(小學奧數(shù))圓與扇形(一)

1、研究圄、扇形、弓形典三角形、矩形、平行四遏形、梯形等圈形合而成的不規(guī)即圈形，通謾燮勤圈形的位置或封圈形暹行分割、旋醇、拼衲，使它燮成可以算出面稹的規(guī)即圈形來算它伸的面稹.圄的面稹=nr2；扇形的面稹.nr2x2；360圄的周晨二2nr；扇形的弧晨.2nrx2.360跟曲幺泉有信耳的圈形元素：扇形：扇形由項黠在圄心的角的雨遏和造雨遏所截一段圄弧圉成的圈形，扇形是圄的一部分.我仍影更常的1圄、1圄、1圄等等其都是扇形，而造彳固黑分之246黑表示的其是道彳固扇形的圄心角占道彳固圄周角的黑分之黑.那麼一般的求法是什麼呢？居融建是人.360比如：扇形的面稹=所在圄的面本機工；360扇形中的弧房部分二所在

2、圄的周晨x工360扇形的周晨.所在圄的周晨+x22x半彳空（易金昔黠是把扇形的周房等同於扇形的弧360同弓形：弓形一般不要求周晨，主要求面稹.一般，弓形面稹二扇形面稹-三角形面稹.（除了半圄）”角”：如圈：L角的面稹=正方形-扇形“轂子”：如圈：、“轂子”的面稹=弓形面稹x2常用的思想方法：醇化思想（禊親隹醇化懸曾罩，不熟悉的醇化懸熟悉的）等稹燮形（割衲、平移、旋醇等）借來遢去（加減法）遇遏入手（彳他曾求的圈形或者能求的圈形入手，看典要求的部分之的信司?！保┌瀣F(xiàn)一平移、旋醇、割衲、器寸耦在曲幺泉型面稹中的鷹用【例1如部HO的直彳空AB典CD互相垂直，AB=10釐米，以C懸野心，CA懸半彳空重弧

3、。求月牙形ADBEA（除影部分）的面稹。DB考黠H典扇形【轆度3星題型解答【信封筵字莘杯賽，決賽，第9題，10分【解析】月牙形ADBEA（除影部分）的面稹=半圄的面稹+4ABC的面稹一扇形CAEBC的面稹月牙形ADBEA的面稹=1XX52+25-1xx50=25（平方釐米）,24所以月牙形ADBEA的面稹是25平方釐米?！敬鸢?5【例2三彳固半彳懸100釐米且圄心角懸60的扇形如放；那麼，道彳固封朗圈形的周晨是釐米.（n取3.14）考黠H典扇形【轆度3星題型】填空【信封筵字迎春杯，六年級，初賽，4題【解析】三彳固扇形的弧辰相常於半彳100釐米，圄心角懸1800的扇形的弧晨，2x3.14x180

4、=314釐米；360【答案314【例3分別以一彳固遏房懸2釐米的等遏三角形的三彳固項黠懸圄心，以【例3彳空重弧，得到右圈；那麼，除影圈形的周晨是釐米.（兀取3.14）【考黠】圄典扇形【轆度】3星【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】填空【信器建字】迎春杯，六年級，初賽，言式題每段弧晨1C所以C=6x1C二CC除影=6X1CH=C郎所以c土12.566圓陰影6圓圓6陰影【答案】12.56【題型】解答【例4下圈中每一彳固小正方形的面稹是1平方釐米，那麼格幺泉部分的面稹是多少平方釐米？【題型】解答【考黠】圄典扇形【轆度】3星【解析】割解法如右部格幺泉部分的面稹是36平方釐米.【答案】36【聾固】下圈中

5、每一彳固小正方形的面稹是1平方釐米，那麼格幺泉部分的面稹是多少平方釐米？【題型】解答【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【考黠】圄典扇形【轆度】3星【解析】割解法如右部格幺泉部分的面稹是36平方釐米.【答案】36【例5如圈，在18X8的方格紙上，重有1,9,9,8四彳固數(shù)字.那麼，圈中的除影面稹占整彳固方格紙面稹的黑分之黑？【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】我憑數(shù)出除影部分中完整的小正方形有8+15+15+16【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】我憑數(shù)出除影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54他其中口和不口部分有6+6+8-20他部分有6+6+8-20

6、(，而1彳固1彳固口正好成一彳固完整的小正方形，所以除影部分共包含54+20=74(完整小正方形，而整彳固方格紙包含8義18=144(完整小正方形.所以圈中除影面稹占整彳固方格紙面稹的24,即37.14472【答案】3772【聾固】在4X【聾固】在4X7的方格紙板上面有如除影所示的6字，除影是幺泉段或圄弧.冏除影面稹占紙板面稹的黑分之黑？【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】矩形紙板共28彳固小正方格，其中弧幺泉都是4圄周，非除影部分有3彳固完整的小正方形，其繪部分可拼成6彳固小正方格.因此除影部分共28-6-3=19彳固小正方格.所以，除影面稹占紙板面稹的19.28【答案】1928

7、【例6】在一彳固遏房懸2釐米的正方形內(nèi)，分別以它的三修遏懸直彳空向內(nèi)作三彳固半圄，劃圈中除影部分的面稹懸平方釐米.【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】填空【信封筵字】西城【解析】探用割衲法如果符除影半圄中的2彳固弓形移到下麴的等腰直角三角形中,那麼就形成雨彳固相同的等腰直角三角形，所以除影部分的面稹等於雨彳固等腰直角三角形的面稹和，即正方形面稹的一半，所以除影部分的面稹等於22x1=2平方釐米.2【答案】2【聾固】如圈，在一彳固遏房懸4的正方形內(nèi)，以正方形的三修遏懸直彳空向內(nèi)作三彳固半圄.求除影部分的面稹.【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】除影部分謾切割平移燮成了一彳固面稹懸正方

8、形一半的房方形，邱邛真影部分面稹懸4x4+2=8【答案】8【例7】如圈，正方形遏晨懸1,正方形的4彳固項黠和4彳條遏分別懸4彳固圄的圄心和半彳空，求除影部分面稹.（兀取3.14）【考黠】圄典扇形【轆度】4星【題型】解答【信器建字】人大附中，分班考言式【解析】把中正方形裹面的4彳固小除影向外平移，得到如右圈所示的圈形，可冕，除影部分的面稹等於四彳固正方形面稹典四彳固90。的扇形的面稹之和，所以，S=4XS+4XS=4XS+S=4義12+義12=4+=7.14陰影1圓圓4【答案】7.141-【例8圈中的4彳固圄的圄心是正方形的4彳固項黠，它伸的公共黠是言亥正方形的中心.如果每彳固圄的半彳空都是1釐

9、米，那麼除影部分的面稹是多少平方釐米？【考黠】圄典扇形【解析】如下圈所示:【轆度】【考黠】圄典扇形【解析】如下圈所示:【轆度】4星【題型】解答可以符每彳固圄內(nèi)的除影部分拼成一彳固正方形，每彳固正方形的面稹懸1X1+2）X4=0.5X4=2（平方釐米），所以除影部分的面稹懸2x4-8（平方釐米）.【答案】8【聾固】如圈所示，四彳固全等的圄每彳固半彳均懸2m,除影部分的面稹是.【轆度】3星或、【考黠】圄典扇形【轆度】3星或、【考黠】圄典扇形【題型】填空【解析】我引虺隹沒有擘謾?quán)艋蛘哙艋〉拿骛」?，但做一定的割衲彳我仍聘變現(xiàn)其我憑企不需要知道適些公式也可以求出除影部分面稹.如圈，割衲彳爰除影部分的面

10、稹典正方形的面稹相等，等於（2X2）2=16（m）用它伸的圄周的一部分建成一彳固花即花瓣圈形的面稹是多少平方釐【答案】16用它伸的圄周的一部分建成一彳固花即花瓣圈形的面稹是多少平方釐【例9】如右圈，有8彳固半彳空懸1釐米的小圄，瓣圈形，圈中的黑黠是造些圄的圄心.米？（取3）【考黠】圄典扇形【轆度】4星【題型】解答【考黠】圄典扇形【轆度】4星【題型】解答【解析】本題直接算不方便，可以利用分割移勤淺成規(guī)即圈形來求解.如右上圈，速接角上的4彳固圄心，可得到一彳固遏晨懸4的正方形.可以看出，典原圈相比，正方形的每一彳條遏上都多了一彳固半圄，所以可以把原花瓣圈形的每彳固角上分割出一彳固半圄來衲在造些地方

11、，道檬得到一彳固正方形，遢剩下4彳固1H,合起來恰好是一彳固圄，所以花瓣圈形的面稹懸442+X12=19（平方釐米）【幺息結(jié)】在求不規(guī)即圈形的面稹日寺，我憑一般要封原圈暹行切割、移勤、衲膂，使原圈燮成一彳固規(guī)期的圈形，彳艙而利用面稹公式暹行求解.適彳固切割、移勤、衲膂的謾程F祭上是整彳固解題謾程的信融建我憑需要多多條束雪，造檄才能快速找到切割拼衲的方法、【答案】19【例10】如圈中三彳固圄的半彳空都是5cm，三彳固圄雨雨相交於圄心.求除影部分的面稹和.（圄周率取3.14）【考黠】圄典扇形【轆度】4星【題型】解答【解析】符原圈割衲成如圈，除影部分正好是一彳固半圄，面植懸5X5X3.14+2=39

12、.25（cm2）【答案】39.25【聾固】如圈，大圄半彳空懸小圄的直彳空，已知圈中除影部分面稹懸s1，空白部分面稹懸s【聾固】如圈，大圄半彳空懸小圄的直彳空，已知圈中除影部分面稹懸s1，空白部分面稹懸s，那麼道雨彳固部分的面稹之比是多少？（圄周率取23.14)【考黠】圄典扇形【轆度】4星【題型】解答【解析】如圈添加率甫助幺泉，小圄內(nèi)部的除影部分可以填到外陽悚，造楙空白部分就是一彳固圄的內(nèi)接正方形.大圄半彳空懸，即s二2r2，S=nr2-2r2，所以21s:s=（3.14-2）:2=57:1001移勤圈形是解造槿題目的最好方法，一定要找出圈形之的信勤系.【答案】57:100【例】算圈中除影部分的

13、面?。ㄕ治唬悍置祝?【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】符右遏的扇形向左平移，如圈所示.雨彳固除影部分拼成一彳固直角梯形.（5+10）x5+2=75+2=37.5（平方分米）【答案】37.5【聾固】如圈，除影部分的面稹是多少?【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】首先覲察除影部分，我仍聘變現(xiàn)除影部分形如一彳固虢角，但是我憑企沒有阜曾謾如何求虢角的面稹，那麼我憑要怎麼辨呢？除影部分我憑找不到出路，那麼我憑不妨考感下除了除影部分之外的部分吧！覲察彝現(xiàn)，除影部分左同J是一彳固扇形，而除影部分右遏的空白部分恰好典左遏的扇形橫成一彳固遏4的正方形，那麼除影部分的面稹就等於大的矩形面

14、稹減去正方形面楫邱聘影部分面稹(2+2+2)x4-(2+2)x4=8【答案】8【例】學青算圈中除影部分的面稹.【考黠】圄典扇形【轆度】4星【題型】解答【解析】法一：了求得除影部分的面稹，可以彳艙下圈的整醴面稹中扣掉一彳固圄的面稹，就是要求的面稹了.要扣掉圄的面稹，如果按照下圈把圄切成雨半彳爰，彳於雨端去扣掉也是檬.如此一來，就曾出現(xiàn)一彳固房方形的面稹.3因此，所求的面稹懸10X3-30(cm2).3法二：由於原來的月牙形很轆直接算，我憑可以管言式情造下麴的率甫助圈形:超出的部分如左上圈所示，我儼也可以適檬來思考，2襄圈形往右同J平移3cm就曾得到右上圈中的合圈形，而造彳固合圈形中右端的月牙形正

15、是我憑要求的面稹.然圈中右同J延伸出了多少面稹，左同J就曾縮暹多少面稹.因此，所求的面稹是10 x3=30(cm2).【答案】30【例13】求圈中除影部分的面稹.【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答.如圈，速接BD，可知除影部分的面稹典三角形bcd的面稹相等，即懸-x-x12x12=3622【答案】36【例14】求如圈中除影部分的面稹.(圄周率取3.14)【考黠】圄典扇形【轆度】2星【題型】解答【解析】可符左下橄欖型的除影部分剖，雨部分分月僧逆日寺金十90。，即除影部分輔化懸四分之一圄減去一彳固等腰直角三角形，所以除影部分的面稹懸xx42-x4x4=4.56,42【答案】4.56【聾固】如

16、圈，四分之一大圄的半彳空懸7,求除影部分的面稹，其中圄周率取近【考黠】圄典扇形【轆度】3星【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】原題圈中的左遏部分可以割衲至如右上圈位置，道檬只用先求出四分之一大圄的面稹，再減去其內(nèi)的等腰直角三角形面稹即懸所求.因懸四分之一大圄的半彳空懸7,所以其面稹懸：1122x72xxx72x=38.5,447的面稹懸1的面稹懸1x7x7=245，所以除影部分2的面稹懸38.5-24.5=14【答案,14【例】求下列各圈中除影部分的面稹.【考黠】圄典扇形【轆度】3【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】在圈(1)中，除影部分謾切割平移燮成了一彳固底懸10,

17、高懸5的三角形，利用三角形面稹公式可以求得S陽苗1x10X10-25；陰影22在圈(2)中，除影部分謾切割平移燮成了一彳固房懸b,寞懸a的房方形，利用房方形面稹公式可以求得s陽康axb-ab.陰影【答案】25,ab【聾固】求下列各圈中除影部分的面稹(圈中晨度罩位懸cm，圄周率按3算):【解析】4.5【解析】4.54121.54.5【答案】4,54121,54.5【例】如H,ABCD是正方形，且以=旬=DE=1，求除影部分的面稹.(取n二【例】如H,【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答.方法一：雨彳固分割的除影部分幺合我伸求面稹造成了很大的麻煩，那麼我伸把它憑通謾切割、移勤、衲膂，使雨境除影

18、部分速接在一起，道彳固日寺候我憑再來考感，可能曾有新的褻現(xiàn).由於封耦性，我憑可以褻現(xiàn)，弓形BMF的面稹和弓形BND的面稹是相等的，因此，除影部分面稹就等於不祝即圈形BDWC的面稹.因懸ABCD是正方形，且FA二AD=DE=L即有CD二DE.那麼四遏形BDEC懸平行四遏形,且/E=45.我憑再在平行四遏形BDEC中央言寸能可以褻現(xiàn)不規(guī)具惘形BDWC和扇形WDE共同情成造彳固平行四遏形，由此，我憑可以知道除影部分面稹=平行四遏形BDEC-扇形DEW=i.生*nx12二53608方法二：先看幺息的面稹懸1的圄，加上一彳固正方形，加上一彳固等腰直角三角4形，在即除影面稹面稹扣除一彳固等腰直角三角形，一

19、彳固1圄，一彳固45。的扇形.那麼最祭冬效果等於一彳固正方形扣除一彳固45。的扇形.面稹懸1x1-x3x12=-88【答案】58【聾固】求圈中除影部分的面?。ㄕ治唬篶m）.2【考黠】圄典扇形【轆度】2星【題型】解答【解析】彳艙圈中可以看出，雨部分除影的面稹之和恰好是梯形的面稹，所以除影部分面稹懸2X（2+4）x3=9cm2.【答案】9【例17】如部晨方形abcd的房是8cm，即除影部分的面稹是cm2.（二3.14）【考黠】圄典扇形【轆度】2星【題型】填空【解析】除影部分的面稹口祭上是右上圈除影部分面稹的一半，所以求出右上圈中除影部分面稹再除以2即可.房方形的晨等於雨彳固圄直彳空，寞等於1彳固圄

20、直彳空，所以右圈的除影部分的面稹等於：8x8+2-（8+2+2）2xx2=6.88所以左圈除影部分的面稹等於6.88.2二3.44平方釐米.【答案】3.44【例18如圈所示，在半彳空懸4cm的圈中有雨僚互相垂直的幺泉段，除影部分面稹a典其它部分面稹b之差（大減小）是其它部分面稹b之差（大減?。┦莄m2.【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】填空【信器建字】西城，期末考言式【解析】如圈，符圄封耦分割彳爰，B典A中的部分顯域能封鷹，B僮比A少了一現(xiàn)矩形，所以雨部分的面稹差懸：（2x2）x（1x2）=8cm2.【答案】8【聾固】一現(xiàn)圄形稀有金腐板平分幺合甲、乙二人.但此金腐板事先已被雨僚互相垂直的弦切割成如圈所示尺寸的四境.現(xiàn)甲取、雨現(xiàn)，乙取、雨境.如果造槿金腐板每平方釐米僵值1000元，冏：甲鷹僭付幺合乙多少元？【考黠】圄典扇形【轆度】3星【題型】解答【解析】如右上圈所示，的面稹典1的面稹相等，的面稹等於典11的面稹之和.可冕甲比乙多拿的部分懸中的房方形，所以甲比乙多拿的面稹懸：（5-3）x（7.5-2）=2x5.5-11（加2），而原本愿是麗人平分，所以甲鷹付幺合乙：11x1000=5500（元）2【答案】5500【例】求右圈中