多元函數(shù)極限和連續(xù)性

1、關(guān)于多元函數(shù)的極限與連續(xù)性2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第1頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月22.1 多元函數(shù)的概念引例: 圓柱體的體積 一定質(zhì)量的理想氣體，其體積V與壓強(qiáng)p均 與氣體所受的溫度T(絕對(duì)溫度)有關(guān)，其關(guān)系 式為： p=RT/V R-氣體常數(shù) (V0, T0oK) 第2頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3 函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對(duì) 應(yīng)關(guān)系. R 到 R 的映射是一元函數(shù)； R2 到 R 的映 射則是二元函數(shù)，R3 到 R 的映射則是三元

2、函數(shù)，. ,Rn 到 R 的映射則是n元(數(shù)量值）函數(shù). 三角形面積的海倫公式一個(gè)變量依賴(lài)于二個(gè)或二個(gè)以上變量的情形！ 溫度是時(shí)空的函數(shù)： T= T(x,y,z,t)第3頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4n 元（數(shù)量值）函數(shù)定義See P.11定義2.1第4頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5對(duì)于后一種被稱(chēng)為 “點(diǎn)函數(shù)” 的寫(xiě)法, 它可使多元 函數(shù)與一元函數(shù)在形式上盡量保持一致, 以便仿照 一元函數(shù)的辦法來(lái)處理多元函數(shù)中的許多問(wèn)題; 同時(shí), 還可把二元函

3、數(shù)的很多論斷推廣到 元函數(shù)中來(lái). -點(diǎn)函數(shù)形式 第5頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6例1 求下列函數(shù)的定義域 第6頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7xyoxyo第7頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8xyoxyo第8頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9二元函數(shù) z=f (x,y) 的圖象 當(dāng)把 和它所對(duì)應(yīng)的 一起

4、組成 三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時(shí), 三維點(diǎn)集 便是二元函數(shù) f 的圖象, 通常該圖象是一空間曲面. 第9頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10例2它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的馬鞍面.第10頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11例2 (2) 例2(3)例2(4)第11頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12 若二元函數(shù)的值域 是有界數(shù)集, 則稱(chēng)函數(shù) 在 D上為一有界函數(shù) ( 如例2(2)中的

5、函數(shù) ) . 否則, 若 是無(wú)界數(shù)集, 則稱(chēng)函數(shù)在 D上為一無(wú)界 函數(shù) ( 如例2(1)、(3)、(4 )中的函數(shù) ). 與一元函數(shù)類(lèi)似地, 設(shè) 則有 第12頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13另一種圖示法等高(值）線(xiàn)（See P12)第13頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14第14頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15例3 設(shè)函數(shù) ( 此函數(shù)在以后還有特殊用處 ) 試用等高線(xiàn)法討論

6、曲面 的形狀. 解 用 為一系列常數(shù) ) 去截曲面 得等高線(xiàn)方程 第15頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16當(dāng) 時(shí), 得 平面上的四條直線(xiàn) 當(dāng) 時(shí), 由等高線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程難以看出它 的形狀. 若把它化為極坐標(biāo)方程, 即令得到如下一頁(yè)圖 所示, 為所對(duì)應(yīng)的一 族等高線(xiàn). 第16頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17第17頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18由此便可想象曲面的大致形狀如圖 所示, 坐標(biāo)原點(diǎn)是曲面的一個(gè)鞍點(diǎn), 四道 “山谷” 與四道 “山脊” 在鞍 點(diǎn)處相匯. 第18頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19設(shè) A為 Rn 中的點(diǎn)集, 稱(chēng)映射：為定義在A上的一個(gè)n元向量值函數(shù)，也記作其中是自變量，.有See P.14定義2.2或第19頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35分，星期三2009年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20第20頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)35