冬令營(yíng)解題報(bào)告水管局長(zhǎng)tube

1、IOI2006國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)作業(yè)：冬令營(yíng)解題報(bào)告浙江 唐文斌水管局長(zhǎng)解題報(bào)告浙江 唐文斌問題簡(jiǎn)述給定一個(gè)帶權(quán)無向簡(jiǎn)單圖 無重邊，無自環(huán)G，要求在G 無重邊，無自環(huán)刪除一條已有的邊(a,b)查詢a、b兩點(diǎn)之間最大邊最小的路，返回這條最大邊的權(quán)值規(guī)模：原圖結(jié)點(diǎn)數(shù)N 1000邊數(shù)M 100,000查詢次數(shù) Q 100,000其中保證刪邊操作不超過5000次。題目保證在任意時(shí)刻圖G都連通算法分析本人在考試中沒有做出此題，以下所說算法來源于講題大會(huì)上朱晨光同學(xué)的發(fā)言。可以發(fā)現(xiàn)，本題最大的難點(diǎn)在于刪邊操作。因?yàn)閯h去一條邊之后可能對(duì)整個(gè)圖產(chǎn)生相當(dāng)大的影響，這樣我們就很難在一個(gè)比較短的時(shí)間內(nèi)維護(hù)我們需要的信息。那

2、么，我們不妨把問題反過來看，先把圖G中要?jiǎng)h的邊全刪了，然后從最后一個(gè)命令開始倒著往上進(jìn)行操作，那么“刪邊”操作就變成了相應(yīng)的“加邊”操作。這樣的轉(zhuǎn)化，在一定程度上簡(jiǎn)化了問題。現(xiàn)在，從簡(jiǎn)單情況入手，我們來考慮一下平常我們是如何求(a,b)兩點(diǎn)之間最大邊最小的路徑的。首先，把所有的邊按照權(quán)值從小到大進(jìn)行排序，然后依次加入，直到a、b兩點(diǎn)連通。而這個(gè)過程非常的類似于求最小生成樹的Kruskal算法。所以，我們作如下猜想：猜想一 我們要維護(hù)一個(gè)圖中任意兩點(diǎn)間最大邊最小的路徑，只需要維護(hù)這個(gè)圖的一棵最小生成樹。這個(gè)猜想很顯然是正確的，不失一般性，我們還是來證明一下：證明：設(shè)T是圖G的一棵最小生成樹。假設(shè)

3、猜想一錯(cuò)誤，即存在一個(gè)點(diǎn)對(duì)(a,b)，點(diǎn)a到點(diǎn)b在T上的路徑中最大邊的權(quán)值為w；點(diǎn)a到點(diǎn)b在G中最大邊最小的路徑P上最大邊權(quán)值為w0，滿足w0 w。那么由假設(shè)可知在路徑P上必然存在兩個(gè)連續(xù)的點(diǎn)u、v，滿足u、v在G中直接相連且滿足邊(u,v)的權(quán)值小于u、v兩點(diǎn)在T中的路徑上的最大邊權(quán)值。那么我們只要用邊(u,v)代替u、v兩點(diǎn)在T中的路徑上的最大邊，就可以得到一棵更小的生成樹，這與T是最小生成樹矛盾，故猜想一成立。有了猜想一，我們現(xiàn)在所需要做的就是維護(hù)一棵最小生成樹，完成以下兩種操作：加一條新邊，更新最小生成樹查詢兩點(diǎn)(a,b)在生成樹路徑上的最大邊權(quán)值下面提供兩種實(shí)現(xiàn)的方法：算法一維護(hù)最小

4、生成樹T。對(duì)于加邊操作，設(shè)新邊為(a,b)，在T中尋找a到b路徑上的最大邊e。若新邊(a,b)權(quán)值大于e的權(quán)值，則用新邊(a,b)代替e,更新最小生成樹。這一步復(fù)雜度為。對(duì)于查詢操作，直接在T中尋找a到b路徑上的最大邊e，返回e的權(quán)值。顯然這一步操作是加邊操作的一個(gè)子操作，復(fù)雜度也為。算法二我們現(xiàn)在要維護(hù)的是生成樹中兩個(gè)點(diǎn)之間路徑上的最大邊是多少，這很類似于一個(gè)經(jīng)典問題RMQ問題。這里我們可以用類似的Sparse Table的方法來維護(hù)。對(duì)于當(dāng)前的生成樹T，我們隨意選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)為根，將無根樹轉(zhuǎn)化為有根樹，并且維護(hù)兩個(gè)表，和()，其實(shí)表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)往上走層的祖先。而表示從i到這一路徑上的最大邊權(quán)

5、值。顯然這兩個(gè)表都可以在時(shí)間內(nèi)建立完成。對(duì)于加邊操作，加邊之后重構(gòu)生成樹，重新計(jì)算Ancestor和F數(shù)組，時(shí)間復(fù)雜度為。對(duì)于查詢操作，我們需要查詢(a,b)之間路徑上的最大邊權(quán)，設(shè)u等于a和b的最低公共祖先，那么我們的答案就是a到u路徑上的最大邊權(quán)與b到u路徑上的最大邊權(quán)得較大者。在Ancestor和F數(shù)組的幫助下，這一步可以在時(shí)間內(nèi)完成，具體實(shí)現(xiàn)可參看附錄中的程序。至此，問題已被解決，兩個(gè)算法各有千秋，算法一在加邊操作只需要線性的時(shí)間，但是查詢也是線性的。而算法二雖然加邊操作需要時(shí)間，但其查詢操作卻是的。小結(jié)在解決這道題目的過程中，我們把所有操作倒序處理，把“刪邊”操作對(duì)應(yīng)為“加邊”操作，這實(shí)際上是應(yīng)用了“逆向思維”，這種思維方式幫助我們大大的簡(jiǎn)化了問題，為猜想一的出現(xiàn)提供了奠基，這是值得我們學(xué)習(xí)的。從冬令營(yíng)考試中的規(guī)模來看，算法一與算法二已經(jīng)足以對(duì)付