多元隨機(jī)變量以及其分布

1、關(guān)于多元隨機(jī)變量及其分布1第1頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三2 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機(jī)變量及其分布. 但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述. 在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對隨機(jī)變量(兩個(gè)坐標(biāo))來確定的. 飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)隨機(jī)變量(三個(gè)坐標(biāo)）來確定的等等.第2頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三3 一般地，我們稱n個(gè)隨機(jī)變量的整體X=(X1, X2, ，Xn)為n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量. 由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，為簡單起見，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .請注意與一維情形的對照 .

2、第3頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三41 二維離散型隨機(jī)變量則稱二維表 為(X,Y)的聯(lián)合分布律。 一、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律第4頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三5第5頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三6例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球兩次，定義X為第一次摸得的白球數(shù)，Y為第二次摸得的白球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。 解第6頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三7解例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球兩次，定義X為第一次摸得的白球數(shù)，Y為第二次摸得的白球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合

3、分布律。 第7頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三8例2解由于 所以 第8頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三9故(X,Y)的聯(lián)合概率分布為 第9頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三10解例3第10頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三11二、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量（X,Y）X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量Xxx第11頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三12第12頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三13二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的基本性質(zhì)第13

4、頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三14練習(xí)：P57 習(xí)題 3-11.補(bǔ)充題 設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且 第14頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三15解補(bǔ)充題 設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且 第15頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三16即(X, Y)的概率分布為： 第16頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三172 二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)第17頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三18面上的一個(gè)區(qū)域. 第18頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分

5、，星期三19設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為例1解(1) 由規(guī)范性第19頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三20第20頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三21第21頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三22解例2第22頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三23所以第23頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三24二、常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 設(shè)G是平面上的有界區(qū)域, 其面積為A. 若二維隨機(jī)變量( X,Y )具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布. 若( X,Y)服從區(qū)域G上的均

6、勻分布, 則對于G中任一子區(qū)域D, 有1、二維均勻分布第24頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三25 于是( X,Y)落在G中任一子區(qū)域D的概率與D的面積成正比, 而與D的形狀和位置無關(guān). 在這個(gè)意義上我們說,服從某區(qū)域上均勻分布的二維隨機(jī)變量在該區(qū)域內(nèi)是“等可能”的。第25頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三26如果 ( X,Y )的概率密度2、二維指數(shù)分布第26頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三27若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度記作則稱( X,Y)服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù), 且3、二維正態(tài)分布第27頁

7、，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三28練習(xí)：P59 習(xí)題 3-21.第28頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三293 邊緣分布即同理,一、邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系 二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體, 用聯(lián)合分布來刻畫. 而X和Y都是一維隨機(jī)變量, 各有自己的分布, 稱為邊緣分布.第29頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三30設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為例1則邊緣分布函數(shù)為其中參數(shù)第30頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三31說明：聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布，但是邊緣分布一般不能唯一確

8、定聯(lián)合分布。也即，二維隨機(jī)向量的性質(zhì)一般不能由它的分量的個(gè)別性質(zhì)來確定，還要考慮分量之間的聯(lián)系，這也說明了研究多維隨機(jī)向量的作用。 邊緣分布與參數(shù)無關(guān).第31頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三32例2 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為解 (1) 第32頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三33解 (2) (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(3) 邊緣分布函數(shù)分別為 求導(dǎo)得邊緣密度函數(shù)分別為 第33頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三34解 (4) 第34頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三35二、邊緣分布律

9、設(shè)( X,Y )是離散型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為則邊緣分布為記作第35頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三36 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球兩次，定義X為第一次摸得的白球數(shù)，Y為第二次摸得的白球數(shù)，則(X,Y)的聯(lián)合分布律為 例3Y的邊緣分布X的邊緣分布所以 X,Y 的邊緣分布律分別為第36頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三37若改為無放回摸球，則(X,Y)的聯(lián)合分布律為 邊緣分布為第37頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三38邊緣分布為與有放回的情況比較，但邊緣分布卻完全相同。兩者的聯(lián)合分布完全不同，若改為無放回摸球

10、，則(X,Y)的聯(lián)合分布律為 第38頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三39例4 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合分布為解求：(1) c；(1)120010.1c0.10.10.20.2第39頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三40例4 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合分布為解求：(1) c；(1)0.3120010.10.10.10.20.2(2) 邊緣分布0.30.40.30.50.5100.50.51200.30.40.3第40頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三41例4 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合

11、分布為解求：(1) c；(1)0.3120010.10.10.10.20.20.30.40.30.50.5第41頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三42三、邊緣密度函數(shù)設(shè)( X,Y )是連續(xù)型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為由于所以(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為同理, 關(guān)于Y 的邊緣密度函數(shù)為第42頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三43求 (1) c的值；(2) 兩個(gè)邊緣密度；解 (1)設(shè)(X,Y)的概率密度是例5xy01第43頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三44xy01(2)所以第44頁，共97頁，2022年，5月20日，

12、19點(diǎn)38分，星期三45xy01(2)所以第45頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三46xy01第46頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三47例6解隨機(jī)向量(X,Y)的密度概率為 xyO21D其他第47頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三48例6解隨機(jī)向量(X,Y)的密度概率為 其他xyO21D第48頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三49上的均勻分布，試求X和Y的邊緣分布. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從單位圓解關(guān)于X的邊緣密度為 例7(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為第49頁，共97頁，2022年，5月20日，1

13、9點(diǎn)38分，星期三50上的均勻分布，試求X和Y的邊緣分布. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從單位圓解關(guān)于Y 的邊緣密度為例7(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為注意：X和Y 的邊緣分布不是均勻分布. 第50頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三51可以證明, 若則 這就是說,二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數(shù) .因此可以斷定參數(shù) 描述了X與Y之間的某種關(guān)系!由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布；但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.再次說明聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:第51頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三52練習(xí)：P64 習(xí)題 3-31.第52

14、頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三534 條件分布在第一章中，我們介紹了條件概率的概念 .在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量 X,Y ，在給定Y 取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.第53頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三54一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律 設(shè) (X,Y) 是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的 j，若P(Y=yj)0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.類似地，對于固定的 i，若P(X=xi)0，則稱為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.第54頁，共97頁，

15、2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三55 條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì). 正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：第55頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三56 設(shè)(X,Y )的聯(lián)合分布律為 例1解求在給定Y=2下隨機(jī)變量X的條件分布律和在給定X=1下隨機(jī)變量Y的條件分布律。 因?yàn)樗栽诮o定Y=2下隨機(jī)變量X的條件分布律為第56頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三57或?qū)憺榈?7頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三58所以在給定X=1下隨機(jī)變量Y的條件分布律為或?qū)憺榈?8頁，共97頁，202

16、2年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三59二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)邊緣概率密度為 , 若對固定的x , 為在X=x的條件下，Y 的條件概率密度;類似地，對一切使 的 y, 定義為在 Y=y的條件下，X的條件概率密度 .定義 設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為則稱第59頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三60 設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為X的邊緣密度為例2解xy0第60頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三61所以, 當(dāng) |x| 1時(shí), 有所以x 作為已知變量第61頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三62練習(xí)：P68

17、 習(xí)題 3-41.第62頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三63第五節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性第63頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三64隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念。兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立 .設(shè) X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對任意的x, y,則稱X,Y相互獨(dú)立 .第64頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三65上式用分布函數(shù)表示,即情形1 ( X,Y )是離散型隨機(jī)變量，則 X,Y相互獨(dú)立的定義等價(jià)于第65頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三66 袋中

18、有2只白球3只黑球，摸球兩次，定義X為第一次摸得的白球數(shù)，Y為第二次摸得的白球數(shù)，則有放回和不放回時(shí)(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布分別為 例1 經(jīng)驗(yàn)證，放回時(shí)，X與Y相互獨(dú)立；不放回時(shí)，不獨(dú)立。 第66頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三67 設(shè)(X,Y )的聯(lián)合分布律為 例2且X與Y 相互獨(dú)立，試求 和 。 又由分布律的性質(zhì),有解由X與Y 相互獨(dú)立，知第67頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三68解例3 假設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為p(0p1)的0-1分布，隨機(jī)變量 問p取何值時(shí)，X和Z相互獨(dú)立？ 首先求出Z的概率分布： 因?yàn)閄和Y相互

19、獨(dú)立第68頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三69令所以p取0.5時(shí)，X和Z相互獨(dú)立。 第69頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三70情形2 ( X,Y )是連續(xù)型隨機(jī)變量，則 X,Y相互獨(dú)立的定義等價(jià)于在平面上幾乎處處成立。例4解設(shè)(X,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為 問X與Y是否相互獨(dú)立？ X,Y的邊緣密度分別為成立，所以X,Y相互獨(dú)立。第70頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三71例5解設(shè)(X,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為 問X與Y是否相互獨(dú)立？ X,Y的邊緣密度分別為所以X,Y 不相互獨(dú)立。xy011第71頁，共97頁，2022年，5

20、月20日，19點(diǎn)38分，星期三72練習(xí)：P70 習(xí)題 3-51.第72頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三73第六節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第73頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三74 在這節(jié)討論如何利用隨機(jī)向量(X,Y )的分布求它的函數(shù)的分布，分離散型和連續(xù)型兩種情形討論。 一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y )的聯(lián)合分布律為 第74頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三75 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合分布律為 例1解分別求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y )的分布律。 第75頁，共97頁，2022

21、年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三76第76頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三77證所以例2此性質(zhì)稱為泊松分布的可加性第77頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三78二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要討論和的情況.設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y), 求Z=X+Y的密度. Z=X+Y的分布函數(shù)是:xy0zz兩邊關(guān)于z求導(dǎo)，則得Z的密度函數(shù)為 第78頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三79由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成 特別，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述

22、兩式化為: 這兩個(gè)公式稱為卷積公式, 記為 .第79頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三80 設(shè)X,Y相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.由卷積公式,有例3解第80頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三81用類似的方法可以證明: 若X和Y 獨(dú)立, 若X和Y 獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).即有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的可加性第81頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三82解例4Z 的分布函數(shù)為 xy0第82頁，共97頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)38分，星期三83解xy0故