圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型

1、.2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式,化解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法,是設(shè)出直線方程,通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式,代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體,自身存在很多性質(zhì),這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識(shí)這些常見(jiàn)的結(jié)論,那么解題必然會(huì)事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見(jiàn)的幾種定點(diǎn)模型：模型一：手電筒模型例題、07XX已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于

2、A,B兩點(diǎn)A,B不是左右頂點(diǎn),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè),由得,以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)且,整理得：,解得：,且滿足當(dāng)時(shí),直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí),直線過(guò)定點(diǎn)綜上可知,直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為方法總結(jié)：本題為弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB,則AB必過(guò)定點(diǎn)。參考百度文庫(kù)文章：圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)模型拓展：本題還可以拓展為手電筒模型：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件如定值,定值,直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)因?yàn)槿龡l直線形似手電筒,固名曰手電筒模型。參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第

3、13節(jié)此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系,求出參數(shù)范圍；Step2：由AP與BP關(guān)系如,得一次函數(shù)；Step3：將代入,得。遷移訓(xùn)練練習(xí)1：過(guò)拋物線M:上一點(diǎn)P1,2作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB,交M于A、B兩點(diǎn),求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線練習(xí)2：過(guò)拋物線M:的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA、OB,求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。經(jīng)典例題,多種解法練習(xí)3：過(guò)上的點(diǎn)作動(dòng)弦AB、AC且,證明BC恒過(guò)定點(diǎn)。本題參考答案：練習(xí):4：設(shè)A、B是軌跡：上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且時(shí),證明直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。參考答

4、案答案設(shè),由題意得,又直線OA,OB的傾斜角滿足,故,所以直線的斜率存在,否則,OA,OB直線的傾斜角之和為從而設(shè)AB方程為,顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達(dá)定理知由,得1=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：,所以,此時(shí),直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn).練習(xí)5：20XX高考XX卷理已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A, 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8. 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; 已知點(diǎn)B, 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過(guò)定點(diǎn). 答案解: A,設(shè)圓心C 點(diǎn)B, .直線PQ方程為:所以,直線PQ過(guò)定點(diǎn)練習(xí)6：已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足1求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；2已知

5、點(diǎn)在曲線上,過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦和,且,判斷：直線是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.解1設(shè) 5分第22題練習(xí)7：已知點(diǎn)A1,0,B1,1和拋物線.,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.第22題I證明:為定值;II若POM的面積為,求向量與的夾角；證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).解：I設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線,設(shè)POM=,則由此可得tan=1. 又設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線,即即由*式,代入上式,得由此可知直線PQ過(guò)定點(diǎn)E1,4. 模型二：切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)例題：有如下結(jié)論：圓上一點(diǎn)處的切線方程為,類比也有結(jié)論：橢圓處的切線方程為,過(guò)橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的

6、兩條切線,切點(diǎn)為 A、B.1求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)；2當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí),求ABM的面積。解1設(shè)M點(diǎn)M在MA上同理可得由知AB的方程為易知右焦點(diǎn)F滿足式,故AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2把AB的方程又M到AB的距離ABM的面積方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用,但是在正式的考試過(guò)程中直接不能直接引用,可以用本題的書(shū)寫(xiě)步驟替換之,大家注意過(guò)程。方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？參考：PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程,百度文庫(kù)參考：尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下,優(yōu)酷視頻拓展：相交弦的蝴蝶特征蝴蝶定理,資料練習(xí)1：20XXXX省數(shù)學(xué)理卷已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上

7、的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn). 求拋物線的方程; 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程; 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.答案 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得.所以拋物線的方程為. 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得設(shè),則切線的斜率分別為,所以切線：,即,即同理可得切線的方程為因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn),所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為. 由拋物線定義可知,所以聯(lián)立方程,消去整理得由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以又點(diǎn)在直線上,所以,所以所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為.練習(xí)2：20XXXX數(shù)學(xué)理如圖,拋物線,點(diǎn)在拋物線上,過(guò)作的切線,切點(diǎn)為,切線的斜率為.求的值;當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),

8、求線段中點(diǎn)的軌跡方.答案相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)性質(zhì)的拓展,結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下,優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言,相交弦過(guò)定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多,計(jì)算量相對(duì)較大,解題過(guò)程一定要注意思路,同時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。例題：如圖,已知直線L：的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明；否則說(shuō)明理由。法一：解： 先探索,當(dāng)m=0時(shí),直線Lox軸,則ABED為矩形,由對(duì)稱性知,AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且。猜想：當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)證

9、明：設(shè),當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)NKAN=KENA、N、E三點(diǎn)共線 同理可得B、N、D三點(diǎn)共線AE與BD相交于定點(diǎn)法2：本題也可以直接得出AE和BD方程,令y=0,得與x軸交點(diǎn)M、N,然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0.計(jì)算量也不大。方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,是證明定點(diǎn)問(wèn)題一類的通法。這一類題在答題過(guò)程中要注意步驟。例題、已知橢圓C：,若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn),直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn),試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。方法1：點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道,可以設(shè)直線PA1、PA2的方程,直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1和M,通過(guò)韋達(dá)定理,

10、可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo),同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上,相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了,由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),得到兩條直線的斜率的關(guān)系,通過(guò)所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線MN的方程,將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入,如果解出的t2,就可以了,否則就不存在。解：設(shè),直線的斜率為,則直線的方程為,由消y整理得是方程的兩個(gè)根,則,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,同理,設(shè)直線A2N的斜率為k2,則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為,直線MN的方程為：,令y=0,得,將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)后得：又,橢圓的焦點(diǎn)為,即故當(dāng)時(shí),MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根,結(jié)合韋達(dá)定理,得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：,；

11、其實(shí)由消y整理得,得到,即,很快。不過(guò)如果看到：將中的換下來(lái),前的系數(shù)2用2換下來(lái),就得點(diǎn)N的坐標(biāo),如果在解題時(shí),能看到這一點(diǎn),計(jì)算量將減少,這樣真容易出錯(cuò),但這樣減少計(jì)算量。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上,進(jìn)而得到,由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn),即橫截距,將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)易得,由解出,到此不要忘了考察是否滿足。方法2：在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓eq f+eq f=1的左右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F,設(shè)過(guò)點(diǎn)T的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M,N,其中m0,y10,y20.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡設(shè)x1=2,x2=eq f

12、,求點(diǎn)T的坐標(biāo)設(shè)t=9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)練習(xí)2：已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)、三點(diǎn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),與所在的直線交于點(diǎn)Q.1求橢圓的方程：2是否存在這樣直線,使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在,求出直線方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：1設(shè)橢圓方程為將、代入橢圓E的方程,得解得. 橢圓的方程也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,知類似計(jì)分2可知：將直線代入橢圓的方程并整理得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn),由根系數(shù)的關(guān)系,得直線的方程為：由直線的方程為：,即由直線與直線的方程消去,得直線與直線的交點(diǎn)在直線上 故這樣的直線存在模型四：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)

13、題本質(zhì)上是垂直向量的問(wèn)題,也可以理解為弦對(duì)定點(diǎn)張直角的新應(yīng)用。例題1.已知橢圓是拋物線的一條切線。I求橢圓的方程；過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。解：I由因直線相切,故所求橢圓方程為II當(dāng)L與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程：,由即兩圓相切于點(diǎn)0,1因此,所求的點(diǎn)T如果存在,只能是0,1.事實(shí)上,點(diǎn)T0,1就是所求的點(diǎn),證明如下。當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T0,1若直線L不垂直于x軸,可設(shè)直線L：由記點(diǎn)、TATB,即以

14、AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T0,1,故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T0,1滿足條件.方法總結(jié)：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,可以先取特殊值或者極值,找出這個(gè)定點(diǎn),再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角。例題2：如圖,已知橢圓的離心率是,分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn),且滿足。1求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；2過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),直線交直線于點(diǎn)。求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：1,設(shè),由有,又,于是,又,又,橢圓,且。2方法1：,設(shè),由,由于*,而由韋達(dá)定理：,設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn),由有由對(duì)稱性知定點(diǎn)在軸上,令,取時(shí)滿足上式,故過(guò)定點(diǎn)。法

15、2：本題又解：取極值,PQ與AD平行,易得與X軸相交于F1,0。接下來(lái)用相似證明PFFQ。問(wèn)題得證。練習(xí)：10XX二模文已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,.圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn),且.1求橢圓的方程；2證明:無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn).1解法1：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由拋物線的定義可知,解得.由,且,得.點(diǎn)的坐標(biāo)為. 在橢圓:中,.橢圓的方程為.解法2：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為. 拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由拋物線的定義可知,解得.由,且得.點(diǎn)的坐標(biāo)為.在橢圓:中,.由解得.橢圓