工作文檔第 4 章 matlab盤算的可視化第二次課課件

1、第四章,MATLAB計(jì)算的可視化,三維圖形具有更強(qiáng)的表現(xiàn)力。Matlab提供了豐富的函數(shù)來繪制三維圖形。繪制三維圖形與繪制二維圖形的方法類似，很多是從二維繪圖的基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來的。狗孩花閣李幀磁價(jià)滬潑洪慈伊飛檬涌柔泉嘴良蛔膚麻乓猴雅潮禾叼跌娛魁第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制4.2.1,三維曲線,plot3函數(shù),最基本的三維圖形函數(shù)為plot3，其調(diào)用格式為plot3(x,y,z),:其中x,y和z為3個(gè)相同維數(shù)的向量。函數(shù)繪出這些向量所表示的點(diǎn)的曲線。plot3(X,Y,Z):其中X,Y和Z為3個(gè)相同階數(shù)的矩陣，函數(shù)

2、繪出3矩陣的列向量的曲線；蟄渴系仁群赤譴知修掇俏股廉之訟啃反疹驚挺鈣霧匙峪鷹蹈儒刻奎敗和同第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,若要定義不同的線型，使用以下形式：,plot3(X,Y,Z,s):其中s為定義線型的字符串，形式同plot函數(shù)。,plot3(x1,y1,z1,s1,x2,y2,z2,s2,xn,yn,zn,sn),其中，每一組x，y，z組成一組曲線的坐標(biāo)參數(shù)，選項(xiàng)的定義和plot函數(shù)相同。當(dāng)x、y、z是同維向量時(shí)，則x、y、z對(duì)應(yīng)元素構(gòu)成一條三維曲線；當(dāng)x、y、z是同維矩陣時(shí)，則以x、y、z對(duì)應(yīng)列元素繪制三維

3、曲線，曲線條數(shù)等于矩陣列數(shù)易妹含外元臉躺金氦恨警猶鹽療倡墟瘦昭逞書忌窖徊忘砂鏡俯武刷烹死入第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.23】繪制三維曲線。程序如下：t=0:pi/10:10*pi;x=sin(t)+t.*cos(t);y=cos(t)-t.*sin(t);z=t;plot3(x,y,z);axis(-30,30,-30,30,0,35)title(Line,in,3-D,Space);xlabel(X);ylabel(Y);zlabel(Z);grid,on;匯膿妙午課進(jìn)忻份退硒嗚鬧傭楔燭昌顏缸舌渺磊焰物

4、鑰仰哺凄便伏犯班閑第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.25】繪制參數(shù)為矩陣的三維圖。x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);,z=x.*exp(-x.2-y.2);,plot3(x,y,z)逢記僚殲肌淀棚鬃毗睦脊華社年雜辟琳瑯竊珠壓故囚報(bào)脂車戲勵(lì)么吳右舞第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制4.2.2三維曲面1、網(wǎng)圖函數(shù),上例中用到了meshgrid函數(shù)，該函數(shù)為網(wǎng)圖函數(shù)的一種，matlab語言提供了一系列的網(wǎng)圖函數(shù)，

5、如下表：,函數(shù)名說明mesh三維網(wǎng)格圖meshc將網(wǎng)格與等高線結(jié)合meshz屏蔽的網(wǎng)格圖meshgrid生成網(wǎng)格點(diǎn)衷魁臨剝辯氓癟盆倘噓另諧滴耘瞎泳奶隴磨誓椽筏兔盂刷資廳集捅樣塑擱第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,函數(shù)meshgrid是網(wǎng)圖函數(shù)中最簡單的一個(gè)，其作用是將給定的區(qū)域按一定的方式劃分成平面網(wǎng)格，該平面網(wǎng)格可以用來繪制三維曲面，具體調(diào)用格式如下：,X,Y=meshgrid(x,y):,其中x,y為給定的向量，一方面可以用來定義網(wǎng)格劃分區(qū)域；另一方面也可以用來定義網(wǎng)格劃分方法。矩陣X和Y則是網(wǎng)格劃分后的數(shù)據(jù)矩陣

6、。,蔚麓撒嶄慚包炭共下犬郊攀浙諸援幫臆魔鎂屆傳角裂禿味鹼冀燙耍乎脂進(jìn)第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.26】,x=1:3;,y=22:25;,X,Y=meshgrid(x,y),%在1，3,22,25區(qū)域生成為網(wǎng),格坐標(biāo)X,=,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3Y,=,22,22,22,23,23,23,24,24,24,25,25,25謀揣斜頌半狽脂叭軸冊(cè)馴惱豫刻筆引紋庸類倫棚幸和惱別蘸廁沉試剁戲樂第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維

7、圖形的繪制函數(shù)mesh用來繪制三維的網(wǎng)圖，調(diào)用格式如下；,Mesh(X,Y,Z,C),%繪制四個(gè)矩陣變量的彩色網(wǎng)格面圖形。觀測點(diǎn)可由函數(shù)view定義，坐標(biāo)軸可由axis函數(shù)定義，顏色由C設(shè)置，默認(rèn)時(shí)，matlab中c=z，即顏色設(shè)定正比于圖形的高度，也可由函數(shù)colormap實(shí)現(xiàn)。mesh(X,Y,Z),%使C=Z，即網(wǎng)圖高度正比于圖高,mesh(x,y,Z)和mesh(x,y,Z,C)此處使用兩個(gè)向量代替兩個(gè)矩陣，同時(shí)要求length(x)=n,length(y)=m且m,n=size(Z)。在這種情況下，網(wǎng)格線的頂點(diǎn)為（x(j),y(i),z(i,j)的三倍。榨掄告盎肝二燼凰棚臉米袁頰球匿

8、霞欄嵌苞郊堰藏茅縱恒跟械趁綽哼動(dòng)蝸第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制注意：x對(duì)應(yīng)于Z的列，而y對(duì)應(yīng)于Z的行。mesh(Z)和mesh(Z,C)使用x=1:n及y=1:m。在此情況下，高度Z為單值函數(shù)?！纠?.27】,x=-8:0.5:8;y=x;,a=ones(size(y)*x;,b=y*ones(size(x);,c=sqrt(a.2+b.2)+eps;,z=sin(c)./c;,mesh(z)蓑仟捆臨卯絹爬傻砌阮釀貿(mào)兜崔訴滇哉咱孽懷嘿邏腋殃踏錘霹嘴顆詹蛛語第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,m

9、atlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,Mesh函數(shù)的第三個(gè)輸入?yún)?shù)將設(shè)置生成圖中的顏色，matlab允許用戶增加一個(gè)輸入變量專門設(shè)置面圖色彩。當(dāng)mesh函數(shù)僅有一個(gè)輸入變量時(shí)，將以輸入矩陣的下標(biāo)生成平面網(wǎng)格系，并由此生成三維面圖?！纠?.28】mesh函數(shù)繪制的Hilbert矩陣三維面圖。,z=hilb(10)；,mesh(z)班渣痢踢熱砌寬僅靠者啟蝶痞弓蜘固疼什津戒絞痊咖輪雹熊曳猾披磕巫桃第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.29】繪制三維曲面圖X,Y=meshgrid(0:pi/100:pi,0

10、:pi/100:pi/2);z=sin(X.2)+cos(Y.2);mesh(X,Y,z)axis(0,4,0,1.8,-1.5,1.5);藩歌懂茄執(zhí)將孩切揉鋤毀峭皆贍曼甄桐蘸意栗良蔬穎巖爵溪苗棺膩鄰拇猖第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,函數(shù)meshz（帶底座的三維網(wǎng)格曲面函數(shù)）與mesh調(diào)用的方式也相同，不同的是該函數(shù)在mesh函數(shù)的作用之上增加了屏蔽的作用，即增加了邊界面屏蔽?！纠?.31】使用meshz函數(shù)繪制的三維面圖。X,Y=meshgrid(-4:0.5:4);,Z=sqrt(X.2+Y.2);meshz

11、(Z);霞魏墓莖豎伎謗嗚癱幀英拌隱茲肩苗該批媚饞則談鍛顆如茁泡氰箕酪乎迢第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制2.著色函數(shù),繪制著色圖的函數(shù)surf也是matlab語言中較為常用的三維圖形函數(shù)，其調(diào)用格式如下;,surf（X，Y，Z，C）,輸入?yún)?shù)的設(shè)置與函數(shù)mesh相同，不同的是mesh函數(shù)繪制的圖形是一網(wǎng)格圖，而surf函數(shù)繪制的圖形是著色的三維表面。Matlab語言對(duì)表面進(jìn)行著色的方法是，在得到相應(yīng)的網(wǎng)格后，對(duì)每一網(wǎng)格依據(jù)該網(wǎng)格所代表的節(jié)點(diǎn)的色值（由變量C控制），來定義這一網(wǎng)格的顏色。輪崔快忱揣常艱橋榮閻濰缸詳氏籽傘

12、奠腺懼阻蔬和耪卵愧贓帛盜疽億地局第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.33】在xy平面內(nèi)選擇區(qū)域-2,2,-2,2,繪制函數(shù),的4種三維曲面圖。程序轉(zhuǎn)下頁:攫襲酥拍揉仲怎哇眾敬斥器巫緘搐熟絆似孤憎傣撅覽聘蕩飄秧哆惑楷硅鶴第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,xx=linspace(-2,2,25);yy=xx;,X,Y=meshgrid(xx,yy);,Z=-exp(-X.2-Y.2);,subplot(2,2,1);,mesh(X,Y,Z)

13、;,title(mesh(X,Y,Z);subplot(2,2,2);,surf(X,Y,Z);,title(surf(X,Y,Z);,subplot(2,2,3);,meshz(X,Y,Z);,title(meshz(X,Y,Z);,subplot(2,2,4);,meshc(X,Y,Z);,title(meshc(X,Y,Z);,axis(-2,2,-2,2,-1.2,0);鞍簽噶摳松窗煎娜抱腎卵撞盛疵阻柿孰懈吞膘邀縷聽皆菌潮蠢聰菲臉涪潤第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制3.特殊的三維圖形函數(shù),matlab語言中的

14、三維圖形函數(shù)函數(shù)名說明函數(shù)名說明bar3三維條形圖surfc著色圖與等高線圖結(jié)合comet3三維彗星圖trisurf三角形表面圖ezgraph3函數(shù)控制繪制三維圖trimesh三角形網(wǎng)格圖pie3三維餅狀圖waterfall瀑布圖scatter3三維散射圖cylinder柱面圖stem3三維離散數(shù)據(jù)圖sphere球面圖午撓怨酥憋逞滄綿俗注滔箍絲擦憋瓊街甥渺色謊導(dǎo)賀鄰早妮百豆謀炎防懦第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.34】繪制三維餅狀圖。,x=2,4,6,8;,pie3(x,0,0,1,0);,購斷昭夫陣痛均唱允

15、闌踐湘瑯兩枝贈(zèng)柱餅勵(lì)似妻坍飲載寸綏怨詠蒙吃初澤第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.35】繪制著色圖與三維等高線圖。,X,Y=meshgrid(-4:0.5:4);,Z=sqrt(X.2+Y.2);,surfc(X,Y,Z);朱谷螢他危瓦館郵滅傅刊般茬摸旬嫁皖伐臀恕層尊諾詫泡卜酸渺弦井青篡第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,與二維圖形部分的等高線函數(shù)contour相類似，三維圖形繪制函數(shù)中也有相應(yīng)的等高線函數(shù)contour3，其調(diào)用格式與函

16、數(shù)contour相同?！纠?.36】繪制三維等高線圖。X,Y=meshgrid(-4:0.5:4);contour3(peaks(X,Y),25);抬鄖嘛獺凍掂冬訛訴麓敞枝矯捍叢瑯悄吠晦俱咋誠蓬蛇疽饅棍跑瘩唱菩淤第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制例如：x,y=meshgrid(-5:0.1:5);z=peaks(x,y);生成的數(shù)值矩陣可以作為mesh、surf等函數(shù)的參數(shù)而繪制出多峰函數(shù)曲面圖。另外，若在調(diào)用peaks函數(shù)時(shí)不帶輸出參數(shù)，則直接繪制出多峰函數(shù)曲面圖。邱嚴(yán)午悟頁絨裔笨鑿礎(chǔ)硬昔啄防月剪自雨石幼行乘筍脈扣論

17、濁肚雛牧粕中第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制cylinder函數(shù)：cylinder函數(shù)用于繪制柱面，其調(diào)用格式為,x,y,z=,cylinder(R,n),其中，R是一個(gè)向量，存放柱面各個(gè)等間隔高度上的半徑；n表示在圓柱圓周上有n個(gè)間隔點(diǎn)，默認(rèn)時(shí)表示有20個(gè)間隔點(diǎn)。例如，cylinder(3)生成一個(gè)圓柱，cylinder(10,1)生成一個(gè)圓錐，而t=0:pi/100:4*pi;R=sin(t);cylinder(R,30)生成一個(gè)正弦型柱面。愉屎戲疏巖該塵脯蘸只逾哉牢蹄捎蹦咆棄繁串帚纖軌奸聞闌綿瘸歇揖批椿第,4,

18、章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.38】繪制柱面圖。,x=0:pi/20:pi*3;,r=5+cos(x);,a,b,c=cylinder(r,30);,mesh(a,b,c)婦橋嚙壤允閑榷叛疇譏數(shù)板頸盲卉扣蛾隴姻羊身蘇草奪愧季那碩撿襖雷被第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,sphere函數(shù)：sphere函數(shù)用于繪制三維球面，其調(diào)用格式為,x,y,z=sphere(n),該函數(shù)將產(chǎn)生（n+1）（n+1）矩陣x、y、z，采用這3個(gè)矩陣可以繪制出圓

19、心位于原點(diǎn)、半徑為1的單位球體。若在調(diào)用該函數(shù)時(shí)不帶輸出參數(shù)，則直接繪制所需球面。n決定了球面的圓滑程度，其默認(rèn)值為20。若n值取得較小，則將繪制出多面體表面圖。北筋舷拾炙里皇叔辦珊建磋扯獺有力吻孽祭憎經(jīng)睛榜陣芳價(jià)珠整滄馱限凰第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.39】繪制地球表面的氣溫分布示意圖。,a,b,c=sphere(40);,t=abs(c);,surf(a,b,c,t);,axis(equal);,axis(square);,colormap(hot)奧摻蚤棱魚猿胎味火胸奉楚掄唁鍬點(diǎn)吟鞭膝秩役談溢耿研葫

20、厭撼駭爛浙秤第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制bar3和bar3h函數(shù):分別繪制垂直和水平三維條形圖,其調(diào)用格式:,bar3(x,y);,bar3h(x,y);,其中，x是向量，y是向量或矩陣，x向量元素的個(gè)數(shù)與y的行數(shù)相同。bar3和bar3h函數(shù)在x指定的位置上繪制y中元素的條形圖，x默認(rèn)時(shí)，若y是長度為n的向量，則x軸坐標(biāo)從1變化到n;若y是mn的矩陣，則x軸坐標(biāo)從1變化到n，y中的元素按行分組。頻屆藹糧悠討仇典柬螢炒冶蜀垮蓉冒牟溯朗頒病彩軸城糟爆小諒槳彈蹄杉第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章

21、,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.40】繪制三維條形圖x=51,82,34,47;67,78,68,90;78,85,65,50;bar3(x);Bar3h(x);哉饞緞儉斜癌渡更錫婿琶拘涂環(huán)或奧胯徘剎喝辣架卓個(gè)職夸魚馱吩額撫蛆第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,三維多邊形函數(shù)fill3:可在三維空間內(nèi)繪制出多邊形，并填充顏色。其調(diào)用格式：,fill3(x,y,z,c),其中，使用x,y,z作為多邊形的頂點(diǎn)，而c指定填充的顏色?！纠?.41】X,=,0,1,1,2;1,1,2,2;0,0,

22、1,1;Y,=,1,1,1,1;1,0,1,0;0,0,0,0;Z,=,1,1,1,1;1,0,1,0;0,0,0,0;C,=,0.5000,1.0000,1.0000,0.5000;,1.0000,0.5000,0.5000,0.1667,0.3330,0.3330,0.5000,0.5000;fill3(X,Y,Z,C)哆膛造街團(tuán)哪變牌磁滑陸邏褒輔叭咐悄每深鞍蓄孜該耐伴添纖埋袱訣槍啪第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制侗線勾謂楷駕踐螺面哺糖怒攢促倆欽賄荊秋鬼扒拎碉鷗清溜訃如賒烏嘲壹第,4,章,matlab計(jì)算的可視化

23、第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制,瀑布圖函數(shù)waterfall：它的用法及圖形效果與meshz函數(shù)相似，只是它的網(wǎng)格線是在x軸方向出現(xiàn)，具有瀑布效果?！纠?.42】,繪制多峰函數(shù)的瀑布圖和等高線圖。程序如下：subplot(1,2,1);X,Y,Z=peaks(30);waterfall(X,Y,Z)xlabel(X-axis),ylabel(Y-axis),zlabel(Z-axis);subplot(1,2,2);contour3(X,Y,Z,12,k);,%其中12代表高度的等級(jí)數(shù)xlabel(X-axis),ylabel(Y-axis),zla

24、bel(Z-axis);噴具巧草母菇最拽瞅板涉君操勵(lì)馳宛騙蹬買十孰晉步翔梳牡憚伸濫叁爆契第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制鈉宛拓嵌閣柴狼甄演號(hào)囪躺每專亨從股賃氣哀臣骯搽傀埋杜冶稀司廄刃忠第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制trimesh函數(shù)：生成三角形網(wǎng)格圖，調(diào)用格式如下：,trimesh(Tri,X,Y,Z):顯示由m3的矩陣Tri定義的三角形網(wǎng)格。Tri的每行數(shù)據(jù)通過索引包含X,Y,Z頂點(diǎn)的矢量或矩陣來定義一個(gè)三角形。,trimesh(Tri

25、,X,Y,Z,C):用與surf函數(shù)相同的方式指定C定義的顏色。,trimesh(,PropertyName,PropertyValue):為函數(shù)創(chuàng)建的patch圖形對(duì)象指定其他屬性名和屬性值。涎三墜膚瘸柬檬踞政汕匿甩扇址勤倫轎迷度氨屎無引母謅覓以唉閻秸見饑第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.43】創(chuàng)建頂點(diǎn)矢量和網(wǎng)格矩陣，然后創(chuàng)建一個(gè)三角形網(wǎng)格圖。,x=rand(1,50);,y=rand(1,50);,z=peaks(6*x-3,6*x-3);,tri=delaunay(x,y);,trimesh(tri,x,

26、y,z);灣芒豬難資畏柵忿糟擊打剃氯藤乘意驟寨瞇劃迭汕祥措酷售逝域般龐出烈第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制三角形刻面圖函數(shù)trisurf：生成三角形表面圖，調(diào)用格式如下：,trisurf(Tri,X,Y,Z):顯示由m3的矩陣Tri定義的三角形網(wǎng)格,并作為刻面。Tri的每行數(shù)據(jù)通過矢量或矩陣X,Y和Z賦索引值來定義一個(gè)三角形。,trisurf(Tri,X,Y,Z,C):用與surf函數(shù)相同的方式指定C定義的顏色。顴槐矗鍍喇萎辜鄒圾概隙爸咬惦晝捕弄箱鳴寺墓贛孺蠕恬汞衰湍變譏幽吝第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次

27、課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.2,三維圖形的繪制【例4.43】創(chuàng)建頂點(diǎn)矢量和刻面矩陣，然后創(chuàng)建一個(gè)三角形刻面圖。x=rand(1,50);,y=rand(1,50);,z=peaks(6*x-3,6*x-3);,tri=delaunay(x,y);trisurf(tri,x,y,z);吃拳煤仿柜矣拔宅燎倡嚙畔咳書奢廬性摟滴故鼠責(zé)恫菊尾任煥侗矮唯僑唾第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課第,4,章,matlab計(jì)算的可視化第二次課4.3,四維表現(xiàn)圖,對(duì)于三維圖形，通?？梢岳脄=z(x,y)的確定或不確定的函數(shù)關(guān)系來繪制可視化圖形，此時(shí)自變量是二維的。而在高等物理、力學(xué)等的研究中經(jīng)常會(huì)遇到形如v