卷04 概率、隨機(jī)變量及其分布-小題限時(shí)集訓(xùn)（新高考專用）（解析版）

1、專題04 概率、隨機(jī)變量及其分布一、單選題1（2022黑龍江哈師大附中高三期末（理）某班共有 個(gè)小組，每個(gè)小組有 人報(bào)名參加志愿者活動(dòng)現(xiàn)從這 人中隨機(jī)選出 人作為正式志愿者，則選出的 人中至少有 人來自同一小組的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求對(duì)立事件的概率，然后根據(jù)可得.【詳解】人中隨機(jī)選出人，則4人都來自不同小組共有種，則選出的人中至少有人來自同一小組的概率為：.故選：A2（2022云南保山模擬預(yù)測(cè)（理）某四面體的三視圖如下圖所示，已知其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形，記命題從該四面體的四個(gè)面所在的平面中任取兩個(gè)，取到的兩個(gè)平面互相垂直的概率為；命題設(shè)該四面

2、體的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一個(gè)正方體的頂點(diǎn)，從這個(gè)正方體中任取一點(diǎn)，取自四面體內(nèi)的概率為則下列命題為真命題的是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先分別利用古典概型和幾何概型的概率判斷命題p，q，再利用復(fù)合命題判斷.【詳解】由題意知，該四面體是正方體的一部分，如圖所示 從四個(gè)面中任取兩個(gè)共有6種取法，其中互相垂直的平面有三對(duì)， 則從該四面體的四個(gè)面所在的平面中任取兩個(gè)，取到的兩個(gè)平面互相垂直的概率為，是假命題；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體積為，四面體的體積為，所以從這個(gè)正方體中任取一點(diǎn)，取自四面體內(nèi)的概率為，是真命題得(p)q是真命題，pq，p(q)，(p)(q)都是假命題故選：C.3（2022

3、河南焦作一模（理）花窗是一種在窗洞中用鏤空?qǐng)D案進(jìn)行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國(guó)古代建筑中常見的美化形式，既具備實(shí)用功能，又帶有裝飾效果如圖所示是一個(gè)花窗圖案，大圓為兩個(gè)等腰直角三角形的外接圓，陰影部分是兩個(gè)等腰直角三角形的內(nèi)切圓若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】設(shè)大圓的半徑為，等腰直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為，進(jìn)而得出等腰直角三角形的邊長(zhǎng)，利用三角形面積公式列出方程，解出r的值，根據(jù)圓的面積公式求出陰影部分和大圓的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)大圓的半徑為，則等腰直角三角形的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)等腰直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得

4、，則陰影部分的面積為，大圓的面積為，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為故選：D4（2022安徽黃山一模（理）我們規(guī)定，一個(gè)平面封閉圖形的周長(zhǎng)與面積之比稱作這個(gè)平面圖形的“周積率”，如圖是由三個(gè)半圓構(gòu)成的圖形，最大半圓的直徑為6，若在最大的半圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為，則陰影部分圖形的“周積率”為（ ）AB3C6D【答案】B【解析】【分析】設(shè)兩個(gè)小圓的半徑分別為，不妨設(shè)，則，根據(jù)面積比的幾何概型，列出方程求得，進(jìn)而求得陰影部分的周長(zhǎng)和面積，即可求解，得到答案【詳解】由題意，設(shè)兩個(gè)小圓的半徑分別為，不妨設(shè)，因?yàn)榇髨A的半徑為，則，最大半圓的面積，陰影部分的面積為，又由在最大的半圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，

5、該點(diǎn)取自陰影部分的概率為，可得，整理得，解得，又由，所以，所以陰影部分的周長(zhǎng)為，所以.故選：B5（2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理）使用某軟件的隨機(jī)數(shù)命令隨機(jī)生成介于與之間的個(gè)隨機(jī)數(shù)，構(gòu)成個(gè)數(shù)對(duì)，其中滿足的共有個(gè)，則以下值最接近理論值的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】個(gè)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)空間直角坐標(biāo)系中第一卦限棱長(zhǎng)為的正方體，滿足的點(diǎn)為在第一卦限內(nèi)的球，利用幾何概型的概率公式即可求解.【詳解】解：個(gè)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)空間直角坐標(biāo)系中第一卦限棱長(zhǎng)為的正方體，滿足的點(diǎn)為在第一卦限內(nèi)，且距離原點(diǎn)小于，即在球心為原點(diǎn)，且半徑為的球內(nèi)，根據(jù)幾何概型的概率公式，可得點(diǎn)落在球內(nèi)的概率為，所以最接近的為正確答案.故選：.6

6、（2022浙江溫州高三開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X的分布列是：若，則（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用已知條件求出、的值，利用方差公式可求得的值.【詳解】由已知可得，解得，因此，.故選：C.7（2022河北高三階段練習(xí)）小明參加某項(xiàng)測(cè)試，該測(cè)試一共3道試題，每道試題做對(duì)得5分，做錯(cuò)得0分，沒有中間分，小明答對(duì)第1，2題的概率都是，答對(duì)第3題的概率是，則小明答完這3道題的得分期望為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)小明的得分為，則的可能取值為、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到得分的分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望；【詳解】解：設(shè)小明的得分為，則的可能取值為、，所以，；所以小明得分的分布列為：0

7、51015所以小明答完這3道題的得分期望為，故選：C.8（2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）為了緩解道路擁堵，合理分配車流，有關(guān)部門對(duì)城市若干道路的流量情況展開調(diào)查調(diào)查員甲經(jīng)實(shí)地觀察發(fā)現(xiàn)，道路K由于較為偏僻，在分鐘內(nèi)出現(xiàn)車輛的概率僅為 若車輛在任何時(shí)刻出現(xiàn)的概率都是獨(dú)立的，則甲觀察分鐘就能發(fā)現(xiàn)車輛的概率約為（ ）A0.3B0.4C0.5D0.6【答案】B【解析】【分析】由于車輛在任何時(shí)刻出現(xiàn)的概率都是獨(dú)立的，所以觀察到與觀察不到的概率相等，又分鐘小于分鐘，根據(jù)題意，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，在分鐘內(nèi)出現(xiàn)車輛的概率僅為，30分鐘內(nèi)不出現(xiàn)車輛的概率為0.2，30分鐘內(nèi)不出現(xiàn)車輛即是連續(xù)三個(gè)10分鐘不出

8、現(xiàn)車輛，即約等于0.6，所以觀察分鐘就能發(fā)現(xiàn)車輛的概率約為.故選：B.二、多選題9（2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，則下列命題正確的有（ ）ABC若甲投籃命中率為，則X可以表示甲連續(xù)投籃4次的命中次數(shù)D若一個(gè)不透明盒子裝有大小相同，質(zhì)地均勻的10個(gè)綠球和30個(gè)紅球，則X可以表示從該盒子中不放回地隨機(jī)抽取4個(gè)球后抽到的綠球個(gè)數(shù)【答案】BC【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式計(jì)算判斷B，C；利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的意義判斷C；求出從盒子中不放回地隨機(jī)抽取4個(gè)球后抽到的綠球個(gè)數(shù)X的概率判斷D作答.【詳解】因隨機(jī)變量，則，A不正確，B正確；甲連續(xù)投籃4次相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)投籃一次的試驗(yàn)，而單次投

9、籃命中率為，則命中次數(shù)，C正確；對(duì)于D，依題意，即時(shí)的概率隨k值的變化而變化，不服從，D不正確.故選：BC10（2022重慶高三開學(xué)考試）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)袁老領(lǐng)銜的科研團(tuán)隊(duì)成功攻破水稻超高產(chǎn)育種難題，不斷刷新畝產(chǎn)產(chǎn)量的紀(jì)錄，目前超級(jí)稻計(jì)劃畝產(chǎn)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)1100公斤現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)試驗(yàn)田，根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲、乙試驗(yàn)田超級(jí)稻畝產(chǎn)量（分別記為，）均服從正態(tài)分布，其中，如圖，已知，兩正態(tài)密度曲線在直線左側(cè)交于點(diǎn)，則下列說法

10、正確的是（ ）ABCD【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正太分布密度曲線的幾何性質(zhì)即可判斷.【詳解】由圖可知，故A錯(cuò)誤；由圖可知，故B正確；，由圖可知，故C正確；，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，根據(jù)原則，應(yīng)該有，故D不正確.故選：BC.三、填空題11（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）張三有一個(gè)快遞包裹，快遞員告知會(huì)在第二天送貨到家，張三在第二天9：00之前在家，16：00之后在家，則該快遞包裹恰好在張三在家時(shí)送達(dá)的概率為_.【答案】0.3【解析】【分析】利用幾何概型的概率公式求解即可【詳解】快遞員在送貨，在這10個(gè)小時(shí)的任何時(shí)候都有可能送貨到家，而這期間，和這兩段時(shí)間張三在家，共3個(gè)小時(shí)，所以該快遞包裹恰好在張三在家時(shí)送達(dá)的概率.故答案為：0.312（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在一組樣本數(shù)據(jù)，的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在曲線附近波動(dòng)經(jīng)計(jì)算，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】【解析】【分析】設(shè)，可得回歸直線方程為，求出樣本中心點(diǎn)代入可得的值.【詳解】令則即，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸直線上，所以，可得：，故答案為：.13（2022陜西武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（理）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某校高三學(xué)生期末數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，且，則從該校任選一名高三學(xué)生，其成績(jī)不低于90分的