量子力學(xué) 第四章

1、量子力學(xué) 第四章第1頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三引言 按量子力學(xué)基本原理，體系的狀態(tài)用波函數(shù)描述，力學(xué)量用線性厄米算符表示。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量算符是以坐標(biāo)這個力學(xué)量算符的本征值為變量寫出它們的具體形式的。那么，是否還可以選擇其它力學(xué)量算符的本征值作為變量而寫出波函數(shù)及力學(xué)量算符的具體形式呢？回答是肯定的。這就是說量子力學(xué)中波函數(shù)和力學(xué)量算符的描述方式不是唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象第2頁，共96頁，2022年，5月20日

2、，21點32分，星期三動量表象能量表象角動量表象常用的表象坐標(biāo)表象第3頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三4.1 態(tài)的表象 The representation of the state 4.2 算符的矩陣表示 Matrix representation of operators4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示 Matrix representation of formula for quantum mechanism4.4 幺正變換 Unitary transformation4.5 狄喇克符號 Dirac symbols4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象 Linear os

3、cillator and occupation number representation 研究內(nèi)容第4頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三重點掌握的內(nèi)容 二個表示： 態(tài)在任意表象中的表示； 算符在任意表象中的表示。 三個公式： 在任意表象中的表示平均值公式本征值方程薛定諤方程 狄喇克符號及應(yīng)用 幺正變換的基本性質(zhì)表象的定義 一個定義： 產(chǎn)生算符、湮滅算符、粒子數(shù)算符及它 們的物理意義第5頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三矩陣力學(xué)主要數(shù)學(xué)工具矩 陣第6頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三1態(tài)的動量表象4.1 態(tài)的表象動量算符本

4、征函數(shù)： 組成完備系展開系數(shù)構(gòu)成付里葉變換與逆變換 從數(shù)學(xué)上講，知道其一, 必可唯一地求出另一。 從物理角度看， 描述粒子狀態(tài)，那么 也可用于描述粒子同一狀態(tài)。任一狀態(tài) 可按其展開：第7頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 稱為坐標(biāo)表象中的狀態(tài)波函數(shù)， 稱為動量表象中的狀態(tài)波函數(shù)。4.1 態(tài)的表象（續(xù)） 物理意義？ 是在 所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果為 的幾率。 是在 所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果為 的幾率。兩者從不同的側(cè)面描寫粒子的狀態(tài), 給出了粒子的不同信息（力學(xué)量 和 的信息）。第8頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三證（歸

5、一化條件）命題若 是歸一化波函數(shù)，則 也歸一。4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第9頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三2Q 表象力學(xué)量算符 的正交歸一的本征函數(shù)完備系： 任一狀態(tài) 可按其展開：展開系數(shù)： 由上述兩式給出了 與 函數(shù)集之間的相互變換關(guān)系，將 寫成矩陣本征方程：4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第10頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 給出在 態(tài)中測量粒子的力學(xué)量Q 取值的幾率 對于 與 ，知道其一就可求得另一，因而 與 描述粒子同一狀態(tài)。 是粒子狀態(tài)波函數(shù)在Q 表象中的表示，稱為Q 表象波函數(shù)4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第11頁，共96頁，2022年，5月20日

6、，21點32分，星期三歸一化條件（歸一化條件的矩陣 表述形式）以上討論可推廣到 Q 有連續(xù)譜的情況。粒子處于一維無限深勢阱的基態(tài)：求該態(tài)在動量和能量表象中的表示形式。Ex.1.4.1 態(tài)的表象（續(xù)）注第12頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三動量本征函數(shù)Solve選擇動量表象:展開系數(shù)： 4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第13頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三能量表象：本征函數(shù)可見能量算符的本征函數(shù)在能量自身表象中取符號形式。4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第14頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三基態(tài)的表示 一般結(jié)論: 力學(xué)量算符屬于分立本征值

7、的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一符號, 其矩陣為單位元矩陣。 能級態(tài)的表示第n行4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第15頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三Ex.2:Solve：自由粒子動量算符的本征函數(shù) 求自由粒子動量算符 具有確定本征值 的本征函數(shù)在動量自身表象中的形式Ch.4 The representation for the states and dynamical variable 動量算符 具有確定本征值 的本征函數(shù):可見，動量算符具有確定本征動量值 的本征函數(shù)在動量自身表象中是以動量 為變量的函數(shù)。4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第16頁，共96頁，2022年，5月20日，2

8、1點32分，星期三動量算符的本征方程一般結(jié)論: 力學(xué)量算符屬于連續(xù)本征值的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一函數(shù)。Ch.4 The representation for the states and dynamical variable在坐標(biāo)表象中，坐標(biāo)算符 的本征函數(shù)同樣4.1 態(tài)的表象（續(xù)）本征值方程:第17頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三以上討論與三維矢量空間矢量的表示很類似。Hilbert空間與態(tài)矢量在三維矢量空間選一組正交歸一完備基正交歸一條件4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第18頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三Hilbert空間：滿足態(tài)迭加原

9、理的狀態(tài)全體構(gòu)成的復(fù) 線性空間 態(tài)矢量： Hilbert空間中的矢量，即體系的狀態(tài)波 函數(shù)視為一個矢量稱為態(tài)矢量（簡稱態(tài)矢） 力學(xué)量算符 的正交歸一完備函數(shù)系 構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。任一態(tài)矢4.1 態(tài)的表象（續(xù)）注意： 由于波函數(shù)必須歸一化，因而態(tài)矢的大小一定，不同的態(tài)矢只是方向不同。第19頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三表象與幾何空間坐標(biāo)系的比較4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第20頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三量子力學(xué)表象幾何空間坐標(biāo)系某一表象本征態(tài)矢量某一坐標(biāo)系的一組基矢 正交歸一正交歸一量子態(tài)矢量： 矢量: 4.1

10、態(tài)的表象（續(xù)）第21頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三選定一個特定 表象，就相當(dāng)于在Hilbert空間中選定一個特定的坐標(biāo)系,力學(xué)量算符 的正交歸一完備函數(shù)系 構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。.任意態(tài)矢量 在 表象中的表示是一列矩陣，矩陣元 是態(tài)矢量 在 算符的本征矢 上的投影。3選取不同力學(xué)量表象，就是選取不同完備正交基底，態(tài)矢的表述具有不同矩陣形式，這就是態(tài)的不同表象波函數(shù)。結(jié)論4.1 態(tài)的表象（續(xù)）第22頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三作業(yè)4.1 態(tài)的表象（續(xù)5）第23頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星

11、期三4.2 算符的矩陣表示力學(xué)量算符在坐標(biāo)表象與動 量表象中的表示坐標(biāo)表象動量表象問題力學(xué)量算符在 表象中如何表示？ 在坐標(biāo)表象中，力學(xué)量 F 用算符 表示，設(shè) 作用于 得到 。第24頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三（1）即 選定力學(xué)量 表象， 算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系記為將 和 分別按函數(shù)系 展開代入坐標(biāo)表象表達式（1）以 乘該式，對 全部范圍積分4.2 算符的矩陣表示（續(xù)）第25頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三記為記為矩陣 和 分別是波函數(shù) 和 在Q 表象中的形式。Q表象的表達方式4.2 算符的矩陣表示（續(xù)2）第26頁，共96頁，2

12、022年，5月20日，21點32分，星期三討論1 是厄米矩陣Prove：顯而易見，對角矩陣元為實數(shù)可見，算符 在Q表象中是一個矩陣 ，其矩陣元為即 是厄米矩陣。4.2 算符的矩陣表示（續(xù)3）第27頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三2力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。3當(dāng) 具有連續(xù)本征值譜 時，力學(xué)量算符的表示矩陣元4.2 算符的矩陣表示（續(xù)4）第28頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 在Q 表象中乃是一個矩陣，不過其行列不再是可數(shù)的，故用連續(xù)變化的下腳標(biāo)表示。求力學(xué)量算符矩陣的關(guān)鍵是求其矩陣元Ex：設(shè)一維粒子Hamilton量 1、求x

13、表象中x,p和H的“矩陣元”， 2、求p表象中x,p和H的“矩陣元”。Solve： 1、 在 表象中， 的本征函數(shù)4.2 算符的矩陣表示（續(xù)5）第29頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三2、在 象中， 算符的本征函數(shù)4.2 算符的矩陣表示（續(xù)6）第30頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三4.2 算符的矩陣表示（續(xù)7）第31頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三1歸一化條件4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示第32頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三2、平均值公式4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)1）第33頁，共96

14、頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三其中為算符 的矩陣元在 表象中：（續(xù)7）4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)第34頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)3）第35頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三3、本征值方程在Q表象中，其矩陣形式為：（1）移項得：4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)4）第36頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三（m = 1，2，3）（2）此式即為線性齊次方程組：非零解的條件是系數(shù)行列式等于0，即久期方程：4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)5）第37頁，共96頁，2

15、022年，5月20日，21點32分，星期三求出本征值將每個 值分別代入矩陣方程（1）或（2），求出, 即得本征函數(shù) 這樣變解微分方程為解代數(shù)方程。4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)6）第38頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 Ex. 已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將矩陣 和 對角化。 本征方程為Solve:設(shè) 的本征值為 ,本征波函數(shù)為4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)7）第39頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 要使本征波函數(shù)不為零，亦即要求a,b,c不全為零，其條件是（1）中的系數(shù)矩陣的

16、行列式為零。 （1）久期方程本征值 4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)8）第40頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三當(dāng) 時， 由（2）有4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)9）第41頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三由歸一化條件:4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)10）歸一化常數(shù)歸一化的波函數(shù)第42頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三當(dāng) 時,由（2）有4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)11）歸一化條件歸一化的波函數(shù)：第43頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三當(dāng) ,由（2）有： 4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示

17、（續(xù)12）歸一化條件歸一化的波函數(shù)：第44頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三構(gòu)成一個正交歸一本征函數(shù)完備系的對角矩陣正交歸一化條件：4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)13）第45頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 類似地, 可求出 的本征值、歸一化的本征函數(shù)系和對角陣。 本征值 4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（14）本征波函數(shù)：正交歸一化條件：第46頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三的對角矩陣：4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)15）第47頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三第48頁，共96頁，202

18、2年，5月20日，21點32分，星期三簡寫為：其中4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)17）第49頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三4.4 幺正變換為了找到 和 的聯(lián)系，將 按 展開：1、幺正變換設(shè)算符 的正交歸一本征函數(shù)系為 算符 的正交歸一本征函數(shù)系為（1）（2） 討論波函數(shù)和力學(xué)量從一個表象變換到另一個表象的一般情況第50頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三其展開系數(shù)為：（3）（4）由 為矩陣元所構(gòu)成的矩陣稱為變換矩陣。通過（1）和（2）就把 表象的基矢 變換為 表象的基矢 。由 和 的正交歸一性有： 4.4 幺正變換（續(xù)1）第51頁，共96頁

19、，2022年，5月20日，21點32分，星期三同理 4.4 幺正變換（續(xù) 2）第52頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三將按展開:4.4 幺正變換（續(xù) 3）第53頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三即 是幺正矩陣，由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換結(jié)論: 一個表象到另一個表象的變換是幺正變換。2 力學(xué)量的表象變換力學(xué)量 在表象A中的表示矩陣：在表象B中的表示矩陣：4.4 幺正變換（續(xù) 4）第54頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三此為力學(xué)量 從表象A變換到表象B的變換公式4.4 幺正變換（續(xù) 5）第55頁，共96頁，2022年，5

20、月20日，21點32分，星期三3. 態(tài)的表象變換 任意態(tài)矢量4.4 幺正變換（續(xù) 6）在A表象中：在B表象中：?如何變換第56頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三4.4 幺正變換（續(xù) 8）兩邊左乘 ,并對 積分 寫成矩陣形式:第57頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三簡寫為從B表象變換到A表象 從A表象變換到B表象 反之，4.4 幺正變換（續(xù) 9）4.幺正變換的兩個重要性質(zhì)（1）幺正變換不改變算符的本征值第58頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 在 表象中的矩陣為 ,本征矢為算符 在 表象中的矩陣為 ,本征矢為4.4 幺正變換

21、（續(xù) 10）本征方程本征方程（1）（2）本征值不變比較(1)、(2) 式,可知第59頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三由此定義有:故跡不變， 的跡等于 的跡 4.4 幺正變換（續(xù) 12）（2）幺正變換不改變矩陣的跡 矩陣A的對角元素之和稱為矩陣A的跡，以 表示，則 第60頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三態(tài)矢量 微觀體系的狀態(tài)用一種矢量來表示，這種矢量稱為態(tài)矢量 （一般是復(fù)矢量）態(tài)矢量空間 由一切可能的態(tài)矢量所構(gòu)成的一種抽象的線性空間，稱為態(tài)矢量空間 (希爾伯特空間)。 對偶態(tài)矢量空間 由共軛態(tài)矢量所構(gòu)成的線性空間稱為對偶態(tài)矢量空間。一、狄喇克符

22、號的引入4.5 狄喇克符號刃矢 表示態(tài)矢量空間中一個態(tài)矢量,又稱為 右矢(ket)刁矢 表示對偶態(tài)矢量空間中一個態(tài)矢量,又 稱為左矢（bra） 在 ket、 bra中加入符號，可用于表示某具體的態(tài)第61頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三在Q表象中的表示在Q表象中的表示 表示波函數(shù) 所描述的共軛狀態(tài)即 表示波函數(shù) 所描述的狀態(tài)力學(xué)量的本征態(tài)，常用本征值或相應(yīng)的量子數(shù)來表示： 坐標(biāo)算符的本征態(tài) （ 為 的本征值） 動量算符的本征態(tài) （ 為 的本征值） 能量算符的本征態(tài) 或 （ 為 本征值）4.5 狄喇克符號（續(xù)）第62頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期

23、三第63頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 坐標(biāo)算符的本征函數(shù)正交歸一化條件： 動量算符的本征函數(shù)正交歸一化條件： 則其正交歸一化條件為 對連續(xù)值譜，正交歸一化條件為： Ex:若力學(xué)量算符 的本征矢記為 ，本征值為 和 的共同本征函數(shù)正交歸一化條件： 4.5 狄喇克符號（續(xù)）第64頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三三、態(tài)矢量在具體表象中的表示分立譜情況： 考慮 表象， 的正交歸一本征矢為 任意態(tài)矢 按 展開 是 在基矢 上的分量 由構(gòu)成 在Q表象中的表示。4.5 狄喇克符號（續(xù)）第65頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 基

24、矢的封閉性關(guān)系 由于態(tài)矢 是任意的，由上式給出。 連續(xù)譜情況：基矢用 表示利用 可得(1)封閉性關(guān)系： 4.5 狄喇克符號（續(xù)）第66頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三有分立譜又有連續(xù)譜的情況，封閉性關(guān)系： Ex. 坐標(biāo)本征函數(shù) 的封閉性Ex. 動量本征函數(shù) 的封閉性標(biāo)積關(guān)系分立譜情況：4.5 狄喇克符號（續(xù)）第67頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三例如坐標(biāo)表象連續(xù)譜情況令 4.5 狄喇克符號（續(xù)）第68頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三四、公式的表示1平均值 ( F 為本征值 )在Q 表象中，用 的本征刁矢 左乘2本征值

25、方程：利用基矢 的封閉性： 4.5 狄喇克符號（續(xù)）第69頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三上式可寫成 3薛定格方程在表象中，以 左乘 4.5 狄喇克符號（續(xù)）第70頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三利用封閉性 可得4.5 狄喇克符號（續(xù)1）第71頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三哈密頓算符： （1）1算符 、 的引入 令 （3）本征能量： （2）4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象第72頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三則 或 令 （4）（注意） 不是厄米算符記 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)1）第

26、73頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三2 、 的對易關(guān)系Prove:4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)2）第74頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三3 、 的物理意義在坐標(biāo)表象中，線性諧振子哈密頓算符 的本征函數(shù)或4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)3）第75頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三利用4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)4）第76頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三因 如果不用具體表象，用Dirac符號表示態(tài)矢，以上兩結(jié)果可寫為故（6）（8）（7）4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)5）第77頁，

27、共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 、 和 都是諧振子哈密頓算符 的本征刃、分別對應(yīng)于本征值 這個能量單位可視為一個粒子。 是 個能量為 的粒子的總能量加上零點能。 由 可知能量 等于 的 倍加零點能 。諧振子的能量只能以 為單位改變。 本征態(tài) 表示體系在這個態(tài)中有n個粒子。（7）式說明經(jīng)算符 作用后，體系由狀態(tài) 變到狀態(tài) ，即粒子數(shù)減少一個，所以稱 為粒子的湮滅符。同理，稱 為粒子的產(chǎn)生算符。 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 6）第78頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三由 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 7）第79頁，共96頁，2022年，

28、5月20日，21點32分，星期三4粒子數(shù)算符利用 能量算符 而 引入算符則能量算符 可見， 的本征值為粒子數(shù)，因而， 稱為粒子數(shù)算符。 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 8）第80頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三5占有數(shù)表象和算符矩陣 的矩陣元以粒子數(shù)算符 的本征態(tài)矢 為基矢構(gòu)成的表象稱為占有數(shù)表象。 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 9）第81頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三 的矩陣元7 的矩陣元 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 10）第82頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三的矩陣元4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 11）第83頁，共96頁，2022年，5月20日，21點32分，星期三一維諧振子處于基態(tài)