21+cosa1+cosasina附錄五衍生二倍角公式cos2a=sin2（a+丁）=2cos（a+）sin（a+?。﹕in2a=cos2（a-）=cos2（a-）-sin2（a-）=2cos2（a-）-1=1-2sin2（a-）44444附錄