振動理論及工程應用3-第三章-兩自由度系統(tǒng)的振動課件

1、 2.1 兩自由度系統(tǒng)的自由振動 2.2 兩自由度系統(tǒng)的受迫振動 3.3坐標的耦聯 4.4拍振 第三章 兩自由度系統(tǒng)的振動 2.1 兩自由度系統(tǒng)的自由振動 第三章 兩自由度系 一個振動系統(tǒng)究竟簡化成幾個自由度系統(tǒng)的振動模型，要根據系統(tǒng)的結構特點和所研究的問題來決定。 工程中有很多實際問題必須簡化成兩個以上自由度，即多自由度的系統(tǒng)，才能描述其機械振動的主要特征。 1 兩自由度系統(tǒng)的自由振動 一個振動系統(tǒng)究竟簡化成幾個自由度系統(tǒng)的振動模型，簡化成二個自由度例子：轎車行駛在路面上會產生上下振動簡化成二個自由度例子：轎車行駛在路面上會產生上下振動自由振動微分方程由牛頓第二定律得 兩自由度的彈簧質量系統(tǒng)

2、。兩物體均作直線平移，略去摩擦力及其它阻尼。分別以兩物體的平衡位置為坐標原點，取x1、x2為廣義坐標，k3 x2 k1k2k33.1.1 運動微分方程自由振動微分方程由牛頓第二定律得 兩自由度的彈簧質量質量矩陣剛度矩陣加速度列陣 坐標列陣質量矩陣剛度矩陣加速度列陣 坐標列陣根據微分方程的理論，設方程的解為3.1.2 頻率方程根據微分方程的理論，設方程的解為3.1.2 頻率方程系數行列式等于零 這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也稱特征方程 即系數行列式等于零 這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也稱特征方程展式為 特征方程可寫為特征方程的兩組特征根設 展式為 特征方程可寫為特征方程的兩組特征根設 特征根

3、正值小于是兩個大于零的不相等的正實根特征根正值小于是兩個大于零的不相等的正實根 p1、p2就是系統(tǒng)的自由振動頻率，即固有頻率。較低的頻率p1稱為第一階固有頻率；較高的頻率p2稱為第二階固有頻率。 由式看出，固有頻率p1、p2與運動的初始條件無關，僅與振動系統(tǒng)固有頻率的物理特性，即物體的質量、彈性元件的剛度有關。 p1、p2就是系統(tǒng)的自由振動頻率，即固有頻率。較低第一主振動 第二主振動 將第一固有頻率p1代入3.1.3 主振型將第二固有頻率p2代入第一主振動 第二主振動 將第一固有頻率p1代入3.1.3 第二階主振型第一階主振型將第一、第二階固有頻率分別代入得振幅比第二階主振型第一階主振型將第一

4、、第二階固有頻率分別代入得振幅 根據微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程的通解，是它的兩個主振動的線性組合，即由運動的初始條件確定。寫成矩陣形式3.1.4 方程的解 根據微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程的例3-1 試求圖示兩個自由度系統(tǒng)振動的固有頻率和主振型。已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，再求該系統(tǒng)對以下兩組初始條件的響應：（1）t0，x101cm， x200, （2） t0，x101cm， x20-1cm, Mechanical and Structural Vibrationk1k2k3例3-1 試求圖示兩個自由度系統(tǒng)振動的固有頻率和主振型

5、。解：（1）建立運動微分方程式k1k2k3k3 x2 質量矩陣剛度矩陣矩陣形式解：（1）建立運動微分方程式k1k2k3k3 x2 質量矩陣將M和K代入頻率方程系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為（2）解頻率方程，求pi將M和K代入頻率方程系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為（2）解頻將 、 分別代入，得（3）求主振型主振型為振幅比為將 、 分別代入，得（3）求主振型主振型為振幅比為(4)將初始條件（1）代入式，解得得(4)將初始條件（1）代入式，解得得這表明，其響應為頻率p1、p2的兩種主振動的線性組合。這表明，其響應為頻率p1、p2的兩種主振動的線性組合。這表明，由于初始位移之比等于該系統(tǒng)的第二振幅比，

6、因此，系統(tǒng)按第二主振型以頻率p2作諧振動。 (5) 同理，再將初始條件（2）代入式t0，x101cm， x20-1cm,這表明，由于初始位移之比等于該系統(tǒng)的第二振幅比，因此，系統(tǒng)按 3.2 兩自由度系統(tǒng)的受迫振動k3 x2 若兩個物塊受到激振力的作用 列出該系統(tǒng)的受迫振動微分方程，其矩陣形式為質量矩陣剛度矩陣 3.2 兩自由度系統(tǒng)的受迫振動k3 x2 若兩個為簡諧激振力的幅值列陣，為激振頻率系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。設特解為引入記號為簡諧激振力的幅值列陣，為激振頻率系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。設特解為得到關于振幅B1、B2的非齊次代數方程組為此式的展式為式中由此解出受迫振動的振幅得到關于振幅B1、B2的非齊次代數方

7、程組為此式的展式為式中由其中p1、p2為系統(tǒng)的兩個固有頻率 結論：在簡諧干擾力作用下，兩自由度無阻尼的線性振動系統(tǒng)的受迫振動是以干擾力頻率為其頻率的簡諧振動。 受迫振動的振幅大小不僅和干擾力的幅值大小F1、F2有關，而且和干擾力的頻率有關。特別是當p1或p2時，即當干擾力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，振幅B1、B2將會無限地增大，發(fā)生共振。與單自由度振動系統(tǒng)不同，兩自由度系統(tǒng)一般有兩個固有頻率，因此，可能出現兩次共振。其中其中p1、p2為系統(tǒng)的兩個固有頻率 結論：在簡諧干 兩個質點的運動互相不獨立，它們彼此受另一個質點的運動的影響。這種質點或質點系的運動相互影響的現象叫做耦聯。 表示振動位移

8、的兩個以上坐標出現在同一個運動方程式中時，就稱這些坐標之間存在靜力耦聯或彈性耦聯。 當一個微分方程式中出現兩個以上的加速度項時，稱為在坐標之間有動力耦聯或質量耦聯. 3.3 坐標的耦聯 兩個質點的運動互相不獨立，它們彼此受另一個質點的靜力與動力耦聯x1Cl1l2Cmgl靜力與動力耦聯x1Cl1l2Cmgl 系統(tǒng)中是否存在耦聯取決于用以表示運動的坐標的選擇，而與系統(tǒng)本身的特性無關。 一般說來，為了表示多質點系的運動狀態(tài)，可以選用的獨立坐標系，即廣義坐標 ，有多種。 根據選擇坐標的不同 ，系統(tǒng)可以是靜力耦聯、動力耦聯、靜力與動力耦聯、非耦聯的（完全無耦聯）。 經特別選擇的、可使方程式寫成既無動力耦

9、聯又無靜力耦聯形式的坐標稱為主坐標。 系統(tǒng)中是否存在耦聯取決于用以表示運動的坐標的選擇 前面講到當同一方向兩簡諧振動合成時，出現拍振的條件是兩個簡諧分量的頻率相差很小。對于兩自由度無阻尼的自由振動，即它們的主振動是簡諧振動，所以當兩個固有頻率相差很小時，就可能出現拍振。 3.4 拍振 在振動系統(tǒng)中，如果坐標選擇得當，即總是可以使微分方程式中分別只含一個未知數。如果能得到這種獨立的運動方程式，則求方程的解就容易多了，可使問題大大簡化。以上兩個問題以例題形式進行說明。 前面講到當同一方向兩簡諧振動合成時，出現拍振的例：圖示為兩個擺長、質量相同的單擺，中間以彈簧相連，形成兩自由度系統(tǒng)。可以證明，當彈

10、簧剛度k很小，在一定的初始條件下，系統(tǒng)將作拍振。 取 、 表示擺的角位移，逆鐘向轉動為正，每個擺的受力如圖。擺的微分方程為 例：圖示為兩個擺長、質量相同的單擺，中間以彈簧相連，形成兩自得到系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為得到系統(tǒng)的第一階和第二階主振型為第一主振動第二主振動得到系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為得到系統(tǒng)的第一階和第二階主系統(tǒng)振動的一般解初始條件：t = 0時 因此得到雙擺作自由振動的規(guī)律代入得到系統(tǒng)振動的一般解初始條件：t = 0時 因此得到雙擺作自由振 這時p1 、p2相差很少，擺將出現拍振。將上式寫成 如果彈簧的剛度k很小，因而拍頻率令 這時p1 、p2相差很少，擺將出現拍振。將拍振周期拍振周期若改變初始條件為：t = 0時 若改變初始條件為：t = 0時