2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(大綱全國卷)文

1、大綱全國文科一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013大綱全國,文1)設(shè)全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,則UA=().A.1,2B.3,4,5C.1,2,3,4,5D.答案:B解析:由題意得UA=3,4,5.故選B.2.(2013大綱全國,文2)已知是第二象限角,sin =513,則cos =()A.-1213B.-513C.513答案:A解析:是第二象限角,cos =-1-sin2=-1-3.(2013大綱全國,文3)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則=().A.-4B.-3C.

2、-2D.-1答案:B解析:(m+n)(m-n),(m+n)(m-n)=0.|m|2-|n|2=0,即(+1)2+1-(+2)2+4=0.=-3.故選B.4.(2013大綱全國,文4)不等式|x2-2|2的解集是().A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-1,0)(0,1)D.(-2,0)(0,2)答案:D解析:|x2-2|2-2x2-220 x240|x|2-2x0或0 x0)的反函數(shù)f-1(x)=(A.12x-1(x0)B.12C.2x-1(xR)D.2x-1(x0)答案:A解析:由y=f(x)=log21+1x1+1x=2yx0,y0.f-1(x)=12x-1(x0)7.(2013大綱全

3、國,文7)已知數(shù)列an滿足3an+1+an=0,a2=-43,則an的前10項和等于()A.-6(1-3-10)B.19(1-310C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:3an+1+an=0an+1=-13anan是以-13為公比的等比數(shù)列又a2=-43,a1S10=41-13101+138.(2013大綱全國,文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|=3,則C的方程為().A.x22+y2=1B.C.x24+y2答案:C解析:如圖,|AF2|=12|AB|=32,|F1F2由橢圓定義得|AF1|=2

4、a-32.在RtAF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2=322+22由得a=2,b2=a2-c2=3.橢圓C的方程為x24+y29.(2013大綱全國,文9)若函數(shù)y=sin(x+)(0)的部分圖像如圖,則=().A.5B.4C.3D.2答案:B解析:由題中圖象可知x0+4-x0=T2.T=2.2=2.10.(2013大綱全國,文10)已知曲線y=x4+ax2+1在點(-1,a+2)處切線的斜率為8,則a=().A.9B.6C.-9D.-6答案:D解析:由題意知y|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,則a=-6.故選D.11.(2013大綱全國,文11)已

5、知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于().A.23B.3C.23D.答案:A解析:如圖,設(shè)AA1=2AB=2,AC交BD于點O,連結(jié)OC1,過C作CHOC1于點H,連結(jié)DH.BDAC,BDAA1,BD平面ACC1A1.CH平面ACC1A1,CHBD.CH平面C1BD.CDH為CD與平面BDC1所成的角.OC1=CC由等面積法得OC1CH=OCCC1,32CH=222.CH=sinCDH=CHCD=2312.(2013大綱全國,文12)已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若MAMB=0

6、,則k=(A.12B.22C.2答案:D解析:設(shè)AB:y=k(x-2),代入y2=8x得:k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4kx1x2=4.(*)MAMB=0,(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0,即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0.x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.y1=k(x1-2),y2=k(x2y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2(x1+x2)+4.由(*)及得k=2.故選D.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2013大綱全國

7、,文13)設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù),且當x1,3)時,f(x)=x-2,則f(-1)=.答案:-1解析:f(x)是以2為周期的函數(shù),且x1,3)時,f(x)=x-2,則f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.14.(2013大綱全國,文14)從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎,2名二等獎,3名三等獎,則可能的決賽結(jié)果共有種.(用數(shù)字作答)答案:60解析:分三步:第一步,一等獎有C61種可能的結(jié)果;第二步,二等獎有C52種可能的結(jié)果;第三步,三等獎有C33種可能的結(jié)果.故共有C15.(2013大綱全國,文15)若x,y滿足約束條件x0,x+3y答案:0解析:z=-x+yy=x+

8、z,z表示直線y=x+z在y軸上的截距,截距越小,z就越小.畫出題中約束條件表示的可行域(如圖中陰影部分所示),當直線過點A(1,1)時,zmin=0.16.(2013大綱全國,文16)已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓,其公共弦長等于球O的半徑,OK=32,且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60,則球O的表面積等于答案:16解析:如圖,設(shè)MN為公共弦,長度為R,E為MN中點,連結(jié)OE,EK,則OEMN,KEMN.OEK為圓O與圓K所在平面的二面角.OEK=60.又OMN為正三角形,OE=32OK=32,且OKKEOEsin 60=32.32RR=2.S=4R2=16.三、解答題:解答應(yīng)寫

9、出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(2013大綱全國,文17)(本小題滿分10分)等差數(shù)列an中,a7=4,a19=2a9.(1)求an的通項公式;(2)設(shè)bn=1nan,求數(shù)列bn的前n項和解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d.因為a所以a解得a1=1,d=12所以an的通項公式為an=n+12(2)因為bn=2n所以Sn=21-218.(2013大綱全國,文18)(本小題滿分12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin Asin C=3-14解:(1)因為(a+b+c)(a-b+c)=a

10、c,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=a2+c因此B=120.(2)由(1)知A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=12+2=32故A-C=30或A-C=-30,因此C=15或C=45.19.(2013大綱全國,文19)(本小題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB和PAD都是邊長為2的等邊三角形.(1)證明:PBCD;(2)求點A到平面PCD的距離.(1)證明:取BC的中點E,連

11、結(jié)DE,則ABED為正方形.過P作PO平面ABCD,垂足為O.連結(jié)OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD,所以O(shè)A=OB=OD,即點O為正方形ABED對角線的交點,故OEBD,從而PBOE.因為O是BD的中點,E是BC的中點,所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)解:取PD的中點F,連結(jié)OF,則OFPB.由(1)知,PBCD,故OFCD.又OD=12BD=2,OP=P故POD為等腰三角形,因此OFPD.又PDCD=D,所以O(shè)F平面PCD.因為AECD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離,而OF=

12、12PB=1所以A到平面PCD的距離為1.20.(2013大綱全國,文20)(本小題滿分12分)甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽,另一人當裁判,每局比賽結(jié)束時,負的一方在下一局當裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為12,各局比賽的結(jié)果相互獨立,第1局甲當裁判(1)求第4局甲當裁判的概率;(2)求前4局中乙恰好當1次裁判的概率.解:(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,A2表示事件“第3局甲參加比賽時,結(jié)果為甲負”,A表示事件“第4局甲當裁判”.則A=A1A2.P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=14(2)記B1表示事件“第1局比賽結(jié)果為乙勝”,B2表示事件“第2局乙參加

13、比賽時,結(jié)果為乙勝”,B3表示事件“第3局乙參加比賽時,結(jié)果為乙勝”,B表示事件“前4局中乙恰好當1次裁判”.則B=B1B3+B1B2B3+B1P(B)=P(B1B3+B1B2B3+B1=P(B1B3)+P(B1B2B3)+P(B1=P(B1)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(=1=5821.(2013大綱全國,文21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1.(1)當a=-2時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若x2,+)時,f(x)0,求a的取值范圍.解:(1)當a=-2時,f(x)=x3-32x2+3x+1,f(x)=3x2-62x+3.令f(x

14、)=0,得x1=2-1,x2=2+1.當x(-,2-1)時,f(x)0,f(x)在(-,2-1)是增函數(shù);當x(2-1,2+1)時,f(x)0,f(x)在(2+1,+)是增函數(shù).(2)由f(2)0得a-54當a-54,x(2,+)時f(x)=3(x2+2ax+1)3x2-52x+1=3x所以f(x)在(2,+)是增函數(shù),于是當x2,+)時,f(x)f(2)0.綜上,a的取值范圍是-522.(2013大綱全國,文22)(本小題滿分12分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為3(1)求a,b;(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點,且|AF1|=|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.(1)解:由題設(shè)知ca=3,即a2+b2a2=9所以C的方程為8x2-y2=8a2.將y=2代入上式,并求得x=a2由題設(shè)知,2a2+12=所以a=1,b=22.(2)證明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程為8x2-y2=8.由題意可設(shè)l的方程為y=k(x-3),|k|22,代入并化簡得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1-1,x21,x1+x2