解答題訓練（五）

1、PAGE PAGE 7解答題訓練（五）1在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知B60（）若cos(BC)eq f(11,14)，求cosC的值；（）若a5，eq o (sup7(),AC)eq o (sup7(),CB)5，求ABC的面積2在等差數(shù)列an中，滿足3a55a8，Sn是數(shù)列an的前n項和（）若a10，當Sn取得最大值時，求n的值；（）若a146，記bneq f(Snan,n)，求bn的最小值3如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，ADB90，AB2AD（）證明：PABD；（）若PDAD，求二面角A-PB-C的余弦值4為增強市民節(jié)能環(huán)

2、保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示分組（單位：歲）頻數(shù)頻率20，25)50.0525，30)0.2030，35)3535，40)300.3040，45100.10合計1001.00（）頻率分布表中的、位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在30，35)歲的人數(shù)；（）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動，從這20人中選取2名志愿者擔任主要負責人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學

3、期望5如圖，已知橢圓：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1（ab0）的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的一個動點，滿足|eq o (sup7(),F1Q)|2a點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點M在線段F2Q上，且滿足eq o (sup7(),PM)eq o (sup7(),MF2)0，|eq o (sup7(),MF2)|0（）求點M的軌跡C的方程；（）設(shè)不過原點O的直線l與軌跡C交于A，B兩點，若直線OA， AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，求OAB面積的取值范圍；（）由（）求解的結(jié)果，試對橢圓寫出類似的命題（只需寫出類似的命題，不必說明理由）6已知函數(shù)f

4、(x)ln(1x)ax在xeq f(1,2)處的切線的斜率為1（）求a的值及f(x)的最大值；（）證明：1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)ln(n1)（nN*）；（）設(shè)g(x)b(exx)，若f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍解答題訓練（五）參答1解：（）在ABC中，由cos(BC)eq f(11,14)，得sin(BC)eq r(,1cos2(BC)eq r(,1(eq f(11,14)2)eq f(5eq r(,3),14)，cosCcos(BC)Bcos(BC) cosBsin(BC) sinBeq f(11,14)eq f(1,2)eq f(5eq r(,

5、3),14)eq f(eq r(,3),2)eq f(1,7)（6分）（）由eq o (sup7(),AC)eq o (sup7(),CB)5，得|eq o (sup7(),AC)|eq o (sup7(),CB)|cos(180C)5，即abcosC5，又a5，bcosC1， 由正弦定理eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，得eq f(a,sin(120C)eq f(b,sin60)，eq f(5,eq f(eq r(,3),2)cosCeq f(1,2)sinC)eq f(b,eq f(eq r(,3),2)，即eq r(,3)bcosCbsinC5eq r(,3)， 將代入，

6、得bsinC6eq r(,3)，故ABC的面積為Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)56eq r(,3)15eq r(,3)（12分）2解：（）設(shè)an的公差為d，則由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，deq f(2,23)a1Snna1eq f(n(n1),2)(eq f(2,23)a1)eq f(1,23)a1n2eq f(24,23)a1neq f(1,23)a1(n12)2eq f(144,23)a1a10，當n12時，Sn取得最大值（6分）（）由（）及a146，得deq f(2,23)(46)4，an46(n1)44n50，Sn46neq f(n(n1),2)

7、42n248nbneq f(Snan,n)eq f(2n252n50,n)2neq f(50,n)522eq r(,2neq f(50,n)5232，當且僅當2neq f(50,n)，即n5時，等號成立故bn的最小值為32（12分）3解：（）由ADB90，可得BDAD因為PD底面ABCD，所以PDBD又PDADD，所以BD平面PAD，因為PA平面PAD，所以BDPA（4分）（）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，設(shè)ADa，則A（a，0，0），B（0，eq r(,3)a，0），C（a，eq r(,3)a，0），P（0，0，a），eq o (sup7(),AB)（a，eq r(,3)a，0），

8、eq o (sup7(),BC)（a，0，0），eq o (sup7(),AP)（a，0，a），eq o (sup7(),PC)（a，eq r(,3)a，a）設(shè)平面PAB的法向量為n（x，y，z），所以eq blcrc (avs4alco1(neq o (sup7(),AB)0，,neq o (sup7(),AP)0。)可得eq blcrc (avs4alco1(axEQ R(,3)ay0，,axaz0。)設(shè)yeq r(,3)，則xz3，可得n（3，eq r(,3)，3）同理，可求得平面PBC的一個法向量為m（0，1，eq r(,3)）所以cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(2

9、eq r(,7),7)由圖形知，二面角A-PB-C為鈍角，因此二面角A-PB-C的余弦值是eq f(2 eq r(,7),7)（14分）4解：（）處填20，處填0.35；補全頻率分布直方圖如圖所示根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在30，35)的人數(shù)為5000.35175（5分）（）用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“年齡低于30歲”的有5人，“年齡不低于30歲”的有15人由題意知，X的可能取值為0，1，2，且P(X0)eq f(Ceq oal(2,15),Ceq oal(2,20)eq f(21,38)， P(X1)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,15)

10、,Ceq oal(2,20)eq f(15,38)， P(X2)eq f(Ceq oal(2,5),Ceq oal(2,20)eq f(2,38)eq f(1,19)X的分布列為：X012Peq f(21,38)eq f(15,38)eq f(1,19)E(X)0eq f(21,38)1eq f(15,38)2eq f(2,38)eq f(1,2)（14分）5解：（）設(shè)M（x，y）為軌跡C上的任意一點當|eq o (sup7(),PM)|0時，點（a，0）和點（a，0）在軌跡C上當|eq o (sup7(),PM)|0且|eq o (sup7(),MF2)|0時，由eq o (sup7(),P

11、M)eq o (sup7(),MF2)0，得eq o (sup7(),PM)eq o (sup7(),MF2)又|eq o (sup7(),PQ)|eq o (sup7(),PF2)|（如圖），所以M為線段F2Q的中點在QF1F2中，|eq o (sup7(),OM)|eq f(1,2)|eq o (sup7(),F1Q)|a，所以有x2y2a2綜上所述，點M的軌跡C的方程是x2y2a2（4分）（）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為ykxm（m0），A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,x2y2a2)消去y并整理，得(

12、1k2)x22kmxm2a20，則4k2m24(1k2)(m2a2)4(k2a2a2m2)0，且x1x2eq f(2km,1k2)，x1x2eq f(m2a2,1k2)y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(k2x1x2km(x1x2)m2, x1x2)k2，即eq f(2k2m2,1k2)m20，又m0，k21，即k1設(shè)點O到直線l的距離為d，則deq f(|m|,eq r(,k21)，SOABeq f(1,2)|AB|deq f(1,2)eq r(,1k2)|x1x2

13、|eq f(|m|,eq r(,k21)eq f(1,2)|x1x2 |m|eq f(1,2)eq r(,m2(2a2m2)由直線OA，OB的斜率存在，且0，得0m22a2且m2a2，0eq r(,m2(2a2m2)eq f(m2(2a2m2),2)a2故OAB面積的取值范圍為（0，eq f(1,2)a2）（10分）（）對橢圓而言，有如下類似的命題：“設(shè)不過原點O的直線l與橢圓交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，則OAB面積的取值范圍為（0，eq f(1,2)ab）”（14分）6解：（）函數(shù)f(x)的定義域為（1，）求導數(shù)，得f (x)eq f(1,1x)a由已知，得f

14、 (eq f(1,2)1，即eq f(1,1(eq f(1,2)a1，a1此時f(x)ln(1x)x，f (x)eq f(1,1x)1eq f(x,1x)，當1x0時，f (x)0；當x0時，f (x)0當x0時，f(x)取得極大值，該極大值即為最大值，f(x)maxf(0)0（4分）（）法（一）：由（），得ln(1x)x0，即ln(1x)x，當且僅當x0時，等號成立令xeq f(1,k)（kN*），則eq f(1,k)ln(1eq f(1,k)，即eq f(1,k)lneq f(k1,k)，eq f(1,k)ln(k1)lnk（k1，2，n）將上述n個不等式依次相加，得1eq f(1,2)e

15、q f(1,3)eq f(1,n)(ln2ln1)(ln3ln2)ln(n1)lnn，1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)ln(n1)（nN*）（10分）法（二）：用數(shù)學歸納法證明（1）當n1時，左邊1lne，右邊ln2，左邊右邊，不等式成立（2）假設(shè)當nk時，不等式成立，即1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,k)ln(k1)那么1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,k)eq f(1,k1)ln(k1)eq f(1,k1)，由（），知xln(1x)（x1，且x0）令xeq f(1,k1)，則eq f(1,k1)ln(1eq f(1,k1)lneq f(k2,k1)，ln(k1)eq f(1,k1)ln(k1)lneq f(k2,k1)ln(k2)，1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,k)eq f(1,k1)ln(k2)即當nk1時，不等式也成立（10分