組合數(shù)學教案第12講

1、文檔編碼 : CY7E5S5T9E9 HF4H8U1T9Q5 ZI5M6Y9G3F5教案教研室：數(shù)學分析教研室老師姓名：授課時間 : 2 學時時間支配90 分鐘 課程名稱專業(yè)課選講授課專業(yè)和班級授課內容 4.3 母函數(shù)在排列組合中的應用授課學時教學目的明白母函數(shù)在某些問題中的應用教學重點求已知母函數(shù)的對應序列教學難點如何逆向摸索序列求母函數(shù)教具和媒體使用板書教學方法講授法、爭辯法包括復習舊課、 引入新課、 重點難點講授、 作業(yè)和習題布 置、問題爭辯、歸納總結及課后輔導等內容一、復習舊課一般母函數(shù)的基本運算教指數(shù)母函數(shù)的基本運算學二、引入新課過 程三、重點難點講授 1、母函數(shù)在排列中的應用 2、

2、母函數(shù)在組合中的應用四、作業(yè)和習題布置 五、歸納總結板 4.3 母函數(shù)在排列組合中的應用書1、母函數(shù)在排列中的應用例題設2、母函數(shù)在組合中的應用計 講授新 拓展內容課后總結課堂氣氛活躍,同學反應良好；日教研室主任簽字年月授課講容稿備注內一、復習舊課1、一般母函數(shù)的基本運算2、指數(shù)母函數(shù)的基本運算二、引入新課母函數(shù)有著廣泛的應用, 它不僅可以用來處理排列組合的計數(shù)問題、整數(shù)拆分問題等等,而且仍可以用來證明（或推導）各種有用的組合恒等式,下面我們分別爭辯母函數(shù)在某些問題中的應用；三、重點難點講授用 a b c 表示三個不同的物體, 有三種方法從三個不同的物體中選一個,記為 a b c；同樣,從三個

3、不同的物體中選取兩個有三種方法,記為, ab bc ca；從中選取三個有一種方法,記為 abc；考慮多項式1 2 31 ax 1 bx 1 cx 1 a b c x ab bc ca x abc x可見,ix 的系數(shù)就是從三個不同的物體中選取 i 個物體的方法數(shù)；對物體 a, 1 ax 象征性地表示兩種選取方法：選 a ,不選 a ；0 x 的系數(shù)說明不選 a ,x 的系數(shù)說明 1a 被選中；由一般母函數(shù)的定義,1 ax 1 bx 1 cx 就是選取 a b c 的全部不同方法數(shù)的一般母函數(shù)；如只對可能選取的方法的個數(shù)感愛好,可令 a b c 1,有2 n 3 1 2 31 x x . x .

4、 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 3 x xix 的系數(shù)就是從三個不同的物體中選取 一般地,考慮i 個物體的方法數(shù)；1x 1x .1x 1xn rnnr x0r講稿備注授課內容對于這個多項式可作上面n3時的同樣的說明；也就是說,從n 個不同的物體中選取 r 個物體（不許重復）,其方法數(shù)為 1xn的冪級數(shù)展開式中rx 的系數(shù)n；r如在選取的過程中可以重復選取,就,1xx2.xn.表示某一種物體在參與選取的過程中可以答應的選取的情形： 1 表示選 0 次, x 前的系數(shù)表選一次,可選取三次 .,x 表示可以選取 n 次. 2 x 前的系數(shù)表示就1xx21x 表示：第一個物體可以取0 次

5、,1 次,2 次；其次個物體被選 0 次,1 次；1xx21x12x2x23 x 表示：選 0 個物體有 1 種方法,選1 個物體有 2 種方法,選 2 個物體有 2 種方法,選 3 個物體有 3 種方法；下面,舉例加以說明例 1 證明從 n 各物體中答應重復地選取 r 物體的方式數(shù)為n r 1F n r , r證明：此問題可以等價表達為： 證明重集 B b 1 , b 2 ,., b n 的n r 1r 組合數(shù)為；下面用母函數(shù)法證明：設 ra 表示次 n 個不同物r體中答應重復選取 r 個物體的方式數(shù), a 0 , a 1 ,., a r ,. 的一般母函數(shù)為n2 n 1f x 1 x x

6、.1 x所以有r0授課講稿r備注內容nn1.nr1xr.r0r1xrn n1.nr.r0nr1xrnr1ra rF n r , r例 2 證明從 n 各不同的物體中答應重復地選取體至少顯現(xiàn)一次的方式數(shù)為r1；n1r 個物體,但每個物解： 設ra 表示從 n 個不同物體中答應重復地選取r 個物體,但每個 的一般母函數(shù)為物體至少顯現(xiàn)一次的方式數(shù),就序列a0,a 1,.,ar,.f x xx2.xr.nxn1xx2.nxn11xnxnr0nr1r xrr0nr1xrnr nr1r xrrnrnr1r xr0r1xrn1n1故有a rr1n1授課講容稿備注內練習：1. 求從 n 個不同的物體中可以重復

7、的選 偶數(shù)次的方式數(shù)；a 2rnr1rr 個物體,但每個物體顯現(xiàn)2. 在一個書架上有 16 本書,其中有 4 本高數(shù),3 本物理,3 本化學,5 本離散；求從中選 12 本書的方式數(shù)a 12 34例 3 現(xiàn)有 2n個 A ,2 n個 B ,2 n 個 C,求從中選出 3n 個不同方式數(shù)？2 2 n 3解：f x x x . x 2 n 1 31 x1 x1 x 2 n 1 3 1 3 4. k 2 x kk 1 k .1 3 x 2 n 13 x 4 n 2x 6 n 3 1 3 4. k 2 x kk 1 k .2 n 1 4 n 2 6 n 3 k 2 k1 3 x 3 x x xk 1 2明顯,x 3n的系數(shù) a 3 n 3 n 23 n 12 2授課講容稿備注內四、作業(yè)和習題布置課本中P 81 3；五、歸納總結母函數(shù)在排列組合中的應用在懂得上都較為簡潔,但實際做題時靈活性較強,同學懂得和記憶都有確定難度的,需要