系統(tǒng)數(shù)學市公開課獲獎?wù)n件

1、第七章 典型邏輯與模糊邏輯 邏輯能幫助我們推出正確答案，但它本身卻與我們創(chuàng)造力與記憶力無關(guān)。 邏輯感興趣是邏輯命題“真”與“假”；典型謂詞邏輯真值是二元命題要么為真，要么為假。 在模糊邏輯中，所謂真只是部分或近似。第1頁第1頁邏輯起源于理智自我反省 在古希臘和中國先秦時期，有一個共同現(xiàn)象：諸子蜂起，百家爭鳴，論辯之風盛行，并且出現(xiàn)了一批職業(yè)性文化人，當初叫“智者”（如普如泰戈拉）、“訟師”（如鄧析）、“辯者”、“察士”（如惠施、公孫龍。他們“非”常人之“所是”，“是”常人之“所非”，“操兩可之說，設(shè)無窮之辭”，提出了許多巧辯、詭辯和悖論性命題，并發(fā)展了一些論辯技巧。這是智慧對智慧本身開玩笑，是

2、智慧對智慧本身進行挑戰(zhàn)。它們表現(xiàn)著或者說引起了人類理智自我反省。從而產(chǎn)生了人類智慧和結(jié)晶之一邏輯學。 第2頁第2頁邏輯：形式邏輯（初等）、辯證邏輯（高等）（黑格爾，1812）。 形式邏輯：老式邏輯（普通邏輯）、當代邏輯（數(shù)理邏輯、符號邏輯）（弗雷格 1879，羅素和懷特海 1910） 老式邏輯：演繹邏輯（亞里士多德）、歸納邏輯（培根1620和穆勒1843） 。 第3頁第3頁真正邏輯是什么，邏輯基本精神是什么？ 邏輯內(nèi)在機制就是指決定邏輯這門學科得以產(chǎn)生和發(fā)展東西，并且這種東西在邏輯產(chǎn)生和發(fā)展過程中必定是落實始終；去掉這種東西，邏輯就會名存實亡。從亞里士多德到當代邏輯，始終貫穿了一條基本精神，這

3、就是“必定地得出”。從真實前提必定推出真實結(jié)論。這樣，歸納邏輯和辯證邏輯就都不是真正邏輯。 第4頁第4頁形式邏輯研究對象(What Formal Logic is About)形式邏輯是研究思維。思維是高度組織起來物質(zhì)人腦機能，是對外部現(xiàn)實反應(yīng)。有些人把思維分為感性思維（前思維，包括感覺、知覺和表象）、理性思維（抽象思維、邏輯思維，基本形式是概念、判斷和推理）和發(fā)散思維（新思維、外思維，包括感情、意志和美感等）。又有些人把思維分成形象思維、抽象思維和靈感思維（頓悟）。第5頁第5頁形式邏輯顯然只研究抽象思維，思維有內(nèi)容和形式兩方面，形式邏輯只研究形式方面（不同于辯證思維），思維形式有內(nèi)在形式和外

4、在形式（語言），形式邏輯只研究內(nèi)在形式。思維基本形式有三種，概念、判斷和推理.第6頁第6頁1、形式邏輯研究思維形式(Forms of thinking)，首先是研究這些思維形式邏輯結(jié)構(gòu)，即邏輯形式（思維形式形式、思維形式結(jié)構(gòu)）邏輯形式：思維各個構(gòu)成要素聯(lián)結(jié)或組合方式 ,亦即命題和推理本身各部分之間所共同含有和聯(lián)結(jié)方式。 第7頁第7頁例11、所有美國總統(tǒng)都是男性。 2、所有中國古代文學家都是精通歷史和哲學人。 3、他妻子非常地討厭他。 4、他兒子非常地崇敬他。 5、假如過度砍伐森林，那么會破壞生態(tài)平衡。 6、假如雙方都只有一馬，那么結(jié)局應(yīng)當是和棋。 7、假如夫妻雙方都是獨生子女，那么能夠生育二胎

5、。 8、假如一個三角形是等角，那么它是等邊。 9、假如金屬受熱，那么它會膨脹。 第8頁第8頁例21、所有金屬都是導體，鐵是金屬，因此鐵是導體。 2、所有有理數(shù)都是實數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，因此整數(shù)是實數(shù)。 3、愛因斯坦是杰出科學家，愛因斯坦是猶太人，因此有猶太人是杰出科學家。 4、馬友友是杰出大提琴家，馬友友是華人，因此有華人是杰出大提琴家。 第9頁第9頁例1都是命題邏輯形式，有三種： 所有S是P。 aRb。 假如p，那么q。 例2是推理邏輯形式： 1）所有M是P。 S是M。 因此S是P。 2）M是P M是S 因此有S是P第10頁第10頁2、形式邏輯還要研究在這些邏輯形式中起作用一系列邏輯規(guī)律。同一

6、律、矛盾律和排中律。確保思維確實定性、無矛盾性和明確性。3、老式邏輯尚有一個研究對象，簡樸邏輯辦法。第11頁第11頁形式邏輯性質(zhì)(Properties of Logic) 邏輯學是一門含有工具性質(zhì)學科。它為人們正確結(jié)識客觀事物、表示思想提供了必要工具。它所提供關(guān)于思維形式結(jié)構(gòu)方面知識，對各門科學都普遍合用，任何科學都是應(yīng)用邏輯。2.思維語法。語法研究是構(gòu)詞造句規(guī)則，而邏輯研究是思維單位組合規(guī)則。 第12頁第12頁學習形式邏輯意義： 1、能夠幫助人們探求新知； 2、能夠幫助人們正確地表示思想； 3、能夠幫助人們反駁謬誤，揭發(fā)詭辯； 4、能夠幫助人們學習各門科學知識。 第13頁第13頁1936年1

7、0月15日，愛因斯坦就在“美國高等教育三百年齡念大會”上發(fā)言中提出：“學校目的始終應(yīng)當是：青年人在離開學校時，是作為一個友好人，而不是作為一個專家。”“學校始終應(yīng)當把發(fā)展獨立思考和獨立判斷普通能力放在首位，而不應(yīng)當把取得專門知識放在首位?！?952年，他再次提出：“用專業(yè)知識教育人是不夠。通過專業(yè)教育他能夠成為一個有用機器，但是不能成為一個友好發(fā)展人?！钡?4頁第14頁一、判斷、命題和語句(Judgment, proposition and Sentence)1、判斷：就是對事物情況有所斷定一個思維形式。 就是對思維對象有所必定或否認一個思維形式。 概念反應(yīng)、表示事物，判斷對事物進行闡明，表示

8、一個完整思想。第15頁第15頁2、判斷邏輯特性：對思維對象有所必定或否認；或真或假。3、命題：是表示判斷語句。是能區(qū)別真假句子。是判斷內(nèi)容和語言形式統(tǒng)一。 第16頁第16頁思考： 1、中國人是不怕死。 2、臺灣不是一個國家。 3、青菜五毛錢一斤。 4、明天晴到多云。 5、小明從遠處走來。 6、臺上坐著主席團。 7、臺灣莫非不是中國領(lǐng)土一部分嗎？8、奧林匹克運動會是聞名世界運動會。 9、他老了。 10、她美麗得像一朵花。 *11）請關(guān)上門。 *12）祝你新年高興！ *13）我能用一下你手機嗎？ 第17頁第17頁1、區(qū)分命題（判斷）：能否區(qū)分真假。 2、命題與語句：命題必定是語句，但語句不一定是命

9、題，陳說句和反問句是命題，表示判斷；同一命題能夠用不同語句表示，同一語句表示不同命題；語言含有民族性，但判斷命題含有全人類性；語言中有各種不同語法修辭成份。 3、形式邏輯研究是命題，是判斷語言表示。判斷和語句分別是認識論和語言學研究對象。 第18頁第18頁命題分類： 簡樸命題：性質(zhì)命題、關(guān)系命題；復合命題：聯(lián)言命題、選言命題、假言命題、反命題。 第19頁第19頁呂氏春秋：鑿井得一人，是指不用專員挑水，節(jié)約了一個勞動力，不是鑿井時鑿出了一個人；黃帝時東海有一怪獸名夔，只有一足，堯舜時民間有一著名樂師名夔，舜說：“音樂之本，貴在能和，若夔者一而足矣?！币院笕苏`認為樂師夔只有一只腳，“夔一足”可表示

10、兩個命題。再如：“他在火車上畫畫”。一語句表示不同命題 第20頁第20頁推理 1、定義：推理就是從已知命題出發(fā)推出新命題思維形式。 2、構(gòu)成：前提、結(jié)論。 3、與語言相應(yīng)關(guān)系：復句、句群。由于因此。因此 4、正確推理條件：前提真實；前提和結(jié)論間關(guān)系符合思維規(guī)律要求，即推理合乎邏輯規(guī)則，含有邏輯性。 5、推理種類： 1）直接推理和間接推理（前提多少） 2）演繹和歸納（類比）推理（思維進程方向） 第21頁第21頁性質(zhì)命題(Categorical Propositions)定義：(definition)是斷定事物是否含有某種性質(zhì)命題。又叫直言命題。例：1、（所有）行星軌道都是橢圓形。 2、美滿婚姻都

11、是以愛情為基礎(chǔ)婚姻。 3、任何民主國家都不是世襲制國家。 4、有美籍華人是諾貝爾獎取得者。 7、有哺乳動物不是胎生。 8、貝多芬田園交響曲是標題音樂。 9、帕瓦羅蒂是世界著名男高音歌唱家。 10、徐志摩不是自然死亡。 11、比爾蓋茨不是哈佛大學畢業(yè)生。 第22頁第22頁構(gòu)成：(The Components of Categorical Propositions)(the structure of) 1、主項：(a subject term)表示命題對象概念，S； 2、謂項：(a predicate term)表示主項具不含有某種性質(zhì)概念，P； 3、聯(lián)項（質(zhì)）：(a copula)(qualit

12、y)必定、否認；(“are”, “are not”) 第23頁第23頁關(guān)系命題定義：關(guān)系命題也是一個簡樸命題，它是斷定事物之間關(guān)系命題。 關(guān)系：大小、多少、上下、左右、高下、快慢、朋友、父子、師生、同事、喜歡、厭惡等等。例：中國和日本是近鄰。 孔尚任是孔子后代。 潘金蓮非常喜歡武松。 墨子早于莊子。 光速度和無線電波速度相等。 周作人是魯迅弟弟。 武漢在北京和廣州中間。 有選舉人贊成所有候選人。 第24頁第24頁構(gòu)成： 1、關(guān)系者項（主項）：關(guān)系命題對象，兩個以上，兩項、三項關(guān)系關(guān)系者前項（一項），關(guān)系者后項（二項）用a、b、c表示。 2、關(guān)系項（謂項）：事物之間關(guān)系，用R表示。 3、量項：關(guān)

13、系者項外延數(shù)量。邏輯形式：所有（有）aR有（所有）b。 aRb。 第25頁第25頁關(guān)系推理關(guān)系推理：是以關(guān)系命題作為前提或結(jié)論推理。例： 1、甲與乙是鄰居，因此乙與甲也是鄰居。 2、A不小于B，因此B小于A。 3、中國人口比印度人口多，印度人口比巴基斯坦人口多，因此中國人口比巴基斯坦人口多。4、張三是李四舅舅，李四是王五舅舅，因此張三不是王五舅舅。 第26頁第26頁7.1 典型謂詞邏輯 簡樸命題 p 是指論域 X 中判斷真假語言陳說或語句，即對論域 X 中集合而言能夠判斷為全真或全假。 命題 p 中元素能夠賦予一個二元真值 T(P),正如賦予一個二元值來表示元素在特定集合中從屬度同樣。邊界問題

14、：對論域 Y 和空集 ，我們定義真值下列： 第27頁第27頁 現(xiàn)設(shè) p 和 Q 為同一論域上兩個簡樸命題，可進行下列一些復合：析取合取否認（）蘊涵等價第28頁第28頁 現(xiàn)在論域 X 上定義兩個語義集合 A 和 B。在下列情況下存在命題演算或命題代數(shù)：命題 P 表示“論域 X 中元素 x 屬于集合 A”命題Q 表示“論域 X 中元素 y 屬于集合 B”或習慣地記為：若 ，則 p 為真；若 ，則 Q 為真；第29頁第29頁例：設(shè)論域X包括所有結(jié)構(gòu)梁、桁架等結(jié)構(gòu)件，x為元素（梁），A是所有寬緣梁結(jié)構(gòu)集合，B是鋼質(zhì)梁結(jié)構(gòu)集合。設(shè)命題P表示“結(jié)構(gòu)梁是寬緣梁”，命題Q表示“結(jié)構(gòu)梁是鋼制品”。于是，有： P

15、：x屬于A Q：x屬于B第30頁第30頁這里真也可用真值表示，即若 ，則 T(p)=1；不然 T(P)=0若 ，則 T(Q)=1；不然 T(Q)=0或用特性函數(shù)表示真和假，記為第31頁第31頁 在論域X中所有關(guān)于命題P為真元素x構(gòu)成集合稱為P真集，記為W(P)。 如果命題P和Q不也許同時為真，即則稱P,Q為互斥命題。第32頁第32頁給定命題：則因此第33頁第33頁蘊涵等價復合命題 除了前件為真，后件為假情形外恒為真，即真前件不也許推出假后件。第34頁第34頁例：因此也就是說，邏輯蘊涵類似于集合運算：（或“不屬于A”或“屬于B”)第35頁第35頁因此 上式在語義上等價于“ 為真，當且僅當非 A

16、或 B 為真（邏輯或）”第36頁第36頁設(shè)蘊涵運算包括兩個不同論域：第37頁第37頁則蘊涵 可用集合論中關(guān)系 R 表示為：第38頁第38頁用語言表示則為：If A then B, and, if not A then C 在謂詞邏輯中則為：其中第39頁第39頁在集合論中，它又等價于If A then B, else C中關(guān)系第40頁第40頁7.1.1 重言式（永真式） 謂詞邏輯中，與單個簡樸命題真值無關(guān)且恒為真得復合命題稱為重言式。 重言式在演繹推理、定理證實和演繹推斷中十分有用。比如：設(shè)A是所有素數(shù)集合則命題“ 不能被 6 整除”就是一個重言式第41頁第41頁 假言推理是重言式一個，它是專家

17、系統(tǒng)中一個慣用基于規(guī)則前向鏈接推理辦法。 取拒式也是重言式一個，它是專家系統(tǒng)中一個慣用基于規(guī)則后向鏈接推理辦法。（假言推理）（取拒式）慣用重言式尚有：第42頁第42頁假言推理一個簡樸證實：證實：蘊涵式分派律排中律同一律蘊涵式德。摩根定律結(jié)合律排中律同一律第43頁第43頁 下表以真值表形式給出了重言式一個簡化證實。第44頁第44頁取拒式簡樸證實：第45頁第45頁 下表以真值表形式給出了取拒式一個簡化證實。第46頁第46頁7.1.2 矛盾式 無論構(gòu)成復合命題各單個簡樸命題真假如何，恒為假復合命題稱為矛盾式。7.1.3 等價式僅當 P、Q同時為真或同時為假時成立。容易證實：表述 當 P 和 Q 相同

18、，即當且僅當 T(P)=T(Q) 時為重言式。第47頁第47頁第48頁第48頁例：P=“n是偶數(shù)”，則 w(P)=2,4,6,8, w(Q)=3,4,5,7真集為逆反命題逆命題反命題第49頁第49頁7.1.4 不可兼或和不可兼或非 不可兼或非是不可兼或補，它事實上是一個等價運算，即第50頁第50頁第51頁第51頁7.1.5 邏輯證實邏輯推理過程，用術(shù)語表示，就是命題是否為真，即它是否為重言式。詳細問題求解環(huán)節(jié)下列：首先，以語句形式給出符合命題；另一方面，將復合命題分解為簡樸命題并插入適當邏輯連結(jié)詞構(gòu)成代數(shù)命題；最后，利用真值表來判斷語句真實性。第52頁第52頁例： 假設(shè)：工程師是數(shù)學家，邏輯思

19、考者不相信魔法，數(shù)學家是邏輯思考者。結(jié)論：工程師不相信魔法將其分解為簡樸命題：P: 某人是工程師Q: 某人是數(shù)學家R: 某人是邏輯思考者S: 某人相信魔法于是結(jié)論可表示成下列代數(shù)命題：能夠證實此復合命題是重言式第53頁第53頁7.1.6 演繹推斷假言推理是系統(tǒng)中基于規(guī)則一個推斷工具。設(shè)有規(guī)則：其中則此規(guī)則可轉(zhuǎn)換為集合 A 與 B 間關(guān)系第54頁第54頁現(xiàn)設(shè)有一新前件 ，能否借助假言推理從 推出新后件（結(jié)論） 呢？回答是必定。由于 是定義在笛卡爾空間 上關(guān)系，由合成運算即可求得：第55頁第55頁假言推理演繹法也適合用于復合規(guī)則If A then B, else C現(xiàn)設(shè)有一新前件 ,可知存在下列三

20、種情況：第56頁第56頁另外規(guī)則即用函數(shù)論定義下列：第57頁第57頁例：第58頁第58頁第59頁第59頁7.2 模糊邏輯羅素悖論：Seville小鎮(zhèn)剪發(fā)師（只有一個）只給那些不給自己刮臉人刮臉。 此悖論成立唯一也許是它同時既真又假，用集合論能夠證實這一點。令 S 表示“剪發(fā)師給自己刮臉”由 和則第60頁第60頁1、中世紀神學家宣稱：上帝是全知全能。無神論者一個比較著名反駁辦法是：上帝能夠創(chuàng)造一塊他自己舉不起來石頭嗎？二難推理 2、說謊者悖論。公元前6世紀古希臘克里特島上伊壁孟德：所有克里特島人都是說謊者。以后人們修正為“我正在說這句話是謊話”?；蛘摺拔艺谡f謊”。 第61頁第61頁3、明信片悖

21、論。一張明信片一面寫有一句話：“本明信片后面那句話是真?！狈^明信片，只見后面那句話是：“本明信片正面那句話是假?！?4、鱷魚悖論。一條鱷魚從一位母親手中搶走了一個小孩，鱷魚問：“我會不會吃掉你孩子？答對了，我會還給你，答錯了， 我就吃了孩子?！蹦赣H說：“你會吃掉我孩子?！便Ｕ摚?paradox)由它真能夠推出它假并且由它假能夠推出它真句子。 第62頁第62頁不知道作曲：布賴恩特江 作詞：拉姆斯菲爾德 “據(jù)我們所知，我們已經(jīng)知道一些，我們知道我們已經(jīng)知道一些，我們還知道，我們有些并不知道，也就是說，我們知道有些事情我們還不知道，但是，尚有一些，我們并不知道我們不知道，這些我們不知道，我們不知道

22、。拉姆斯菲爾德2月12日新聞公布會上語。 第63頁第63頁“我不認為未來一定比過去更難以預(yù)言，相反，我認為當過去開始時它也是不可預(yù)料。”“我們有確信消息知道他(奧薩馬 本.拉登)不是在阿富汗就是在其它國家或是死了?！?“我們知道他們在哪。他們在Tikrit附近及巴格達或是東部，西部，南部，北部也有也許。”在談到伊拉克大規(guī)模殺傷性武器。 “自由是雜亂無章并且自由人們能夠隨意犯錯誤，犯罪及做壞事?！泵绹肭忠晾撕髮σ晾顺霈F(xiàn)搶劫暴動事件說話第64頁第64頁“奧薩馬 本.拉登不是活著且活得較好就是活著但活得不較好或是死了?！薄罢f是多出，總統(tǒng)是正確。無論他說什么。” “假如我說是，那就暗示那是唯一地方，但是沒必要那么準確。這也不是不準確，但我是不愿意誤導任何人?！耙灿辛硪粋€表示，那就是沒有證據(jù)不能證實證據(jù)不存在。這是同一件事用不同方式表示。你沒有證據(jù)證實一些東西確實存在并不意味著你就有證據(jù)證實它不存在?！标P(guān)于伊拉克大規(guī)模殺傷性武器第65頁第65頁“學會說不知道。若是在適當時候使用，它會很慣用?！拔也恢朗聦?，但一些人確會和我一起坐在一起并發(fā)現(xiàn)他知道他們不知道，且確信他知道他們知道他也許不知道?！薄耙心芰θマo職，這將提升