數(shù)學地質(zhì)：1 回歸分析

1、第一部分 多元統(tǒng)計分析方法（ 回歸分析）數(shù)學地質(zhì)2Surfer 界面環(huán)境與菜單簡介二）Surfer 創(chuàng)建基本等值線圖 三）Surfer 繪制三維圖形四）Surfer 圖形的高級處理1、緒論2、一元線性回歸3、多元線性回歸4、計算機求解方法5、思考題主要內(nèi)容31 緒論 1.1 課程簡介 本課程是地質(zhì)工程專業(yè)的開設的專業(yè)選修課。主要闡述數(shù)學方法在地質(zhì)學中的應用，詳細講解常見的回歸分析、趨勢面分析、聚類分析、判別分析、人工神經(jīng)網(wǎng)絡的原理及實現(xiàn)方法、Matlab在地質(zhì)學中的應用。通過本課程的學習，學生可以掌握地質(zhì)學研究中常用的數(shù)學方法及計算機實現(xiàn)過程，培養(yǎng)利用先進的技術手段解決生產(chǎn)、科學研究中遇到難題

2、的能力，提高工作效率。41 緒論 1.2 課程的基本要求 （1）掌握常見的多元統(tǒng)計分析方法及在地質(zhì)學中的應用； （2）熟悉Matlab，并能利用其實現(xiàn)地質(zhì)學中常用的方法； （3）理解人工神經(jīng)網(wǎng)絡原理，掌握其Matlab的實現(xiàn)方法； 51 緒論 1.3 教材 61 緒論 1.4 課程安排 第一章 多元統(tǒng)計分析方法 12學時 第二章 MatLab 地學運算基礎 12學時 （上機 6 學時） 第三章 人工神經(jīng)網(wǎng)絡原理及應用 6學時（上機 2 學時） 71 緒論 1.5 考核方式 考核方式：70%考試成績 + 30%平時成績 平時成績：上機 + 出勤 + 作業(yè)82 一元線性回歸 2.1 基本概念 一元

3、線性回歸是處理兩個變量x與y之間的關系，即根據(jù)由試驗、分析取得的數(shù)據(jù)提出兩者之間的經(jīng)驗公式。兩個變量之間的關系有線性和非線性兩種，線性回歸討論的是線性關系；有些非線性關系可以轉(zhuǎn)化成線性關系處理。92 一元線性回歸 設隨機變量y與變量x間存在著某種相關關系，這里，x是可以控制或可以精確觀察的變量，如年齡、試驗時的溫度、施加的壓力、電壓等。換句話說，我們可以隨意指定n個值x1,x2,.,xn。因此，為方便計，我們干脆不把x看成隨機變量，而當作通常的自變量102 一元線性回歸 由于y的隨機性，對于x的每一確定的值，y有它的分布。因此，若y某些數(shù)字特征存在的話，則它們的值隨x取確定值而確定。顯然，我們

4、可以通過一組樣本來估計數(shù)字特征(特別是數(shù)學期望)，從而，我們可以解決如下問題： （1）預測問題：在一定置信度下，估計出當x取某一值x0時，隨機變量y取值的情況。 （2）控制問題：在一定置信度下，控制自變量x的取值范圍，使y在給定的范圍內(nèi)取值。112 一元線性回歸 這里的樣本是指：對于x的取定的一組不全相同的值x1,x2,.,xn 作獨立試驗,得到n對觀察值(x1,y1)，(x2,y2), ,(xn,yn)，其中yi是在x=xi時隨機變量y所取的值，這n對觀察值就是一組樣本。 在隨機變量y的各數(shù)字特征中，最重要的是它的數(shù)學期望 = (x)，這個函數(shù)(x)稱為y對x的回歸。回歸分析的基本內(nèi)容是怎樣

5、來估計(x) ，然后利用估計結(jié)果作預測或控制。估計(x)的問題又稱為求y對x的回歸問題。122 一元線性回歸 例1在某煤礦取得18個煤樣，分析測得的煤的灰分含量和容重含量列于下表，試求煤的灰分對容重的回歸關系。樣品號123456789容重(xi)1.51.21.71.41.81.31.31.51.7灰分(yi)254302036752433樣品號101112131415161718容重(xi)1.31.51.51.61.41.61.51.41.5灰分(yi)417242562624209132 一元線性回歸稱為y對x的線性回歸方程或回歸方程，其圖形稱為回歸直線。142 一元線性回歸 2.2 計

6、算公式 152 一元線性回歸 上例中， =59.176, =-68.943 162 一元線性回歸 2.3 線性假設的顯著性檢驗 回歸分析的顯著性檢驗，就是用統(tǒng)計分析的方法來檢驗x與y之間的線性關系是否密切，也就是檢驗回歸方程是否顯著。 觀察值y1,y2,.,yn 之間所存在的差異，是由兩個因素引起的：一個是變量x的取值不同，另一個是試驗誤差等其它因素的影響。 172 一元線性回歸總離差平方和 回歸平方和 偏差平方和 可證： 這一關系在多元統(tǒng)計分析中普遍存在，必須牢記。 182 一元線性回歸 F檢驗: 回歸方程是否顯著，或線性關系是否密切，判別標準是SD的大小，即SD越小越好。同時，在總波動（S

7、T）不變的條件下，SD小，SR就大，SR / SD也就大；反之，SD大，SR就小，SR / SD也就小，這是一種直觀的看法。 假設H0：y與x無線性關系(b=0)，可證統(tǒng)計量192 一元線性回歸 F檢驗: 對確定的顯著性水平(檢驗水平)，查F分布表得到F(1,n-2), 若F F(1,n-2)，就拒絕原假設，即認為線性回歸效果顯著； 若F F(1,n-2)，就接受原假設，即認為線性回歸效果不顯著。202 一元線性回歸 F檢驗: F= 62.961,若取顯著性水平為0.05，查得F0.05(1,16)4.49，故在在顯著性水平0.05下，拒絕假設H0，即認為線性回歸效果是顯著的?；蚩烧J為在95的

8、置信度下，認為線性回歸效果是顯著的。212 一元線性回歸 r 檢驗: 對給定的觀察值而言，ST是不變的，SR大則SD?。籗D越小，SR / ST越接近1。所以可引入無量綱指標r2= SR / ST來檢驗y與x之間的線性關系是否密切。稱為y與x的線性相關系數(shù)，簡稱相關系數(shù)。上例中，r2=0.7974 222 一元線性回歸232 一元線性回歸242 一元線性回歸2.4 一元線性回歸應用舉例預報和控制y的取值 所謂預報,就是對任一給定的x0值,可以利用經(jīng)驗公式來推斷在這點的觀察值(試驗值)y0大致在什么范圍內(nèi),其置信水平為(1-),置信區(qū)間為:252 一元線性回歸 置信區(qū)間上、下限所形成的曲線對稱地

9、落在經(jīng)驗直線的兩側(cè),且呈喇叭形：262 一元線性回歸思考題： 背景知識：一項建筑工程在設計中需要考慮建筑地基土的承載力,而建筑地基土的承載力受多種指標的影響,其中影響較大的指標是抗剪強度指標,即建筑地基土的凝聚力C和內(nèi)摩擦角,這兩個指標反映了抗剪強度(應力)的大小。 剪應力隨垂直壓力P的大小變化而變化,它們之間的關系為經(jīng)驗公式: =C+Ptg式中C 凝聚力,內(nèi)摩擦角272 一元線性回歸問題：某房產(chǎn)開發(fā)區(qū)對某建筑地基土樣進行4次試驗,其結(jié)果如下: 求地基土的內(nèi)摩擦角及凝聚力C,檢驗其效果,并預報當垂直壓力p0=600所對應的剪應力的范圍,置信水平(1-)為0.95。282 一元線性回歸292 一

10、元線性回歸302 一元線性回歸312 一元線性回歸322 一元線性回歸332 一元線性回歸342 一元線性回歸352 一元線性回歸 當然,置信水平越高,預報區(qū)間就越長。 此例所得結(jié)果雖然預報區(qū)間長,不盡理想,但對生產(chǎn)實踐仍具有指導意義,它提供了一種估值方法和預報范圍。此例之所以置信區(qū)間拉得如此寬,究其原因在于試驗的次數(shù)n=4太少,樣本容量太小,造成如果結(jié)果,如果把樣本容量提高到n=20或n=50,則所得結(jié)果可信度將更高,置信區(qū)間將極大地縮短。363、多元線性回歸3.1多元線性回歸模型 設觀察得到容量為n的樣本(m個自變量，1個應變量)：x11, x12,., x1m ; y1x21, x22,

11、., x2m ; y2 . . .xn1, xn2,., xnm ; yn373、多元線性回歸 假定y與xj,(j=1,2,.,m)之間存在著線性關系： y=0+ 1x1+2x2+ .+mxm+ N(0, 2) 是隨機項。 我們的任務是從樣本數(shù)據(jù)來估計參數(shù)，即由下式：383、多元線性回歸 估計參數(shù)0,1,2,.,m；而1, 2, , n相互獨立且服從相同的分布N(0, 2)，(未知)。393、多元線性回歸 3.2 回歸系數(shù)的最小二乘估計 設b0,b1,b2, , bm為0,1,2, .,m的估計,我們稱使Q(0,1,2, .,m) 達到最小的b0,b1,b2, , bm為0,1,2, .,m的

12、最小二乘估計。 403、多元線性回歸 0,1,2, .,m的最小二乘估計應滿足下列方程組： 413、多元線性回歸 即： 解方程組即可求出 0,1,2, .,m 423、多元線性回歸 3.3 回歸系數(shù)的最小二乘估計矩陣解法 （1）設矩陣為的估計量，先求出, 再建立矩陣433、多元線性回歸 （2）建立矩陣, 其中, 443、多元線性回歸（3）求解, , 則有 y的估計 =b0+ b1x1+b2x2+ .+bmxm 453、多元線性回歸 3.3 檢驗 對確定的顯著性水平(檢驗水平)，查F分布表得到F(m,n-m-1),若F F(m,n-m-1)，就拒絕原假設，即認為線性回歸效果顯著； 若F F(m,

13、n-m-1)，就接受原假設，即認為線性回歸效果不顯著。463、多元線性回歸 3.4 應用實例-影響煤層瓦斯賦存規(guī)律的多地質(zhì)因素回歸分析研究 影響煤層瓦斯賦存及分布的因素是多種多樣的,通過對瓦斯地質(zhì)規(guī)律的研究可知,影響淮南潘一礦13-1煤瓦斯含量和分布規(guī)律的地質(zhì)因素主要有:煤層埋藏深度、地質(zhì)構(gòu)造、煤層頂?shù)装鍘r性、煤層厚度和煤的變質(zhì)程度等。 為了研究各因素與瓦斯賦存的關系,便于建立預測數(shù)學模型,把地質(zhì)構(gòu)造、頂?shù)装鍘r性這些通常定性化描述因素,根據(jù)其本身的特性和對瓦斯賦存的影響進行科學地量化,轉(zhuǎn)化為定量因素。 473、多元線性回歸 （1）煤層埋藏深度 煤層的埋藏深度越深,煤層中的瓦斯向地表運移的距離就

14、越長,散失就越困難。同時,深度的增加也使煤層在上覆壓力的作用下降低了透氣性,有利于保存瓦斯。 在研究區(qū)內(nèi)新生界直接不整合在二疊系上石盒子組煤系之上,中間的地層全部缺失,影響煤層瓦斯含量應與不整合面(即基巖面)距煤層以下的深度有較大關系,因此煤層埋深因素取值為各鉆孔13-1煤層頂板距基巖面的距離。 483、多元線性回歸 （2）地質(zhì)構(gòu)造 地質(zhì)構(gòu)造中的斷層破壞了煤層的連續(xù)性,使煤層瓦斯排放條件發(fā)生了變化,張扭性斷層有利于瓦斯的排放,壓扭性斷層對瓦斯的排放起阻擋作用,成為逸散屏障。褶曲類型和褶皺復雜程度對瓦斯的賦存有影響,封閉的背斜有利于瓦斯的存儲,是良好的儲氣構(gòu)造。 493、多元線性回歸 （2）地質(zhì)

15、構(gòu)造 研究區(qū)潘一井田位于潘集背斜南翼及東西部傾伏轉(zhuǎn)折端南翼,井田內(nèi)以斜切張扭性斷層為主,壓扭性斷層次之。由于井田內(nèi)次一級褶皺構(gòu)造不發(fā)育,所以在研究區(qū)內(nèi)考慮地質(zhì)構(gòu)造因素時,主要針對斷層因素。據(jù)地質(zhì)資料統(tǒng)計:研究區(qū)斷層中張扭性斷層54條,壓扭性斷層21條。 由于區(qū)內(nèi)斷層眾多,考慮到斷層對瓦斯的賦存影響程度不同,在對斷層因素進行參數(shù)量化時,以落差大于10m,水平延伸大于500m,切割13-1煤層至基巖面的斷層作為統(tǒng)計依據(jù),分別統(tǒng)計各鉆孔距見煤點最近的張扭性正斷層的水平距離作為構(gòu)造參數(shù)。 503、多元線性回歸 （3）煤層頂、底板巖性 煤層生成的瓦斯在漫長的地質(zhì)年代有不同程度的遺散,而瓦斯的遺散與煤層圍

16、巖有密切關系。當煤層的頂、底板巖性為致密完整的巖石,如泥巖、油頁巖時,煤層中的瓦斯比較容易保存;頂板為多孔隙或脆性裂隙發(fā)育的巖石,如礫巖、砂巖,瓦斯就容易逸散。 研究區(qū)內(nèi)13-1煤層頂、底板巖性主要有泥巖、炭質(zhì)泥巖、砂質(zhì)泥巖、粉砂巖和中砂巖。根據(jù)研究區(qū)頂、底板巖性特征,綜合考慮含砂率和砂質(zhì)顆粒粒度大小對頂、底板巖性因素進行量化,把粒度最大,含砂率最高的中砂巖記為1,含砂率最低的泥巖記為5,粉砂巖、砂質(zhì)泥巖、炭質(zhì)泥巖分別記為2、3、4。 513、多元線性回歸 （4）煤層厚度 煤層的厚度與瓦斯的分布有一定的關系,一般說來,同一煤層隨著厚度的增加,瓦斯生成量大瓦斯含量增加。區(qū)內(nèi)鉆孔13-1煤層厚度1

17、43639m,平均425m,煤層結(jié)構(gòu)較復雜,半數(shù)以上見煤點有12層夾矸。煤厚因素取鉆孔取煤的真厚,包括煤的厚度和夾矸的厚度。 523、多元線性回歸 （5）煤的變質(zhì)程度 在成煤的變質(zhì)階段,成煤的有機物在地層深處的高溫、高壓作用下,隨著煤化程度的加深,固定碳增加,揮發(fā)分因轉(zhuǎn)化成瓦斯而減少,瓦斯生成量增多。煤的變質(zhì)程度可以用揮發(fā)分表示,所以在研究中以揮發(fā)分來表示變質(zhì)程度因素。 533、多元線性回歸 （6）其它地質(zhì)因素的影響 研究區(qū)內(nèi)煤層煤質(zhì)變化不大,在總體上對瓦斯含量的變化影響可以忽略。而且煤系水文地質(zhì)條件較為簡單,未見地下水對煤層瓦斯賦存具有明顯影響的塊段,因此在預測模型中可以忽略這些因素。 54

18、3、多元線性回歸 解：樣本選擇和回歸模型的建立 根據(jù)上述地質(zhì)因素的分析篩選,確定煤層到基巖深度(x1)、煤厚(x2)、離張扭性正斷層平距(x3)、頂板巖性(x4)、底板巖性(x5)、和揮發(fā)份Vdaf(x6)等六個影響因變量瓦斯含量(y)的自變量。統(tǒng)計潘一礦歷年勘探中具13-1煤瓦斯含量測定值的鉆孔資料,選取其中53個鉆孔作為回歸分析樣本,各指標的數(shù)據(jù)見表1(因篇幅關系只列出部分數(shù)據(jù))。同時,選取不參加回歸的15個不同深度、不同頂?shù)装鍘r性和不同構(gòu)造特性的鉆孔數(shù)據(jù)作為檢驗樣本。 553、多元線性回歸 563、多元線性回歸 573、多元線性回歸 通過結(jié)果表明,回歸結(jié)果顯著性水平較好,利用該模型計算煤層瓦斯含量確定性系數(shù):R=0.855881;復相關系數(shù):r=0.925