專題12 拋物線的焦點弦、中點弦、弦長問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點專題突破（全國通用）（解析版）

1、專題12 拋物線的焦點弦、中點弦、弦長問題一、單選題1過點的直線與拋物線交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為2，則（ ）ABCD【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因為直線與拋物線交于兩點，所以，解得，因為線段中點的橫坐標(biāo)為2，可得，所以或（舍），所以，可得，則故選：C.2已知直線過拋物線：的焦點，并交拋物線于，兩點，則弦中點的橫坐標(biāo)是（ ）ABCD1【解析】如圖，由題意可得拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線于，過分別作于點，于點，則，因為弦的中點為，所以，所以點的橫坐標(biāo)是，故選：C3直線l過拋物線C：y22px(p0)的焦點F，且與C相交于A，B兩點，且AB的中點M的坐標(biāo)

2、為(3，2)，則拋物線C的方程為（ ）Ay22x或y24xBy24x或y28xCy26x或y28xDy22x或y28x【解析】由題可得直線l的方程為，與拋物線方程C：y22px(p0)聯(lián)立，得k2x2k2px2px0AB的中點為M(3，2)，解得k1或k2，p2或p4，拋物線C的方程為y24x或y28x故選：B4過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于M，N兩點，若為定值，則這個定值是（ ）ApB2pCD【解析】拋物線y22px(p0)的焦點F的坐標(biāo)為， 可取過F與x軸垂直的直線x，把x代入y22px，得yp，假設(shè)， 故|MF|p，|NF|p，所以， 即該定值為故選：D5已知拋物線C

3、：的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線l1與拋物線C交于A、B兩點，直線l2與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A16B20C24D32【解析】拋物線C：的焦點，設(shè)直線l1：，直線l2：由題意可知，則，聯(lián)立，整理得：設(shè)，則，設(shè)，同理可得： 由拋物線的性質(zhì)可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式“”成立的最小值24.故選：C6過拋物線的焦點的直線交于，兩點，若，則（ ）A3B2CD1【解析】方法一：如圖，分別過點，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點作于點，交軸于點由已知條件及拋物線的定義，得，所以在中，因為，所以，所以，所以焦點到準(zhǔn)線的距離為，即方法二：依題意，直線不與軸垂直，設(shè)直線

4、的方程為，將其代入拋物線的方程，得設(shè)，則因為，所以，即，所以，解得故選：C.7過拋物線：焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）ABCD【解析】由題設(shè)，令為，聯(lián)立拋物線方程并整理得，若，則，又易得，則，即， 又，而，即，又，則，故.故選：D8設(shè)直線與拋物線相交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，則面積的取值范圍是（ ）ABCD【解析】因為直線與拋物線相交于兩點，所以該直線斜率不為零，設(shè)該直線的方程為，其中不同時為零；設(shè)，由可得，則，即；因此，又，所以，即，解得；所以；又點到直線的距離為，所以的面積為，即面積的取值范圍是.故選：D.二、多選題9已知拋物線的

5、焦點為，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）A點的坐標(biāo)為B若直線過點，則C若，則的最小值為D若，則線段的中點到軸的距離為【解析】對于A，拋物線，即，易知點的坐標(biāo)為，故A錯誤；對于B，顯然直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，故B正確；對于C，若，則過點，則，當(dāng)時，即拋物線通經(jīng)的長，故C正確，對于D，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，過點，分別作準(zhǔn)線的垂直線，垂足分別為，所以，所以，所以線段，所以線段的中點到軸的距離為，故D正確故選：BCD10已知直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點.若線段的長是16，中點到軸的距離是6，為坐標(biāo)原點，則（ ）A拋物線的方程是B拋物線的準(zhǔn)線為C直線的斜率

6、為1D的面積為【解析】依題意直線過拋物線的焦點，中點到軸的距離是6，結(jié)合拋物線的定義可知，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線為，所以A正確，B錯誤.拋物線焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，消去并化簡得，設(shè)，則.所以，解得.所以C錯誤.當(dāng)時，直線的方程為，即，原點到直線的距離為，所以.當(dāng)時，同理求得，D正確.故選：AD11若拋物線的焦點為F，過點F傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，過A，B分別作拋物線的切線，設(shè)交于點P，下列命題正確的有（ ）ABCD點P的縱坐標(biāo)為定值【解析】由題意，直線的傾斜角為滿足.設(shè)直線的方程為,由，得 ，故選項A正確. ,所以選項C不正確.設(shè)的方程為 ，由，得 ，所以 ，即，即，所以，則，同

7、理設(shè)的方程為，可得所以，所以，故選項B正確.所以的方程為，即，同理的方程為，則由，可得，將其代入其中一個方程可得 ，所以點P的縱坐標(biāo)為定值，故選項D正確，故選：ABD12已知直線與拋物線交于兩點，若線段的中點是，則（ ）ABCD點在以為直徑的圓內(nèi)【解析】對于A，設(shè)，由得：，又線段的中點為，解得：，A正確；對于B，在直線上，B正確；對于C，過點，為拋物線的焦點，C錯誤；對于D，設(shè)，則，又，在以為直徑的圓上，D錯誤.故選：AB.三、填空題13已知直線與拋物線交于，兩點，則_【解析】聯(lián)立，得：，即，設(shè)，則，所以.14直線與拋物線交于，兩點，若線段被點平分，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_.【解析】設(shè)，由線段被

8、點平分，可知，又，所以，由題意可知，直線的斜率存在，且為1，所以，所以，即，所以.故拋物線的準(zhǔn)線方程為.15已知拋物線yx2的焦點為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點，若|MN|NF|，則|MF|_.【解析】如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，則NMH45.在MFK中，F(xiàn)MK45，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.16在直角坐標(biāo)系中，點為拋物線上一點，點為該拋物線的焦點，若，則的面積為_.【解析】拋物線的焦點，因點為拋物線上一點，且，由拋物線對稱性，不妨令點A在第一象限，則直線AF傾斜角為，如圖，

9、直線AF方程為：，由消去x得：，解得，于是得點A的縱坐標(biāo)為，從而有，所以的面積為.四、解答題17已知拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點，且與的橫坐標(biāo)之和為4，求的值及【解析】（1）因為拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，的方程為（2）設(shè)，則，兩式相減得， ，聯(lián)立，消去整理得，直線過拋物線的焦點，18已知過拋物線的焦點，且斜率為的直線交C于，兩點，.（1）求拋物線C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點，D為C上一點，若，求的值.【解析】（1）直線的方程可表示為，與拋物線方程聯(lián)立可得方程組，消去y得，解得，.由于直線過焦點，故，得，解得，所以拋物線C的方程為.

10、（2）由（1）知，.設(shè)，由，得，所以.因為點D在C上，所以，化簡得，解得或.19已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點為F，點M為拋物線C上一點，|MF|=8，且OFM=(O為坐標(biāo)原點).（1）求拋物線C的方程；（2）過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，求AOB面積的最小值.【解析】（1）拋物線C：y2=2px(p0)的焦點，準(zhǔn)線方程為：，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，過點M作x軸的垂線，垂足為D，如圖，依題意得：，即，解得，拋物線C的方程為；（2）焦點F(2，0)，由題意知直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l方程為，由消去x得，設(shè)，則有，而坐標(biāo)原點到直線l的距離，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以

11、AOB面積的最小值為8.20已知拋物線：，坐標(biāo)原點為，焦點為，直線：（1）若與只有一個公共點，求的值；（2）過點作斜率為的直線交拋物線于、兩點，求的面積【解析】（1）依題意消去得，即，當(dāng)時，顯然方程只有一個解，滿足條件；當(dāng)時，解得；綜上，當(dāng)或時直線與拋物線只有一個交點；（2）拋物線：，所以焦點，所以直線方程為，設(shè)，由，消去得，所以，所以，所以.21橢圓的焦點到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過的焦點與交于兩點，與交于兩點（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）設(shè)橢圓與拋物線的公共焦點為所以焦點到直線的距離為，可得：，所以，由，可得：，所以，所以橢圓，拋物線；由（1）知：，設(shè)直線，由可得：