幾何體的外接球

1、幾何體的外接球幾何體的外接球8/8幾何體的外接球幾何體的外接球一、球的性質(zhì)回顧如右圖所示：O為球心，O為球O的一個(gè)小圓的圓心，則此時(shí)OO垂直于圓O所在平面。二、常有平面幾何圖形的外接圓外接圓半徑（r）的求法1、三角形：1）等邊三角形：等邊三角形也即正三角形，其滿足正多邊形的基本特色：五心合一，即內(nèi)心、外心、重心、垂心、中心重合于一點(diǎn)。內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，各角角均分線的交點(diǎn)；外心：外接圓圓心，各邊中垂線的交點(diǎn)；重心：各邊中線的交點(diǎn)；垂心：各邊垂線的交點(diǎn)；中心：正多邊形特有。從而等邊三角形的外接圓半徑平時(shí)結(jié)合重心的性質(zhì)進(jìn)行求解：r23a3a（其中a為等邊三角形的邊長(zhǎng)）323（2）直角三角形：結(jié)合直角

2、三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；可知：直角三角形的外接圓圓心位于斜邊的中點(diǎn)處，求解過(guò)程比較簡(jiǎn)單，該處不做重點(diǎn)說(shuō)明。3）等腰三角形：結(jié)合等腰三角形中三線合一的性質(zhì)可知：等腰三角形的外接圓圓心位于底邊的高線即中線上。由圖可得：r(hr)2(a)22思慮：鈍角三角形和銳角三角形外接圓圓心地址的差異。（4）非特別三角形：察看較少，若出現(xiàn)除以上三種情況以外的三角形在求解外接圓半徑時(shí)可以參照使用正弦定理。2、四邊形常有擁有外接圓的四邊形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形與長(zhǎng)方形半徑求解方法近似，等腰梯形的外接圓圓心不在中學(xué)察看范圍內(nèi)，不用掌握。外接圓圓心是在幾何圖形所在平面的一個(gè)到

3、各個(gè)極點(diǎn)距離相同的點(diǎn)；外接球球心則是空間中到幾何體各個(gè)極點(diǎn)距離相同的點(diǎn)。結(jié)合上述所講內(nèi)容，外接圓圓心與外接球球心有好多相似之處以三角形為例，過(guò)三角形的外接圓圓心作三角形所在平面的一條垂線，不難獲?。涸摯咕€上的任意一點(diǎn)到該三角形三個(gè)極點(diǎn)的距離恒定相等。轉(zhuǎn)變到幾何體中，如正方體，其外接球球心位于體心地址，其與正方體任一表面正方形的中心連線均垂直于該正方形。從而我們得出以下結(jié)論：幾何體的外接球球心與底面外心的連線垂直于底面，也即球心落在過(guò)底面外心的垂線上，簡(jiǎn)單稱之為：球心落在底面外心的正上方。三、常有幾何體的外接球半徑的求法1、直（正）棱柱以三棱柱為例例：在正三棱柱ABCA1B1C1中，三角形ABC

4、是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA13，求該三棱柱的外接球半徑.解析：如右圖，由正三角形的邊長(zhǎng)可知底面的外接圓半徑r，要求R，只需確定OO的長(zhǎng)度，結(jié)合正棱柱也是直棱柱的特色可知，上下兩底面三角形的外心連線與側(cè)棱平行與底面垂直，從而球心O必位于上下兩底面外心連線的中點(diǎn)處，即OO1AA1，從而R可求.2由題可得：r23,OO13,32在直角三角形AOO中，R2r2OO2從而R12962、棱錐常有有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相比較較簡(jiǎn)單，此處重點(diǎn)解析三棱錐的外接球。1）含有線面垂直關(guān)系（側(cè)棱垂直與底面）的三棱錐該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說(shuō)明以下。例：在三棱錐P-ABC中，三角

5、形ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA平面ABC，PA=3，求該三棱錐的外接球半徑.解析：如右圖法一：該幾何體可由正三棱柱沿老百姓啊棱柱的外接球；法二：先確定底面三角形ABC的外心同時(shí)：OP=OA，故，過(guò)O作OMPA于PBC切割而產(chǎn)生，故該三棱錐的外接球可轉(zhuǎn)變成原三O，從而球心位于O的正上方，即OO平面ABC，M，此時(shí)M必為PA中點(diǎn)，從而四邊形OMAO為矩形，所以O(shè)OAM1PA3，在直角三角形OOA中有：R2r2OO2.22計(jì)算過(guò)程略.2）正棱錐以正三棱錐為例在正三棱柱中極點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，即PO面ABC，故球心O落在直線PO上.例：在正三棱錐P-ABC中，三角形ABC是邊長(zhǎng)為2的正三

6、角形，PA=3，球該三棱錐的外接球半徑.解析：如圖由底面正三角形邊長(zhǎng)可得r，在直角三角形OOA中，R2r2OO2，故只需確定OO的長(zhǎng)度即可，結(jié)合圖形，OO=PO-OP=H-R，帶入上式中即可求解.由題可知：r23,HPA2OA26933所以R2r2(HR)2969解得：R463）含有側(cè)面垂直于底面（不含側(cè)棱垂直于底面）的三棱錐該類問(wèn)題的求解難點(diǎn)在于球心地址的搜尋，確定球心時(shí)需要分別取兩互相垂直的面的過(guò)外心的垂線，球心位于兩垂線的交點(diǎn)處。例：在三棱錐P-ABC中，面PAB面ABC，三角形ABC和三角形PAB均為等邊三角形，且AB=3，求該幾何體外接球半徑.解析：設(shè)ABC和PAB的球心分別為O,O

7、，取AB中點(diǎn)M，球心設(shè)為O，則OO平面ABC，OO平面PAB，從而四邊形OOMO是矩形，可得：OO=OM，在三角形OOC中結(jié)合溝通定理即可求解.由題可得：OOOM1333PM,rAB323所以Rr2OO2152練習(xí)題組一1某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有極點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為（）A4BCD202三棱錐PABC的四個(gè)極點(diǎn)都在球O的球面上，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PA=1，PB+PC=4，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，球心O到平面ABC的距離是（）ABCD3體積為的球有一個(gè)內(nèi)接正三棱錐PABC，PQ是球的直徑，APQ=60，則三棱錐PABC的體積為（）ABCD4周圍體ABCD的

8、四個(gè)極點(diǎn)都在某個(gè)球O的表面上，BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，當(dāng)A在球O表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周圍體ABCD所能達(dá)到的最大體積為，則周圍體OBCD的體積為（）ABC9D5點(diǎn)A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，則該球的表面積為（）A7B14CD6已知點(diǎn)A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱錐DABC體積的最大值為，則球O的表面積為（）A36B16C12D7已知直三棱柱ABCA1B1C1的各極點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的體積為，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（）ABC2D8已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半

9、徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（）ABCD9已知三棱錐PABC的所有極點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為，則球O的表面積為（）A4B8C12D1610四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有極點(diǎn)都在體積為同一球面上，則PA=（）A3BC2D練習(xí)題組二1九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐PABC為鱉臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱錐PABC的四個(gè)極點(diǎn)都在球O的球面上

10、，則球O的表面積為（）A8B12C20D242已知三棱錐PABC的四個(gè)極點(diǎn)均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA平面ABC，PA=2AB=2，則該球的表面積為（）A8B16C32D363已知三棱錐ABCD的四個(gè)極點(diǎn)A、B、C、D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC=，BC=2，CD=，則球O的表面積為（）A12B7C9D84已知A，B，C三點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，OA，OB，OC兩兩垂直，三棱錐OABC的體積為，則球O的表面積為（）AB16CD325已知四棱錐PABCD的極點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，PAD為正三角形，AB=2AD=4，則

11、球O的表面積為（）ABC24D6已知三棱錐PABC中，PA底面ABC，ABBC，PA=AC=2，且該三棱錐所有極點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A4B8C16D207點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=，ABC=90，若周圍體ABCD體積的最大值為3，則這個(gè)球的表面積為（）A2B4C8D168三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且ABBC，AB=BC=AA1=2，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A48B32C12D89三棱錐PABC中，側(cè)棱PA=2，PB=PC=，則當(dāng)三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面的面積和最大時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，A，B，C的球的表面積是（）A4B8C12D1610如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若周圍體PAEF的四個(gè)極點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（）AB6CD1211如圖某空間幾何體的正視圖和俯視圖分別