二次函數(shù)與一元二次方程（知識講解1）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊（人教版）

1、22.15 二次函數(shù)與一元二次方程（知識講解1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；會求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況求二次函數(shù)(a0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y0，求中x的值的問題此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖

2、象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）特別說明：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定的. (1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，方程有兩個不相等的實(shí)根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)時，方程有兩個相等的實(shí)根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，方程沒有實(shí)根.2.拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線

3、的交點(diǎn)問題我們把它延伸到求拋物線(a0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題拋物線(a0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)拋物線(a0)與一次函數(shù)(k0)的交點(diǎn)個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定 當(dāng)方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)； 當(dāng)方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)； 當(dāng)方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn) 總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題特別說明：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題要點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解用圖象法解一元二次方程的步驟

4、：1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個數(shù)，即方程解的個數(shù)；2. 確定一元二次方程的根的取值范圍即確定拋物線 與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；3. 在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值4.確定一元二次方程的近似根在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根特別說明：求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物

5、線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.要點(diǎn)三、拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根由根與系數(shù)的關(guān)系得， 即 （0）要點(diǎn)四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a0)與一元二次不等式(a0)及(a0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集0或0（或）無解0全體實(shí)數(shù)無解注：a0的情況請同學(xué)們自己完成特別說明：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有

6、等號【典型例題】1已知二次函數(shù)y=2x2+5x2（1）寫出該函數(shù)的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求該函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（1）拋物線的對稱軸x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（2）拋物線交y軸于（0，2），交x軸于（2，0）或（，0）【分析】（1）把二次函數(shù)y=-2x2+5x-2化為頂點(diǎn)式的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出答案即可；（2）令x=0可求圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0可求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；解：（1）y=2（x2x+）2=2（x）2+，拋物線的對稱軸x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（2）對于拋物線y=2x2+5x2，令x=0，得到y(tǒng)=2，令y=0，得到2x2+5x2=0，解得x=2或，拋物線交y軸于

7、（0，2），交x軸于（2，0）或（，0）舉一反三：【變式1】 已知二次函數(shù)的圖象以為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)【答案】(1);(2),【分析】（1）由頂點(diǎn),可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為.根據(jù)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),利用頂點(diǎn)式即可求解；（2）令,解方程,問題得解.解：（1）由頂點(diǎn),可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為.二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),點(diǎn)滿足二次函數(shù)關(guān)系式,解得.二次函數(shù)的關(guān)系式是.（2）令,則,解得:,此圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是,.【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解決問題的關(guān)鍵【變式2】已知二次函數(shù)的圖象以

8、A（1，4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2，5）（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點(diǎn)時，A、B兩點(diǎn)隨圖象移至A、B，求O AB的面積【答案】（1）y=x22x+3；（2）拋物線與y軸的交點(diǎn)為：（0，3）；與x軸的交點(diǎn)為：（3，0），（1，0）；（3）15.【分析】（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)該二次函數(shù)的解析式，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0，可求得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在原點(diǎn)兩側(cè)，由此可求出當(dāng)拋物

9、線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)平移到原點(diǎn)時，拋物線平移的單位，由此可求出A、B的坐標(biāo)由于OAB不規(guī)則，可用面積割補(bǔ)法求出OAB的面積解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+4，將B（2，5）代入得：a=1，該函數(shù)的解析式為：y=（x+1）2+4=x22x+3；（2）令x=0，得y=3，因此拋物線與y軸的交點(diǎn)為：（0，3），令y=0，x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即拋物線與x軸的交點(diǎn)為：（3，0），（1，0）；（3）設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為M、N（M在N的左側(cè)），由（2）知：M（3，0），N（1，0），當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點(diǎn)時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位，故A（2，4），

10、B（5，5），SOAB=（2+5）92455=15【點(diǎn)撥】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識熟練掌握待定系數(shù)法、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法、不規(guī)則圖形的面積的求解方法等是解題的關(guān)鍵.【變式3】 如圖，拋物線y=x2x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）P為第二象限拋物線上的一個動點(diǎn)，求ACP面積的最大值【答案】(1) A（4，0），B（2，0）；(2)ACP最大面積是4.【分析】（1）令y=0，得到關(guān)于x 的一元二次方程x2x+4=0，解此方程即可求得結(jié)果；（2）先求出直線AC解析式，再作P

11、DAO交AC于D，設(shè)P（t，t2t+4），可表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，于是線段PD可用含t的代數(shù)式表示，所以SACP=PDOA=PD4=2PD，可得SACP關(guān)于t 的函數(shù)關(guān)系式，繼而可求出ACP面積的最大值(1)解：設(shè)y=0，則0=x2x+4x1=4，x2=2A（4，0），B（2，0）(2)作PDAO交AC于D設(shè)AC解析式y(tǒng)=kx+b解得： AC解析式為y=x+4.設(shè)P（t，t2t+4）則D（t，t+4）PD=（t2t+4）（t+4）=t22t=（t+2）2+2SACP=PD4=（t+2）2+4當(dāng)t=2時，ACP最大面積4.【點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)的綜合題，重在基礎(chǔ)知識的考查，其中第（2）題是一個常見的二

12、次函數(shù)模型，解決此類題的思路（以本題為例）是作PDAO交AC于D，ACP的面積可以表示成PDOA，其中OA是定值，P、D兩點(diǎn)有相同的橫坐標(biāo)，所以PD的長可用它們的橫坐標(biāo)的關(guān)系式來表示，這樣ACP的面積就表示成了P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，再用二次函數(shù)求最值的方法求解即可.2已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）（1）求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍 【答案】（1）b=2，c=3，y=-x+2x+3；（2）【分析】（1）把拋物線上的兩點(diǎn)代入解析式，解方程組可求b、c

13、的值；（2）令y=0，求拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，觀察圖象，求y0時，x的取值范圍 解：（1）將點(diǎn)（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得 解得 （2）當(dāng)y=0時，解方程，得，又拋物線開口向下，當(dāng)-1x3時，y0【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)，開口方向，可求y0時，自變量x的取值范圍舉一反三：【變式1】（1）已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)求m的值；（2）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)及點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式及B的坐標(biāo)根據(jù)圖象，直按寫出滿足的x的取值范圍【答案】（1）；（2）二次函數(shù)的解析式是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3）；【分析】（1）根據(jù)二次函

14、數(shù)的定義可得，進(jìn)一步即可求出結(jié)果；（2）把點(diǎn)代入即可求出m，進(jìn)而可得二次函數(shù)的解析式，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得關(guān)于n的方程，解方程即可求出n，進(jìn)一步可得點(diǎn)B坐標(biāo)；所求結(jié)果即為直線比拋物線高的部分圖象對應(yīng)的x的取值范圍，據(jù)此解答即可 解：（1）由題意得：，解得：；（2）把點(diǎn)代入，得，解得：，二次函數(shù)的解析式是，當(dāng)y=3時，解得：n=0（舍去）或n=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3）；由圖象可得：滿足的x的取值范圍是：【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、兩個函數(shù)的交點(diǎn)、一元二次方程的解法和二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，屬于常考題型，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵【

15、變式2】 已知函數(shù).（1）該函數(shù)圖象與x軸有幾個交點(diǎn)？請作圖驗(yàn)證；（2）試說明一元二次方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，并把方程的根在圖象上表示出來；（3）x為何值時，函數(shù)y的值為9？【答案】（1）只有一個交點(diǎn)；（2）方程的根是二次函數(shù)的圖象與直線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）當(dāng)或時，函數(shù)y的值為9. 【分析】（1）令y=0，求出，解方程即可；（2）方程的根是二次函數(shù)的圖象與直線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）令y=9，解方程即可 解：（1）只有一個交點(diǎn)，如圖. （2）方程的根是二次函數(shù)的圖象與直線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示.（3）解方程，得，.故當(dāng)或時，函數(shù)y的值為9.【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)與一元

16、二次方程的關(guān)系，正確理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵【變式3】已知二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)1x2時，求y的取值范圍【答案】（1）b2，c3，yx2+2x+3；（2）1x3；（3）0y4【分析】（1）由二次函數(shù)圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），分別把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，進(jìn)而確定出二次函

17、數(shù)的解析式；（2）令二次函數(shù)解析式中的y0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即為二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)圖象可得出y大于0時x的范圍；（3）當(dāng)1x2時，y在x1和頂點(diǎn)處取得最小和最大值，即可求解 解：（1）二次函數(shù)圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），x1，y0代入yx2+bx+c得：1b+c0，把x0，y3代入yx2+bx+c得：c3，把c3代入，解得b2，則二次函數(shù)解析式為yx2+2x+3；（2）令二次函數(shù)解析式中的y0得：x2+2x+30，可化為：（x3）（x+1）0，解得：x13，x21，由函數(shù)圖象可知：當(dāng)1x3時，y0；（3）由拋物線的表達(dá)式知，拋物

18、線的對稱軸為直線x1，當(dāng)1x2時，y在x1和頂點(diǎn)處取得最小和最大值，當(dāng)x1時，y0，當(dāng)x1時，yx2+2x+34，故當(dāng)1x2時，求y的取值范圍0y4【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及到拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)3、已知二次函數(shù)yx26x+8.求：（1）拋物線與x軸和y軸相交的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）畫出此拋物線圖象，利用圖象回答下列問題： 方程x26x80的解是什么？ x取什么值時，函數(shù)值大于0？ x取什么值時，函數(shù)值小于0？【答案】（1）（2,0），（4,0），（0，8）（2）

19、（3，1）（3）x12，x24x2或x42x4 【分析】（1）分別令x=0，y=0即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)坐標(biāo)形勢，即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)（3）根據(jù)圖象與x軸交點(diǎn)可知方程的解；根據(jù)圖象即可得知x的范圍解：（1）由題意，令y=0，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4所以拋物線與x軸交點(diǎn)為（2，0）和（4，0），令x=0，y=8所以拋物線與y軸交點(diǎn)為（0，8），（2）拋物線解析式可化為：y=x2-6x+8=（x-3）2-1， 所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），（3）如圖所示由圖象知，x2-6x+8=0的解為x1=2，x2=4當(dāng)x2或x4時，函數(shù)值大于0；當(dāng)2x4時，函數(shù)值小于

20、0；【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及函數(shù)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題型舉一反三：【變式1】可以用如下方法估計(jì)方程的解：當(dāng)x=2時，=-20，所以方程有一個根在-5和2之間（1）參考上面的方法，找到方程的另一個根在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間；（2）若方程有一個根在0和1之間，求c的取值范圍【答案】（1）方程另一個根在2和3之間；（2）-3c0.【解析】【分析】（1）分別計(jì)算出x=2和x=3時x2+2x-10的值即可得出答案；（2）根據(jù)方程x2+2x+c=0有一個根在0和1之間知或，解之可得解：（1）當(dāng)x=2時，= -2 0， 方程另一個根在2和3之間 方程有一個根在0和1之間，或 解得【點(diǎn)撥】本題主要考

21、查估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是理解題意，并熟練掌握近似解的估算辦法【變式2】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x10123y1 2根據(jù)表格中的信息，完成下列各題：（1）當(dāng)x=3時，y=_；（2）當(dāng)x=_時，y有最_值為_； （3）若點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且1x10，1x22，試比較兩函數(shù)值的大?。簓1_y2 ； （4）若自變量x的取值范圍是0 x5，則函數(shù)值y的取值范圍是_【答案】（1）1；（2）1、小、2；（3）；（4）2y2【解析】【分析】（1）由表中給出的三組數(shù)據(jù)，列方程組求得二次函數(shù)的解析式，再求出x=

22、3時，y的值；（2）實(shí)際上是求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求得拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；再進(jìn)行判斷即可；（4）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)x=5時，y最大，當(dāng)x=1時，y最小解：（1）由表得，解得：，二次函數(shù)的解析式為y=x2x， 當(dāng)x=3時，y=1（2）將y=x2x配方得：y=（x1）22a=0，函數(shù)有最小值，當(dāng)x=1時，最小值為2（3）令y=0，則x=2+1，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為（2+1，0）（2+1，0）1x10，1x22，x1到1的距離大于x2到1的距離，y1y2（4）拋物線的頂點(diǎn)為（1，2），當(dāng)x=5時，y最大，

23、即y=2；當(dāng)x=1時，y最小，即y=2，函數(shù)值y的取值范圍是2y2故答案為：1；1、小、2；2y2【點(diǎn)撥】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，是中考壓軸題，難度較大【變式3】畫出二次函數(shù)yx22x的圖象，利用圖象回答：(1)方程x22x0的解是什么？(2)x取什么值時，函數(shù)值大于0?(3)x取什么值時，函數(shù)值小于0?【答案】(1)x10，x22(2)x2(3)0 x2【解析】試題分析：畫出拋物線yx22x的圖象的草圖，根據(jù)圖象即可解決問題（1）（2）（3）.試題解析：二次函數(shù)yx22x的圖象如下圖所示：（1）觀察圖象可得方程x22x0的解是x10，x22；（2）觀察圖象可得，當(dāng)x取x2時

24、，函數(shù)值大于0；（3）觀察圖象可得，當(dāng)x取0 x 0的解集為不等式-4ax2+bx+c0的解集為.【答案】(1) y=x2-2x-3；(2) 0或2； 1；x3；-1x0的函數(shù)值即可；從題中圖象中找出-4y0時，x的取值為x3-4y0時，x的取值為-1x 3.【點(diǎn)撥】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及通過函數(shù)圖象解函數(shù)值。讀懂函數(shù)圖像中包含的條件以及題目的條件是解題的關(guān)鍵.在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其

25、解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解5、二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程的兩個根；（2）寫出不等式的解集；（3）寫出隨的增大而增大的自變量的取值范圍；（4）若方程沒有實(shí)數(shù)根，求取值范圍【答案】（1）x1=1,x2=3；（2）x3；（3）x2；（4）k2；【分析】（1）找到拋物線與x軸的交點(diǎn)即可得出方程ax2+bx+c=0的兩個根；（2）找出拋物線在x軸下方時x的取值范圍即可；（3）結(jié)合圖形可寫出y隨x的增大而增大的自變量x的取值范圍；（4）根據(jù)圖象可以看出k取值范圍解：(1)由圖象可得：x1=1,x2=3；(2)結(jié)合圖

26、象可得：x3時，y0，即當(dāng)x3時,ax2+bx+c2時,方程ax2+bx+c=k沒有實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)撥】此題考查二次函數(shù)與不等式（組），解題關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解答.舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式；求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時，求的取值范圍（直接寫出答案）【答案】；或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，3），代入得方程組，可以求得該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)解析式配方可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）畫出該函數(shù)的大致圖象，由函數(shù)圖象可以寫出當(dāng)y0時，x的取值范圍 解：（1）二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A

27、（-1，0），C（0，3），得，即該函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3；（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），（3）二次函數(shù)y=-x2+2x+3開口向下，頂點(diǎn)是（1，4），過點(diǎn)（-1，0），（3，0），（0，3），該函數(shù)大致圖象如圖所示； 由圖象可得，當(dāng)y0時，x的取值范圍x-1或x3【點(diǎn)撥】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答【變式2】 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的

28、點(diǎn)及點(diǎn)（1）求二次函數(shù)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足的的取值范圍【答案】（1），點(diǎn)坐標(biāo)；（2）或【分析】（1）先利用待定系數(shù)法先求出，進(jìn)而可以求出點(diǎn)坐標(biāo)（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上面即可寫出自變量的取值范圍 解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線解析式為，點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，、關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)坐標(biāo)，（2）由圖象可知，滿足的的取值范圍為或【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、不等式、軸對稱和待定系數(shù)法等知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式3】二次函數(shù)的圖象如圖，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）寫出方程的兩個根；（2）寫出不等式的解集；（3）寫出不等式的解集；（4）如果方程無實(shí)數(shù)根，求的取值

29、范圍【答案】（1）x1=1,x2=2；（2）1x2；（3）x2；（4）m3.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)寫出即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出x軸下方部分的x的取值范圍即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象寫出x軸上方部分的x的取值范圍即可；（4）根據(jù)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)列出不等式，然后求解即可解：(1)拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1,0),(2,0)，方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=1,x2=2；(2)由圖可知,不等式ax2+bx+c0的解集x2；(4)方程無實(shí)根，m3.【點(diǎn)撥】此題考查二次函數(shù)與不等式（組），解題關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解答. 第一學(xué)期期末測試卷九 年 級 數(shù) 學(xué)（卷二） 一、選擇

30、題(每小題3分，共30分) 1下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ) 2已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x23xa0的兩個解，若(m1)(n1)6，則a的值為( )A10 B4 C4 D103有一種推理游戲叫做“天黑請閉眼”，9位同學(xué)參與游戲，通過抽牌決定所扮演的角色，事先做好9張卡牌(除所寫文字不同，其余均相同)，其中有法官牌1張，殺手牌2張，好人牌6張小明參與游戲，如果只隨機(jī)抽取1張，那么小明抽到好人牌的概率是( )A.eq f(1,9) B.eq f(2,9) C.eq f(1,3) D.eq f(2,3)4在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)ymxn2與二次函數(shù)yx2m的圖象可能是(

31、 )5如圖，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)P在eq o(MN,sup8()上，且不與M，N重合，當(dāng)P點(diǎn)在eq o(MN,sup8()上移動時，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則AB的長度( )A變大 B變小 C不變 D不能確定,第5題圖),第7題圖),第8題圖),第9題圖)6隨州市尚市“桃花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2014年約為20萬人次，2016年約為28.8萬人次，設(shè)觀賞人數(shù)年均增長率為x，則下列方程正確的是( )A20(12x)28.8 B28.8(1x)220C20(1x)228.8 D2020(1x)20(1x)228.87如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將AB

32、C向右平移3個單位長度后得A1B1C1，再將A1B1C1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180后得到A2B2C2，則下列說法正確的是( )AA1的坐標(biāo)為(3，1) BS四邊形ABB1A13 CB2C2eq r(2) DAC2O458如圖，將O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧eq o(AMB,sup8()上一點(diǎn)，則APB的度數(shù)為( )A45 B30 C75 D609如圖，已知AB是O的直徑，AD切O于點(diǎn)A，點(diǎn)C是eq o(EB,sup8()的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：OCAE；ECBC；DAEABE；ACOE，其中正確的有( )A1個 B2個 C3個 D4個10二次函數(shù)ya(x4)24(a0)的圖象在2x3這一段

33、位于x軸的下方，在6x7這一段位于x軸的上方，則a的值為( )A1 B1 C2 D2二、填空題(每小題3分，共24分)11.如圖，ABC中，BAC33，將ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)50，對應(yīng)得到ABC，則BAC的度數(shù)為_ _,第11題圖),第14題圖),第15題圖),第17題圖),第18題圖)12若實(shí)數(shù)a，b滿足(4a4b)(4a4b2)80，則ab_ 13若|b1|eq r(a4)0，且一元二次方程kx2axb0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_.14如圖，一只螞蟻在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)爬行，點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)，MON90，OM，ON分別交線段AB，BC于M，N兩點(diǎn)，則螞蟻停留在陰影區(qū)域的概

34、率為_15(2016聊城)如圖，已知圓錐的高為eq r(3)，高所在直線與母線的夾角為30，則圓錐的側(cè)面積為_16公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離s(m)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s20t5t2，當(dāng)遇到緊急情況時，司機(jī)急剎車，但由于慣性汽車要滑行_m才能停下來17如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P的圓心是(2，a)(a2)，半徑為2，函數(shù)yx的圖象被P截得的弦AB的長為2eq r(3)，則a的值是_18如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(3，0)，對稱軸為直線x1，給出以下結(jié)論：abc0；4bcy2；當(dāng)3x1時，y0，其中正確的結(jié)論是_(填序號)三、解答題(共66分)19(6分

35、)先化簡，再求值：eq f(x2x,x1)eq f(x21,x22x1)，其中x滿足x23x20.20(7分)(2016梅州)關(guān)于x的一元二次方程x2(2k1)xk210有兩個不等實(shí)根x1，x2.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)根x1，x2滿足x1x2x1x2，求k的值21(7分)如圖，將小旗ACDB放于平面直角坐標(biāo)系中，得到各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(6，12)，B(6，0)，C(0，6)，D(6，6)以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)將小旗順時針旋轉(zhuǎn)90.(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的小旗ACDB；(2)寫出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；(3)求出線段BA旋轉(zhuǎn)到BA時所掃過的扇形的面積22(8分)一個不透明的

36、口袋中裝有4個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，另有一個可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤，被分成面積相等的3個扇形區(qū)域，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3(如圖)小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學(xué)校參加歌詠比賽，游戲規(guī)則為：一人從口袋中摸出一個小球，另一個人轉(zhuǎn)動圓盤，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于4，那么小穎去，否則小亮去(1)用畫樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率；(2)你認(rèn)為該游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請修改該游戲規(guī)則，使游戲公平23(8分)如圖，某足球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門，將足球從離地面0.5 m的A處正對球門踢出(點(diǎn)A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間t(單位

37、：s)之間滿足函數(shù)關(guān)系yat25tc，已知足球飛行0.8 s時，離地面的高度為3.5 m.(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系x10t，已知球門的高度為2.44 m，如果該運(yùn)動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28 m，他能否將球直接射入球門？24(9分)(2016云南)如圖，AB為O的直徑，C是O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D，AEDC，垂足為E，F(xiàn)是AE與O的交點(diǎn)，AC平分BAE.(1)求證：DE是O的切線；(2)若AE6，D30，求圖中陰影部分的面積25(9分)已知四邊形

38、ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC(或它們的延長線)于E，F(xiàn).當(dāng)MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AECF時(如圖甲)，易證AECFEF.當(dāng)MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖乙和圖丙這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需要證明26(12分)如圖，已知一條直線過點(diǎn)(0，4)，且與拋物線yeq f(1,4)x2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2.(1)求這條直線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐

39、標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)過線段AB上一點(diǎn)P，作PMx軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N(0，1)，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時，MN3MP的長度最大？最大值是多少？期末檢測題一、選擇題1D 2C 3D 4. D 5. C 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 二、填空題11_17_ 12_eq f(1,2)或1_ 13_k4且k0_ .14_eq f(1,4)_152_. 16._20_m 17._2eq r(2)_ 18_三、解答題(共66分)19解：原式eq f(x（x1）,x1)eq f(（x1）（x1）,（x1）2)x，x23x20，(x2)(x1)0，x1或x2，當(dāng)x1時，(x1)20，分式eq f(x21,x22x1)無意義，x2，原式220解：(1)原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，(2k1)24(k21)0，解得keq f(3,4)(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2(2k1)，x1x2k21，又x1x2x1x2，(2k1)(k21)，